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人教版初中数学七年级下册
8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．一条船顺流航行，每小时行 ；逆流航行，每小时行 ．设轮船在静水中的速度为 ，水
的流速为 ．根据题意，得到的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度”列出方程组即可．
【详解】解：轮船顺流航行时的速度为 ，轮船逆流航行时的速度为
根据题意得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，掌握
公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
2．为了节能减排，某公交公司计划购买A型和B型两种新能源公交车．若购买A型公交车1辆，B型公交
车2辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需280万元，列出方程组
．若对该方程组进行变形可得到方程x﹣y＝20，下列对“x﹣y＝20”的含义说法正确的是（
）
A．A型车比B型车多购买20辆 B．A型车比B型车少购买20辆
C．A型车比B型车每辆贵20万元 D．A型车比B型车每辆便宜20万元
【答案】C
【分析】根据题目中所给方程组可以判断出x为A型的价格，y为B型的价格，由此分析“x-y=20”的含义．
【详解】解：根据题意，x为A型的价格，y为B型的价格，所以“x﹣y＝20”表示A型车比B型车每辆贵
20万元．故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意找出等量关系抽象出方程组是解题的关键．
3．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个
小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车
平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（ ）
A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米
【答案】C
【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千
米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均
每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小
时行驶的路程即可解答．
【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，
依题意得： ，
解得： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量
购买总费用（元）
（个） （个）
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要购买2个商品A和3个商品B，则她要花费（ ）
A．67元 B．68元 C．69元 D．70元
【答案】C
【分析】设商品 的单价为 元，商品 的单价为 元，先根据表格建立方程组 ，再利用② ①即可得出答案．
【详解】解：设商品 的单价为 元，商品 的单价为 元，
由题意得： ，
由② ①得： ，
即购买2个商品 和3个商品 需要花费69元，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．
5．某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得利润3800元(利润＝售价－进价)，这
两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进( )
A．60件 B．70件 C．80件 D．100件
【答案】C
【分析】设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解
即可.
【详解】设A种服装购进x件，B种服装购进y件．
由题意，得
解得
故A种服装购进50件，B种服装购进30件，则这两种服装共购进50＋30＝80(件)．
故选C.
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可.
6．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均
速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时
间分别为x、y分钟，列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据关键语句“到学校共用时15分钟”可得方程：x+y=15，根据“骑自行车的平均
速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程：
250x+80y=2900，两个方程组合可得方程组．
解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：
，
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
7．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走 ，下坡平均每小时走 ，那
么从甲地走到乙地需要 分钟，从乙地走到甲地需要 分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为 ，下坡
路程为 ，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设从甲地到乙地上坡路程为 ，下坡路程为 ，根据时间=路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可．
【详解】解：设从甲地到乙地上坡路程为 ，下坡路程为 ，
根据题意得， ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系，
正确列出二元一次方程组．
二、填空题：
8．甲、乙二人分别从 、 两地同时出发，匀速沿同一平直公路相向而行．甲骑的共享电车，乙步行，两
人在出发 时相遇，相遇后 甲到达 地，若相遇后乙又走了20千米才到达 、 两地的中点，那
么乙的速度为______千米/时．
【答案】4
【分析】设甲的速度为x，乙的速度为y,根据题意得到方程组即可求解．
【详解】设甲的速度为x，乙的速度为y,故 、 两地的距离为3x，
依题意可得
解得
∴乙的速度为4千米/时．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解．
9．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 平路每小时走 下坡每小时走
那么从甲地到乙地需 从乙地到甲地需要 则甲地到乙地的全程是__________________
【答案】2.7
【分析】设从甲地到乙地坡路长 ，平路长 ，根据“从甲地到乙地需 ，从乙地到甲地需
”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出 ， 的值，再将其代入 中即可
求出结论．【详解】设从甲地到乙地坡路长 ，平路长 ，
依题意，得： ，
解得： ，
∴ (km)．
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 分钟相遇一次；
如果同向而行，每隔 分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑______圈．
【答案】
【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据“如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一
次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．某校男足共12人外出比赛，需要住宾馆．宾馆可以提供甲、乙两种房间，甲种房间每间住2人，乙种
房间每间住3人．若足球队要求每个房间住满人，则住宿方案有________种．
【答案】3
【分析】设住甲种房间 间，乙种房间 间，根据该足球队共12人入住且每个房间住满人，即可得出关于
， 的二元一次方程，再结合 ， 均为自然数，即可得出住宿方案有3种．【详解】解：设住甲种房间 间，乙种房间 间，
依题意得： ，
，
又 ， 均为自然数，
或 或 ，
住宿方案有3种．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出二元一次方程．
12．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进几个球的人数分布情况，已知进球3
个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，则投进3个球
的、投进4个球的依次有______人．
进球数n（个） 0 1 2 3 4 5
投进n个球的人数 1 2 7 2
【答案】9，3
【分析】设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人，根据进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个
球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，列方程组求解．
【详解】解：设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人．依题意得．
，
整理得： ，
解得： ．
故答案为：9，3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列方程组求解．
三、解答题：13．A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3
小时20分．求飞机的速度与风速．
【答案】飞机的速度为 ，风速为
【分析】设飞机的速度为 ，风速为 ，根据路程=速度×时间列出方程组求解即可．
【详解】解；设飞机的速度为 ，风速为 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴飞机的速度为 ，风速为 ，
答；飞机的速度为 ，风速为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
14．甲乙二人分别从相距 千米的A， 两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发
后 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 小时后两人还相距 千米，求甲乙二人每小时各走多少
千米？
【答案】甲每小时走 千米，乙每小时走 千米
【分析】设甲每小时走 千米，乙每小时走 千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走 千米，乙每小时走 千米，
根据题意，得 ．
整理，得 ．
解得 ．
答：甲每小时走 千米，乙每小时走 千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
15．在数据收集时发现，从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平地．假定人在平路上行走速度始终
是60米/分，下楼梯的时候速度始终是20米/分，上楼梯的时候速度始终是10米/分．则从教室到食堂需要
4分钟，从食堂回来教室需要6分钟．请问楼梯有多少米，平地有多少米？【答案】楼梯有40米，平地有120米
【分析】设楼梯有x米，平地有y米，根据从教室到食堂需要4分钟，从食堂回来教室需要6分钟可列二
元一次方程组求解即可．
【详解】解：设楼梯有x米，平地有y米，根据题意得，
整理得，
解得，
答：楼梯有40米，平地有120米
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
16．张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路
段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车
从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时．
(1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？
(2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？
【答案】(1)客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时
(2)客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时
【分析】（1）设汽车在平路行驶了x千米，在上坡路行驶了y千米，根据“汽车从学校到自然保护区走平
路和上坡路，一共行驶了4.2时，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）利用速度=路程÷时间，即可求出结论．
【详解】（1）解：设平路的距离为x千米，坡路的距离为y千米，
，
解得： ，时， 时
答：客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时．
（2）解：由题意可知：第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，平路时间不变，去时的上坡路变
成回程的下坡路，因此下坡路时间减少0.9时，
千米/时
答：客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上
的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在
桥上通过的路程=桥长-车长，根据这两个等量关系可列出方程组求解．
【详解】解：设火车的速度为每秒x米，车长为y米，由题意得：
，
故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程
组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．
2小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，
B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种【答案】B
【分析】设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，得 ，根据题意列出符合题目的购买方案
即可解答；
【详解】解：设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，且x、y均为正整数，
即有 ，
变形，得 ，
根据题意，且x、y均为正整数，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
符合题意，所以小明的购买方案有6种；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求解二元一次方程的正整数解的知识，正确理解题意，找到两种口罩的数量关系
是解题的关键．
3．把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样
便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可
以看到部分数值的“九宫格”，则 的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．－8
【答案】A【分析】：根据题意得：得到关于x，y的方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
二、填空题：
4．科技馆门票价格规定如下表．
购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上
每张票的价格 15元 12元 10元
某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都
以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有_________人，如果两个班联合起来，作为一个
团体购票，可以省_______元．
【答案】 56 347
【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其
中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，
解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解．
【详解】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人，
由题意得： ，
解得： ，
∴七年级②班有56人，
1377-10×103=347（元）．
即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元，
故答案为：56，347．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟，他骑自行车的平均
速度是250米／分钟，步行的平均速度是80米／分钟，他家离学校的距离是2900米，如果设他骑自行车
和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的方程组是____________________________
【答案】
【详解】解：设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟
∵，到学校共用时15分钟
∴x+y=15
∵骑自行车的平均速度是250米／分钟，步行的平均速度是80米／分钟，他家离学校的距离是2900米
∴250x+80y=2900
所以根据题意列出的方程组为
故答案为：
【点睛】本题考查列方程组解应用题，本题的关键是审题，找出量与量之间的关系，从而列方程组解应用
题
6．为丰富学生校园生活，某校开展形式多样的课外兴趣活动，约定同一类型活动不同年级的开展时间相
同．其中七年级和八年级的文艺展示和科技创新两项活动时间统计如表：
文艺展示 科技创新 文艺展示和科技创新
活动次数 活动次数 两项活动总时长
七年
5 5 17.5
级
八年
4 5 16
级
已知九年级这两项活动总时长为 ，且科技创新活动的次数多于文艺展示活动的次数，则九年级文艺展
示活动的次数为_______．
【答案】2
【分析】开展一次文艺展示活动的时间为x小时，开展一次科技创新活动的时间为y小时，根据题意列出
方程组，分别求出开展一次文艺展示活动和科技创新活动的时间，再根据“九年级这两项活动总时长为15h，且科技创新活动的次数多于文艺展示活动的次数”解答即可．
【详解】解：设开展一次文艺展示活动的时间为x小时，开展一次科技创新活动的时间为y小时，
根据题意，得： ，
解得 ，
即开展一次文艺展示活动的时间为1.5小时，开展一次科技创新活动的时间为2小时，
∵九年级这两项活动总时长为15h，且科技创新活动的次数多于文艺展示活动的次数，且有：
2 开展科技创新活动次数+1.5 开展文艺展示活动次数=15，
×根据整数奇偶数的性质，由上×式知：开展一次文艺展示活动的次数是偶数，且开展科技展示活动次数最
多6次，
开展科技展示活动次数为6次时，文艺展示活动次数为2次，开展科技展示活动次数小于6次时，文艺展
示活动次数均不为整数，均不符合题意，
∴九年级文艺展示活动的次数为2次．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，奇偶数的运算性质：奇数+偶数=奇数，解题的关键是：找准等
量关系，正确列出二元一次方程组．
三、解答题：
7．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材
比购买5千克的乙食材多花60元．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表 甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多
少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比
购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的
含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
8．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店
计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万
元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A
型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几
种购买方案？最大利润是多少元？
【答案】(1) 两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
(2)最大利润为 万元
【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为 万元， 种型号的汽车每辆进价为 万元，根据购进3辆A
型新能源汽车总价 辆B型新能源汽车总价 万元；购进4辆A型新能源汽车总价 辆B型新能源汽车
的总价 万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的汽车 辆， 种型号的汽车 辆，根据题意得出 ，根据m、n为正整
数，求出方程的解，再分别算出各种方案获得的利润，进行比较即可得出最大利润．【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为 万元， 种型号的汽车每辆进价为 万元，
由题意可得: ，
解得: ，
答： 两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
（2）解：设购买A型号的汽车 辆， 种型号的汽车 辆，由题意可得 且 的正
整数，
解得： 或 或 或 ，
该公司共有四种购买方案，
当 时, 获得的利润为: (万元)，
当 时, 获得的利润为: (万元)，
当 时, 获得的利润为: (万元)，
当 时, 获得的利润为: (万元)，
由上可得, 最大利润为 万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，
准确计算．
