文档内容
7.1.2 两条直线垂直
教学目标
课题 7.1.2两条直线垂直 授课人
1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂
素养目标 线.
2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到
直线的距离.
掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进
教学重点
行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.
教学难点 过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：
回 顾 旧 【回顾导入】
知，新课
在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角 【教学建议】
导入
形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角
教 师 带
的定义吗？
领学生回顾
设计意图 如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么
相交线的知
这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在
识，以所成角
回顾相交
这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.
的特殊情况
线所成的
引入对垂直
角，以生
的探究.
活实例引
入垂直的
概念.
活动二：
探究点1 认识垂线和垂直 【教学建议】
问 题 引 问题 在相交线的 学 生 动
入，自主 模型中，固定木条a，转 手探究两条
探究 直线垂直所
动木条b.当b的位置变
形成的四个
化时，a，b所成的∠α也
设计意图 角之间的关
会发生变化.在b转动的
系，“互相垂
过程中，当∠α=90°时，
通过对相 直”是指两
木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？
交线模型 条直线的位
其他三个角的度数都是90°.
的探究， 置关系；“垂
引入垂线 概念引入： 线”是指其
的相关知 一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个 中一条直线
识. 角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 对另一条直
线的命名.如
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的
果两条直线
垂线，它们的交点叫作垂足.
“互相
教学步骤 师生活动由上可知，如果两条直线相交所成的 垂直”，那么
四个角中有一个角等于90°，那么这两条 其中一条直
直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相 线必定是另
交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这 一条直线的
个推理过程可写成什么形式？ “垂线”；如
因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD. 果一条直线
反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个 是另一条直
线 的 “ 垂
推理过程.
线”，那么它
因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°.
们必定“互
这说明垂直的定义具有双重含义.
相垂直”.
请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.
学生自行回答即可.
【对应训练】
1.教材P6练习第1题.
2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则
∠2的度数是（ C ）
A.40° B.45° C.50° D.55
设计意图 探究点2 垂线的基本事实(垂线的性质1)
问题 如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别
通过回顾
过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能
垂线的画
法，引入 画出几条？ 【教学建议】
对垂线性
学 生 独
质 的 探
立思考并动
究.
手操作，教师
总结常规画
法.画垂线的
方法多种多
通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画 1 条直线
样，对于学生
与已知直线垂直；经过直线外一点能画 1 条直线与已知直线
使用的其他
垂直.
正确的方法，
归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的
教师应予以
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
肯定与鼓励.
线垂直.
画一条线段
例1 （教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB
或射线的垂
的垂线. 线，就是画它
解：如图所示. 们所在直线
的垂线，垂足
可以在线段
（射线）上，也
可以在线段
的延长线（射
线的反向延
【对应训练】
长线）上.
1.下列说法正确的有 （ B ）
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知
直线垂直；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知
教学步骤 师生活动
直线垂直；
③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知
直线；④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.教材P6练习第2题.
设计意图 探究点3 垂线的性质2——垂线段最短
如图，在灌溉时，要把河中的水
以实际生
引到农田P处，如何挖渠能使渠道最
活问题为
短？
例，引出
对于这个问题，我们可以将其简
垂线段及
点到直线 化为求点P到直线l的最短路线. 【教学建议】
的距离的 对此，我们进行如下探究：如图，
教 师 先
概念并探 P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为
引导学生将
究 其 性 O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与
实际问题抽
质. PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？
象成几何图
PO的长度小于PA的长度.改变点 形，然后通过
A的位置后，测量各线段的长度，比较得 图形探究垂
出：线段PO的长度最短，即当点P与直 线的性质，得
线l上的点的连线与直线l垂直时，点P 出结论，最后
到直线l的距离最短.也就是过点P作 可让学生举
直线l的垂线，点P与垂足之间的线段 例说明“垂
即为最短路线. 线段最短”
在日常生活
归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点
中的应用.
P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：
教 师 也
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最
可以利用几
短.简单说成：垂线段最短.
何画板构图，
问题1 我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什
在直线l上拖
么区别与联系？
动点A，改变
垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上
点A的位置，
的一部分.
探 究 PO 与
问题2 以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎
PA 的长度关
样才能得到两点之间的距离吗？
系，让学生有
测量连接两个点的线段的长度.
更直观地感
问题3 类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离
受.
又该如何确定？
对 于
确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长
“点到直线
度.
的距离”应
概念引入：
强调说明：距
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距
离指的是长
离.
度，是一个数
量，而垂线段
【对应训练】
是图形，两者
1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？ 不能混淆.
解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最
短的渠道.
2.教材P6练习第3题.
教学步骤 师生活动
活动三： 例2 如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O.
【教学建议】
重 点 突 (1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
破，提升 学 生 独探究 (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.
解 ： (1) 因 为 MO⊥ AB, 所 以
设计意图 ∠AOM=90°.
所以∠1+∠AOC=90°.
利用垂直
又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.
的定义，
所 以 ∠ NOD=180°-
结合邻补
(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.
角、对顶
角等知识 (2)由已知条件∠BOC=4∠1,即 90°+∠1=4∠1,可得
解决角度 ∠1=30°,
问题. 所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.
由邻补角的定义，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
【对应训练】 立思考作答，
教师统一答
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点
案.教师应提
O. 醒学生注意：
（1）若∠COF=50°，求∠COE的度数； 垂直和直线
（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数. 夹角成 90°
解：（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF=90°. 是相互对应
的关系，但两
因为∠COF=50°，
者存在一定
所 以 ∠ AOC=∠ AOF-∠ COF=90°-
的区别，垂直
50°=40°.
是两条直线
由 邻 补 角 的 定 义 ， 得 ∠ AOD=180°-∠ AOC=180°-
的位置关系，
40°=140°. 90° 是 角 的
度数.
因为OE平分∠AOD，所以∠AOE= ∠AOD= ×140°=70°.
所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.
（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.
又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.
因为∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以
∠BOD=36°.
由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，
所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”（或“随堂作业”册子）相应课时随堂
训练.
活动四：
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
随 堂 训
练，课堂 1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的
总结 垂线？垂线的基本事实是什么？
2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有
哪些区别和联系？
教学步骤 师生活动【知识结构】
【作业布置】
1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
7.1.2 两条直线垂直
1.垂直及垂线的相关概念.
2.垂线的画法：①靠；②过；③画.
板书设计 3.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直.
4.垂线的性质2——垂线段最短.
5.点到直线的距离：垂线段的长度.
本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直
线相交时的一般情况学习新知识.之后复习垂线的画法来探究过一点画已知直
线的垂线的情况，通过实际动手操作，体会垂线的存在性和唯一性.最后通过
教学反思 “挖渠”这一实际问题的解决过程，逐步探究得出“垂线段最短”这一性质，
并明确点到直线的距离这一概念，渗透了“数学源于生活，又服务于生活”的
理念.其中，应加深学生对于“垂线段最短”这一性质的理解，为后面学习三角
形的高做好铺垫.
解题大招一 利用垂直或垂线相关的概念或性质解题
1.由垂直形成的角是直角（90°）结合对顶角或邻补角的性质解题
例1 如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，则∠AOD
的度数是（ D ）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
解析：因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°.因为OD平分∠BOE，所以
∠BOD= ∠BOE=45°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-
45°=135°.故选D.
例 2 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O.若
∠DOE:∠BOE=1:3，则∠AOC的度数为60°.
解 析 ： 因 为 EO⊥ AB ， 所 以 ∠ BOE=90°. 因 为
∠DOE∶∠BOE=1:3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-
∠DOE=90°-30°=60°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.
2.垂线的性质的应用
例3 如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点
共线），其理由是（ C ）
A两点确定一条直线
B在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D两点之间，线段最短
3.点到直线的距离的判断
点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它
只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.
例4 已知P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点
P到直线l的距离不可能是（ D ）
A.1.5cm B.1.9cm C.2cm D.4cm
解析：2＜4＜5，由垂线段最短可知，当PC⊥l时点P到直线l的距离为2cm，当PC与l不
垂直时点P到直线l的距离小于2cm，因此点P到直线l的距离小于或等于2cm.故选D.
解题大招二 “垂线段最短”的实际应用
生活中往往会遇到“垂线段最短”问题，解题时正确理解这一性质是关键.垂线段最短
指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的
连线而言的.
例5 如图①，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建
一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请说明依据.
解：（1）如图②，因为“两点之间，线段最短”，所以连接AD，BC交于点H，则点H为蓄
水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小.
（2）如图②，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿线段GH开渠最短，依据是“垂线段最
短”.
培优点 解决与垂直相关的稍复杂几何图形问题
例1 如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF= ∠AOF=70°.
由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=70°.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.
（2）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF= ∠AOF=90°- α.
由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=90°- α.而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°- α-(90°-α)= α.
例2 如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图形，并求∠BOE的度数；
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）补全图形如图所示.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°.
因为OD平分∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD=
∠BOC= ×40°=20°.
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.
因为OE平分∠AOD，所以∠DOE= ∠AOD= ×110°=55°.
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.
（2）∠BOE=45°- α.
解析:同（1）可得∠COD=∠BOD= α，∠AOD= α+90°，∠DOE= ∠AOD= α+45°，
则∠BOE=∠DOE-∠BOD= α+45°- α=45°- α.
