文档内容
期中押题重难点检测卷（提高卷）
（考查范围：九年级第21-25章）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）近年来，我国新能源汽车产业快速发展，生产和销售稳定增
长．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】选项A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
选项B是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意；
选项D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，本题的关键是理解轴对称图形和中心对称图形的
定义，并能熟练运用．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重
合的图形叫做轴对称图形．
2．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）一个小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某
块方砖上，那么它最终停留在黑色区域里的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用面积之比计算概率即可．
【详解】设每个正方形的面积为１个单位，根据题意，全部面积为９，
阴影的面积为3，
故它最终停留在黑色区域里的概率是 ，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握面积之比等于概率是解题的关键．
3．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期中）关于 的方程 是一元二
次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程定义解答即可．
【详解】解：依题意，得 ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程定义，一元二次方程的解法，熟记理解一元二次方程定义是本题的关键．
4．（2023秋·福建厦门·九年级大同中学校考阶段练习）若抛物线的解析式是： ， 点
都在该抛物线上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得抛物线开口向上，则在对称轴右边，y随x增大而增大，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴在对称轴右边，y随x增大而增大，∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数值的大小，对于二次函数 ，当 时，在对称
轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，当 时，在对称轴右侧y随x增大而减小，
在对称轴左侧y随x增大而增大．
5．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图， 内接于 ， ， ，
为 的直径， ，则 长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】等边对等角，得到 ，圆周角定理，得到 ， ，
利用含30 度角的直角三角形的性质，求出 的长，再根据含30 度角的直角三角形的性质，求出 的
长即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
连接 ，则： ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握圆周角定理，是解题的关
键．
6．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，D
是 的中点，将 绕点A逆时针旋转至 ，则 的长是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据 是等腰直角三角形， ， ，D是 的中点，算出
，再根据旋转性质得到 为直角，即可解得；
【详解】 是等腰直角三角形， ， ，
D是 的中点，将 绕点A逆时针旋转至 ，
故选A
【点睛】本题考查了旋转的性质和直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练使用直角三角形的
性质
7．（2023秋·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，
求 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由 ， 是一元二次方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得出
， ，，然后化简原式代入计算即可求解．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握 ， 是一元二次方程
的两根时， ， 是解答本题的关键．
8．（2023秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）已知二次函数 （m为常数），当
时，函数值y 的最小值为 ，则m的值是（ ）A． 或 B． 或 C．2或 D．2或
【答案】C
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线 ，解答时，分 ， 两种情形求解即可．
【详解】解：∵二次函数 （ 为常数），
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，函数图象开口向上，
当 时，当 时，函数取最小值，
∴ ，解得： ，
当 时，函数图象开口向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵ ， ，
∴当 时，函数取最小值，
∴ ，
解得： ，
综上所述，m的值为2或 ，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减
性确定最值是解题的关键．
9．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，以 的直角边 为直径的半圆O，与斜
边 交于点D，E是边 的中点，连接 ．若 ， 的长是方程 的两个根，则图中阴
影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ， ， ．根据直径所对的圆周角为 得出 ，根据因式分解法解方程求
出 ， ，并判定 为等边三角形，再根据扇形的面积公式即可求出 ，根据
含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出
，然后利用 证明 ，最后根据 代入计
算即可得出答案．
【详解】解：连接 ， ， ．
∵ 是直径，
∴ ．
∵ ， 的长是方程 的两个根，解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， 为等边三角形
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．在 中，由勾股定理得 ，
∴ ， ．
∵E是 的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、扇形的面积公式、直角三角形斜边上的中线
性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质，综合性比较强，数量掌握性
质定理是解题的关键．
10．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线 的对称轴为 ，
过其顶点 M 的一条直线 与该抛物线的另一个交点为 ．要在坐标轴上找一点 P，使得
的周长最小，则点 P 的坐标为（ ）A．(0 ，2） B．( ，0） C．(0 ，2）或( ，0） D．以上都不正确
【答案】A
【分析】先由对称轴和点 坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使 的
周长最小， 的长度一定，所以只需 取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点 ，
连接 ， 与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点 ，连接 ，
与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下 的周长再取最小值即可；
【详解】解：如图，∵抛物线 的对称轴为 ，点 是抛物线上的一点，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ，
，
的周长 ，且 是定值，所以只需 最小．
如图1，过点 作关于y轴对称的点 ，连接 ， 与y轴的交点即为所求的点P．设直线 的解析式为： ，
由点 和点 可得： ，
解得 ，
故该直线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵ ， ， ，
∴
此时三角形 的周长 ；
同理，如图2，过点 作关于x轴对称的点 ，连接 ， 与x轴的交点即为所求的
点 ，设直线 的解析式为： ，
由点 和点 可得： ，
解得 ，
故该直线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
此时三角形 的周长 ；
∵ ， ，
∴
∴点P在y轴上时，三角形 的周长最小，即点P的坐标是 ．
故选： A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角
坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该
找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称
的点 在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得 ，解不等式
组可得答案．
【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，且点 在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，解一元一次不等式组，
解题的关键是掌握以上知识点．
12．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校考阶段练习）若m，n是方程 的两个
根，且 ，则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，整体代入计算即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴ ，解得： ，
∵m，n是方程 的两个根，
∴ ，∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∴k的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解题的关键．
13．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别
为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是
．
【答案】
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式
求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
14．（2023秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）已知函数 ，当 时，函数有
最大值 ，最小值3，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解．【详解】解： ，
对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 时， ，
当 时， 随 值的增大而增大，当 时， 随 值的增大而减小，
时，有最大值 ，最小值3，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题
的关键．
15．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，
的直角顶点 在边 的中点处，其中 ． ， ， 绕点 自由旋转，
且 ， 分别交 ， 于点 ， 当 ， 时， 的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，作 于 ．首先证明 是等腰直角三角形，求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ．
， ， ，
， ， ，
，
，，
，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】令 ，可得到关于t的一元二次方程，求解方程，最后判断根的情况即可．
【详解】解：令 ，
则 可化为 ，
整理得 ，
解得 ， ，
，
（舍去），
，即 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查换元法，解一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键．
17．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，正方形 中， ， 是 边上一个动点，
以 为直径的圆与 相交于点 ， 为 上另一个动点，连接 ， ，则 的最小值是．
【答案】 /
【分析】 中， 点是定点， ， 是动点， 在线段 上，想到将军饮马， 在以 为直径的
圆上，最终转化为点圆最值问题．
【详解】解：连接 ，以 为一条边在右侧作正方形 ，则 ，
，
点 在以 为直径的圆上运动，
， ， ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，直角所对的弦是直径、点圆最值问题，关键是找出定点
和动点，以及动点在什么图形上运动．
18．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）已知抛物线 过点 ，
两点，若线段 的长不大于4，则代数式 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线过点 ， 两点，得 轴，且m、n是方程 的两根，
所以 ， ，又根据线段AB的长不大于4，得 ，从而得 ，解得 ，
再根据 当 时， 的值随a的增大而增大，当 时， 的值最
小，最小值 ．
【详解】解：又∵抛物线过点 ， 两点，
∴ 轴，且m、n是方程 的两根，
∴ ， ，∴ ，
∵线段AB的长不大于4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值随a的增大而增大，
∴当 时， 的值最小，最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，根
据题意求得 是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
(3)
(4) （用配方法）
【答案】(1) ，
(2) ，(3) ，
(4) ，
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据配方法解一元二次方程即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（4）根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
， ；
（2） ，
，
，
，
， ；
（3） ，
，
或 ，
， ；
（4） ，
，
，，
，
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，在7×7的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，
的顶点均在格点上，请按要求画图．
(1)在图1中，找一格点 ，使四边形 是中心对称图形；
(2)在图2中，在 上作点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由于平行四边形为中心对称图形，所以可以在图中找一个格点D，使四边形 为平行四
边形；
（2）先根据格点的特点，以 为对角线作正方形 ，连接 ，并延长，交 于一点，利用线段
垂直平分线的性质知该点即为E点．
【详解】（1）解：根据格点的特点作平行四边形 ，则四边形 即为所求，如图1所示：
；
（2）解：如图2，E点即为所求作，．
【点睛】本题主要考查了复杂的作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键
是掌握平行四边形的判定，线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
21．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）为了解学生参加学校社团活动的情况，对报名参加
A：篮球，B：舞蹈，C：书法，D：田径，E：绘画这五项活动的学生（每人必选且只能参加一项）中随机
抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______．（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)这次被调查的学生共有______人；在扇形统计图中“田径”所对应圆心角为______度；
(3)若该校共有1200名学生参加社团活动，请你估计这1200名学生中约有______人参加书法社团；
(4)在田径社团活动中，由于甲，乙，丙，丁四人平均的成绩突出，现决定从他们中任选两名参加区级运动
会．则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是______．
【答案】(1)抽样调查
(2)150，96
(3)480
(4)
【分析】（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
（2）用篮球人数除以所占百分比即可求出调查的学生总人数，用总人数减去除田径外其他项目的人数即
可得到参加田径的人数，用乘“田径”的占比即可求得“田径”所对应圆心角；（3）先计算出参加书法社团的百分比，然后用1200相乘即可；
（4）画出树状图，然后根据树状图计算概率即可．
【详解】（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查
（2）解：被调查的学生共有 （人），
参加田径的人数为 （人），
“田径”所对应圆心角为 ；
故答案为：150；96
（3）解： （人），
答：这1200名学生中约有480人参加书法社团；
故答案为：480
（4）解：根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，甲乙两位同学参加有2种情况，总共有12种情况，则怡好选中甲，乙两位同学参加的概率为
．
故答案为：
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合应用，用样本估计总体，求扇形的圆心角，列表或画树
状图求概率等，掌握相关知识并正确计算是解题关键．
22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 内接于 ，D是 上的点．
(1)如图1，求 和 的大小；(2)如图2， ，垂足为E，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得 ，再由 ，可得 ，
从而得到 ，即可；
（2）连接 ，根据垂径定理可得 ，从而得到 ，再由圆周角定理可
得 ，即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图②，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期中）已知关于 的一元二次方程 有
两个实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，使得 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若有一个矩形的长宽分别是 ， ，且这个矩形的对角线长为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)存在 ，理由见详解
(3)
【分析】（1）由方程有两个实数根，根据根的判别式可得到关于 的不等式，可求得 的取值范围；
（2）由根与系数的关系用 可表示出 和 的值，代入已知条件可得到 的取值，再结合（1）中所
求 的取值范围进行判别即可；
（3）根据矩形的性质，及勾股定理即可．
【详解】（1）解： 方程有两个实数根，
，
解得： ；
（2）解：存在 ，理由如下：
由根与系数的关系，得 ，
，
，
解得： 或 ，
，
；（3）解：由题意，得 ，
，
，
解得： ．
【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，由根的判别式得到关于 的不等式是解题的关键．
24．（2023秋·广东深圳·九年级深圳市光明区公明中学校考阶段练习）某超市销售的红豆进价为每千克8
元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取
降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．
(1)当销售量为320千克时，红豆售价为___________元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千
克？
(2)该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)13，350
(2)11元
【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，
此时的月销售量是多少吨．
（2）红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为 元，日销售量为
千克，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当销售量为320千克时，红豆售价为 元；
（千克）．
答：当销售量为320千克时，红豆售价为13元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是350千克；
（2）解：设红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为 元，日销售量为
千克，
根据题意得： ，整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：则红豆售价应定为每千克11元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，关键是找出红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5
千克的关系，从而列方程求解．
25．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们
用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角
坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线
上， 关于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)设抛物线的解析式为 ，求a和k的值；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求点F的坐标；
(3)将抛物线向右平移m（ ）个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与y轴的正半轴相交于点D，且
，求m的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A，点C的坐标，利用待定系数法求解；（2）求出 的解析式，与抛物线的解析式联立即可求解；
（3）先表示出平移后的抛物线的解析式，再将点D的坐标代入，即可求解．
【详解】（1）解： 关于y轴对称 ，点A到x轴的距离是 分米，
，即 ，
，
,
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ， ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
由（1）中结论可知，抛物线的解析式为 ，
联立 ，得 ，
解得 ， ，
，
点F的横坐标为 ，当 时， ，
；
（3）解： 抛物线 向右平移m（ ）个单位，
新抛物线的解析式为 ，
， ，
，
新抛物线与y轴的正半轴相交于点D，
，
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，求二次函数与一次函数图象的交点等，解题
的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
26．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图， 内接于 ，弦 ，垂
足为 ．点 ，点 关于 对称，连接 并延长交 于点 ．(1)连接 ，求证： ；
(2)求证：点 ，点 关于 对称；
(3)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，根据 ，得出 ，根据 ，得出
，可得 ，可得 ，得出 即可；
（2）连接 ．根据点 ，点 关于 对称，得出 垂直平分 ，可得 ，根据同弧所
对圆周角性质 ， ，得出 ， ，根据
，得出 ，根据 ，得出 即可；
（3）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，先证明 为等边
三角形，得到 ，等边对等角，得到 ，推出
，进而得到 ，连接 ，过点 作 ，垂
径定理求出 的长，得到当 ，即： 三点共线时， 的面积最大，求出 的长，
利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接 ．
点 ，点 关于 对称，
垂直平分 ，
，
， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴点 ，点 关于 对称．
（3）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，由（2）得： ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，过点 作 于N，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 ，
∴当 时，即： 三点共线， 时， 最大，最大为：
．
【点睛】本题考查直线垂直性质，互余性质，等腰三角形内角和性质，轴对称性质，线段垂直平分线性质，
等腰三角形性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，通过辅助线画出准确图形是解题关键．本题的综合性强，难度大，属于压轴题．
