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5.1 相交线
考点一、相交线
相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线
AB、CD相交于点O。
A D
C O B
对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系的角，互
为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。
邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。
考点二、垂线
垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线
叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是
直角。
垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直
垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义） A
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
书写形式： D
C
∵ AB⊥CD （已知）
O
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
B
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
B
工具：直尺、三角板
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
l
A2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的性质：
1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这
条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
考点三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）
同位角：一边都在截线上而且同向，另一边
在截线同侧的两个角。
E
如∠1和∠5，∠4和∠8。
1
2 B
内错角：一边都在截线上而且反向， 4
A 3
D
另一边在截线两侧的两个角。
5
（两个角在两条截线内）
6
如∠3和∠5，∠4和∠6。 8
7
C
F
同旁内角：一边都在截线上而且反向，
另一边在截线同旁的两个角。
（两个角在两条截线内）
如∠3和∠6，∠4和∠5。
题型一：相交线与垂线的定义
1．（2023春·全国·七年级专题练习）根据语句“直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M．”
1 2 1 2
画出的图形是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ， 为垂足，那么 ， ， 三点在同一条直线上，
其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，图中直角的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型二：垂线最短问题
4．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为
节省材料，他们，垂足为点D，于是确定沿 铺设水管，这样做的数学道理是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，点A是直线l外一点，过点A作 于点B．在直线l上取一点
C，连接 ，使 ，点P在线段 上，连接 ，若 ，则线段 的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
6．（2023春·全国·七年级专题练习）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以
便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段 ， ， ， ，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
题型三：与对顶角有关问题
7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．互补的两个角不可能是对顶角
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，两条直线交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C．100 D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O， ，若 ，则
等于（ ）A． B． C． D．
题型四：与邻补角有关问题
10．（2022秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市清乐围棋学校校考期末）如图，直线 ， 相交于点O，射线 平分
，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知O是直线 上一点， ， 平分 ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线 、 相交， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：同位角、内错角、同旁内角的问题
13．（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）A． 与 是对顶角 B． 与 是同位角
C． 与 是内错角 D． 与 是同旁内角
14．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，下列判断：① 与 是同位角；② 与 是同旁内角；
③ 与 是内错角；④ 与 是同位角．其中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
15．（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，按各角的位置，有下列叙述：① 是同旁内角；②
是同旁内角；③ 是内错角；④ 是内错角 ． 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
题型六：相交线的综合问题
16．（2023秋·贵州安顺·七年级校联考期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．17．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线 、 相交于点 ， ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 平分 ，求 与 的度数．
18．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，直线 与 相交于点 ， ， ．
(1)图中与 互余的角是___________；（把符合条件的角都写出来）
(2)如果 ，求 的度数．
一、单选题
19．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且 ，
垂足是B， ，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段 的长是点P到直线a的距离
B． 、 、 三条线段中， 最短
C．线段 的长是点A到直线 的距离D．线段 的长是点C到直线 的距离
20．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）下列图形中， 和 不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，直线 相交于点 于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
22．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线a，b被直线c所截，则形成的角中与 互为内错角的是
（ ）
A． B． C． D．
23．（2022秋·云南昭通·七年级统考期末）如图所示， ， ，点B，O，D在同一直线上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点O
C．图中共有10条射线 D．图中共有5条线段
25．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）A， 表示两个村庄， 表示公路．
(1)在公路 上建一个公交站 ，使得村庄A至公交站距离最近；
(2)在公路 上建造一个通讯站 ，使得通讯站与两个村庄的距离之和最小．
26．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）按要求补全图形并证明．如图， ， 垂直 ， 平
分 ， 平分 ．
(1)利用三角板依题意补全图形
(2)求 的度数
一、单选题
27．（2022春·广东阳江·七年级校考期中）如图，已知直线 ， 被直线 所截， 的同旁内角是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022秋·江苏·七年级专题练习）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点， cm，设点P到直线l的
距离是dcm，则（ ）
A． B． C． D．29．（2022秋·浙江·七年级专题练习）有以下5个说法：①两点之间，线段最短：②相等的角是对顶角：③互补的
两个角中必定一个是锐角一个钝角；④两个锐角的和一定是锐角；⑤同角或等角的余角相等．其中正确的有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
30．（2022秋·浙江·七年级专题练习） 的对顶角是 的邻补角是 ，若 ，则 的度数是( )
A． B． C． D． 或
31．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，图中同位角的对数、内错角的对数、同旁内角的对数，分别是（
）
A．10，8，4 B．11，7，5 C．12，6，6 D．13，5，7
32．（2022秋·黑龙江鸡西·七年级校考期末）如图AB， 交于点O， ， ， 平分 ，
则下列结论：①图中 的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③ 为 的平分线；④
．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④
二、填空题
33．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，已知 ，则 的度数是____．
34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，过直线AB上一点O作射线 ， ， 平分 ，则的度数为__________．
35．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ， ，垂足为 ，
平分 ．若 ，则 的度数为______．
36．（2023春·七年级单元测试）如图所示，图中用数字标出的角中， 的内错角是 _____．
37．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，计划把池中的水引到 处，可过点 作 ，垂足为点 ，
然后沿 挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是______．
38．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点O是直线 上的一点， ， ．（1）当 时， 的度数为 _____；
（2）当 比 的余角大40°， 的度数为 _______．
39．（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线 与直线 交于点O， 平分 ，已知∠ ，
那么 __度．
40．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ， ， ， ，
，则点A到直线 的距离是______ ，点 到直线 的距离是______ ，点 到直线 的距离是
______ ．
三、解答题
41．（2023春·七年级课时练习）如图，直线 ， ， 相交于点 ， 平分 ， ．
(1)写出 的余角和补角；
(2)若 ，求 和 的度数．42．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）已知O是 上的一点，从O点引出射线 ，其中 平分
．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的度数．
43．（2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点 是直线 上一点，在直线 的上方作射线 ，使
，将一个直角三角板 的直角顶点放在点 处（注： ），且直角三角板 始终保持
在直线 的上方．
(1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 的度数=______；
(2)如图2，若直角三角板 的边 在 的内部．当 平分 时，试判断 平分 吗？并
说明理由．
(3)若 ，求 的度数．1．D
【分析】根据直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M进行判断，即可得出结论．
1 2 1 2
【详解】解：A．由于直线l 不经过点M，故本选项不合题意；
2
B．由于点M在直线l 上，故本选项不合题意；
1
C．由于点M在直线l 上，故本选项不合题意；
1
D．直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M，故本选项符合题意；
1 2 1 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
2．D
【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ， 三点在同一条直线上，其理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：D
【点睛】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键．
3．D
【分析】根据直角的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，图中的直角有 一共五个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知垂线的定义是解题的关键．
4．C
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：因为过点C向河岸作垂线，根据垂线段最短，所以 为C点到河岸的最短路径．
所以这样做的数学道理是：垂线段最短．
故选C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
5．D
【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出 的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵过点A作 于点B．在直线l上取一点C，连接 ，使 ，点P在线段 上，连接
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 不可能是5.5，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，正确得出 的取值范围是解题的关键．
6．B
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】由垂线段最短，得
四条线段 ， ， ， ，如图所示，
其中最短的一条路线是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的的性质，熟记性质是解题关键．
7．B
【分析】根据对顶角的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：A、有公共顶点，并且相等的角是对顶角，故此说法错误；
B、如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角，故此说法正确；
C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故此说法错误；
D、互补的两个角不可能是对顶角，故此说法错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义和对顶角相等．
8．D
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角的性质，对顶角相等，邻补角互补是解题的关键．
9．C
【分析】根据对顶角求得 ，根据 ，根据平角的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，平角的定义，数形结合是解题的关键．10．C
【分析】根据邻补角的性质求得 ，再根据对顶角相等得到 ，利用角平分线的定义求解
即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了与角平分线有关的计算，涉及了角度的转换，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
11．A
【分析】根据角平分线的定义得出 ，再由邻补角计算即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算及邻补角，结合图形得出各个角的关系是解题关键．
12．C
【分析】利用邻补角互补可得 和 的度数，进而可得答案．
【详解】解： ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了邻补角和对顶角，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
13．B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：A、 和 是对顶角，说法正确，因此选项A不符合题意；
B、 和 ，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，说法不正确，因此选项B符合题意；
C、 与 是直线 ，直线 ，被直线 所截，所得到的内错角，说法正确，因此选项C不符合题意；
D、 与 是直线 ，直线 ，被直线 所截所得到的同旁内角，说法正确，因此选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，解题的关键是掌握并理解相关定义．
14．A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的
同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第
三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且
在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可．
【详解】解：①由同位角的概念得出： 与 是同位角，正确；
②由同旁内角的概念得出： 与 是同旁内角，正确；
③由内错角的概念得出： 与 不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出： 与 是内错角，错误．
故正确的有2个，是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判
断的前提．
15．A
【分析】根据同旁内角，内错角的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：① 是同旁内角，正确；
② 是同旁内角，正确；
③ 是内错角，正确；
④ 不是内错角 ，故原说法错误．
所以正确的是①②③．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，在截线的同
旁、被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截
线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在
两条被截线之间，并在截线同旁的两个角称为同旁内角是解题的关键．16．(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可求出 ，再根据对顶角相等即可求解；
（2）设 ，则 ，根据 ，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出
的大小，再根据（1）同理即可求出 的大小．
【详解】（1） 平分 ，
，
；
（2）设 ，则 ，
根据题意得 ，
解得 ，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
17．(1)
(2) ，
【分析】（1）根据垂线的定义得到 ，再根据 ，可得 ，即可得解；
（2）根据角平分线的定义得到 ，再根据补角的性质求出结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（2）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是利用垂线得到直角，根据角平分线得到相等的
角．
18．(1) 和 ；
(2) ．【分析】（1）若两角之和为 ，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．据此进行求解；
（2）根据 进行求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴与 互余的角是 和 ；
故答案为： 和 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的知识，注意结合图形进行求解．
19．C
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可．
【详解】解：A．根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．因为 ，垂足是B，故此选
项正确，不符合题意；
B．根据垂线段最短， ，垂足是B，可知此选项正确，不符合题意；
C．线段 的长是点A到直线 的距离，故选项正确，符合题意；
D．线段 的长是点C到直线 的距离．故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．C
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可．
【详解】解：根据同位角的概念可知，
∠1和∠2不是同位角．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形
中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线
上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，
内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
21．D【分析】利用对顶角的性质结合垂线的性质得出 求出即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角以及垂线的性质，得出 度数是解题关键．
22．C
【分析】根据内错角的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：与 互为内错角的是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹
在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．
23．C
【分析】由图可得， 与 互余，可求 ，又因为 与 互补，即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差运算，互余角的关系以及邻补角的关系．准确使用邻补角的关系是解题的关键．
24．D
【分析】根据直线、射线、线段，相交线的相关定义解答即可．
【详解】解：A、直线m，n相交于点P，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、直线m不经过点O，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、图中共有10条射线，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、图中共有6条线段，原说法不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线，射线，线段的含义，相交线的含义，理解几何最基本的概念是解本题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】（1）解：过点A作 于点P，则点P即为所求作的点，如图所示：（2）解：连接 ，交l于点Q，则点Q即为所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了线段的性质和垂线段的性质，熟练掌握两点之间线段最短，垂线段最短，是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据垂线的定义得出 ，根据 ，得出 ，根据角平分线的定义得出
， ，即可得出 ．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：∵ 垂直 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
27．A
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】∵直线 ， 被直线 所截，
∴ 的同旁内角是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念，掌握同旁内角在图形中的位置是解决问题的关键．
28．D
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短，即可得到答案．
【详解】解：∵点P到直线l的距离是dcm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短， cm，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是熟知垂线段最短．
29．A
【分析】根据对顶角，邻补角的定义，线段的性质，余角和补角的性质判断即可．
【详解】解：①两点之间，线段最短，正确；
②相等的角，不一定是对顶角，故②错误；
③互补的两个角可能都是直角，故③错误；
④两个锐角的和不一定是锐角，故④错误；
⑤同角或等角的余角相等，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的定义，线段的性质，余角和补角的性质，熟记定义和性质是解题的关键．
30．C
【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．
【详解】解：∵ 邻补角是 ，
∴ ，
∵ 的对顶角是 ，
∴ ，
故选：C．【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义．
31．C
【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义（同位角定义：在被切直线同侧，且在切线同侧的两个角叫作
同位角；同旁内角定义：在两被切直线内侧，在切线同侧的两个角叫作同旁内角；内错角定义：在两被切直线内
侧，在切线异侧的两个角叫作内错角）直接判断即可．
【详解】解：内错角有： 与 ， 与 ， 与 ， 与 与
， 与 ；
同位角有 与 ， 与 ， 与 与 ， 与 与
， 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，
与 ；
同旁内角： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，
与 ．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角，解题关键是掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义．
32．C
【分析】①根据余角的定义可求解．②根据补角的定义可求解．③根据角平分线的定义无法证明．④根据对顶角
及余角性质可求解．
【详解】①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 余角有 ，
故①正确．
②根据补角的定义可知 的补角为 ，故②错误．
③∵不能证明 ，∴无法证明OD为∠EOG的平分线．
④根据对顶角以及余角的性质可知 ，由①得 ，
∴ ，故④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了余角、补角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的联系是解题关
键．
33． ##145度
【分析】根据图中两个角是互补的关系，从而得到 ，再由 即可得到答案．
【详解】解：由图知 ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查邻补角定义，结合题中图形，数形结合列式求解是解决问题的关键．
34． ##75度
【分析】先根据 ，求出 ，再根据 平分 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，邻补角的计算，解题的关键是根据邻补角求出 ．
35． ## 度
【分析】设 ，则 ，根据角平分线的定义得到 ，求出 ，
利用垂直得到 ，由此得到 ，求出 即可得到答案．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的性质，熟记各知识点是解题的关键．36．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两
旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【详解】解：图中用数字标出的角中， 的内错角是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查内错角的概念，关键是掌握内错角的定义．
37．垂线段最短
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案．
【详解】解：把池中的水引到C处，可过点C作 ，垂足为点D，然后沿 挖渠，
可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短．
38． 45°##45度 20°##20度
【分析】（1）由 ， ，可求 ；
（2）由题意得 ，由 ，得 ，
推断出 ，求得 ，从而解决此题．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ．
故答案为：45°．
（2）由题意得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：20°．【点睛】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．
39．140
【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键．
40．
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．
【详解】解： ， ， ， ， ， ，
点A到直线 的距离是 ，点 到直线 的距离是 ，点 到直线 的距离是 ．
故答案为： ， ， ．
【点睛】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．
41．(1) 的余角是 ， ； 的补角是 ，
(2) ，
【分析】（1）根据余角和补角的概念计算即可；
（2）由对顶角的性质可得 的度数，再根据角平分线的性质可得 的度数．
【详解】（1）解： 的余角是 ， ； 的补角是 ， ；
（2）解： ，
，
，
，
，
平分 ，．
【点睛】本题考查了角的计算，余角、补角的概念，对顶角的性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的
关键．
42．(1)
(2)
【分析】（1）先求得 ，再利用角平分线的定义求得 ，进而利用邻补角定义求解即可；
（2）设 ，则 ，利用角平分线的定义与已知条件列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角度的运算，利用已知条件设未知数，利用方程思想求解是解答的关键．
43．(1)
(2) 平分 ，理由见解析
(3) 的度数为 或
【分析】（1）根据直角三角形的直角可知 求解即可得到结果；
（2）根据角平分线的定义可以求得 的度数，进而求出 的度数，得到 最后得到结论．
（3）根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴故答案为：
（2）解：∵ ， 平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ 平分
（3）解：如图
第一种情况，当 在 的内部时，设
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴可得方程：
解得：
∴
第二种情况，当 在 的外部时，设 ，则
∴
∵
∴
∵ ，
∴可得方程：
解得：
∴
综上所述， 的度数为 或
【点睛】本题考查了邻补角，角平分线等相关知识点，根据图形分析出各角之间的关系是解题的关键．
