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专题 04 二次函数的图象和性质之七大题型
二次函数的识别
例题：（2023上·河南周口·九年级统考期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A. 含有分式 ，不是二次函数，不符合题意；
B. 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C. 是二次函数，符合题意；
D. ，若 ，原函数为一次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）下列函数是二次函数的是（ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用二次函数的定义进行逐一判断即可：一般地，形如 是常数，
的函数叫做二次函数．
【详解】解：A、 未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、 未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、 该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；；
D、 该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，
若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不
为0这个关键条件．
2．（2023下·湖南长沙·八年级校考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的概念逐项判断即可．
【详解】A． 是一次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
D． 是反比例函数，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的概念，根据二次函数的定义“一般地，形如 （a、b、c
是常数， ）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b
是一次项系数，c是常数项”．熟练掌握函数的概念及其表达式是解答的关键．利用二次函数的定义求参数
例题：（2023上·广西崇左·九年级统考期末）函数 是二次函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义可得 ，求出 的值即可．
【详解】解： 函数 是二次函数，
，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：函数
（ ， 为常数）叫二次函数．
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·九年级统考期末）已知函数 是二次函数，则
．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如 （
是常数， ）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如果函数 是二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期末）将二次函数 化成 的形
式为 ．
【答案】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般
式转化为顶点式．
【详解】解∶ ，
故筦案为∶ ．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是 ．
【答案】【分析】将解析式化为顶点式，然后根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．
【详解】解：
．
所以顶点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标
是解题的关键．
2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）二次函数 的图象开口向 ，顶点坐
标为 ．
【答案】 上
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
故答案为：上， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键．
画二次函数y=ax²+bx+c的图象
例题：（2023上·江西赣州·九年级统考期末）请在如图坐标系中直接描点，画出函数
的图象，并回答下列问题：(1)抛物线的开口方向为______；
(2)抛物线的对称轴是直线______；
(3)若将抛物线 的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为
______．
【答案】(1)函数图象见解析，向下
(2)
(3)
【分析】（1）先列表格，然后画出函数图象，再根据函数图象即可得到抛物线的开口方向；
（2）根据抛物线的性质进行求解即可；
（3）根据抛物线左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x 0 1
y
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知抛物线的开口方向为向下
（2）解：∵抛物线解析式为 ，∴抛物线对称轴为直线 ，
故答案为： ；
（3）解：将抛物线 的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为
，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次
函数的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）已知二次函数 ．
(1)直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象；
(3)若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在抛物线上是否存在点P，使 的面积为2？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
(2)画图见解析
(3) 或 ．
【分析】（1）把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得答案；
（2）先列表，再描点，再连线画图即可；
（3）如图， 的面积为2，而 ， ，可得 ，解得 或 ，
再分类讨论即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）列表如下：
0 1 2 3 4
3 0 0 3
描点并画图：
（3）如图，
∵ 的面积为2，而 ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ．当 不符合题意，舍去，
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数的图象，坐标与图形面积，熟练的画二次函数
的图象是解本题的关键．
2．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经
过点 和 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直接在坐标系中画出该函数的图像；
(3)结合图像直接写出 时，自变量 的取值范围是___________；
(4)当 时， 的取值范围是___________．
【答案】(1)
(2)见详解
(3) 或
(4)
【分析】（1）利用待定系数法将点 和点 代入表达式求解即可；
（2）根据二次函数表达式 得到 ， ， ， ， 5个点，然后用
平滑的曲线连起来即可；
（3）根据（2）中画出的图像求解即可；
（4）根据（2）中画出的图像即可求出y的取值范围．【详解】（1）∵二次函数 的图像经过点 和点
所以将点 和点 代入得： ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ．
（2）如图，描出 ， ， ， ， 5个点，并用平滑的曲线连起来，
（3）由（2）的图像可得，
当 时， 或 ，
故答案为： 或 ；
（4）由（2）中图像可得，当 时，
当 时，y取最大值3；
当 时，y取最小值 ，
∴y的取值范围是 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质，二次函数的函数，解
题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质．
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
例题：（2023上·河南·九年级校联考期末）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当 时， 随 的增大而减小 D．与 轴只有一个交点
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求解判断即可．
【详解】
是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为 ，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与 轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·九年级校联考期末）关于二次函数 ，下列说法不正确的是（
）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的左侧
C．图像的顶点坐标为 D．当 时， 的值随 值的增大而减小
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式，结合二次函数的图像与性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
即图像与 轴的交点坐标为 ，故选项A正确；
该函数的对称轴是直线 ，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为 ，
故选项C正确；
该函数解析式中 ，故函数图像开口向上，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，明确题意，正确运用二次函数的图像与性质是解
答本题的关键．
2．（2023上·陕西西安·九年级统考期末）已知抛物线 （a，b是常数）与y轴的交点
为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线 中的自变量x与函数值y的部分
对应值如表：
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．将抛物线向右平移1个单位后经过原点
C．当 时，y随x的增大而增大
D．点A的坐标是 ，点B的坐标是
【答案】D
【分析】利用当 和 时， ，得出抛物线的对称轴是直线 ，根据表格求得解析式，判断C选项，根据平移的规律得出解析式，判断B选项，再利用 时， ，结合对称轴，即可
得出 、 点坐标．
【详解】 当 和 时， ，
抛物线的对称轴是直线 ，故A选项错误；
设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
抛物线解析式为 ，
向右平移一个单位的抛物线解析式为： ，
令 ， ，
即抛物线经过点 ，故B选项错误
又 抛物线解析式为：
时， 随 增大而减小； 时， 随 增大而大，故C选项错误；
时， ，则点 ，
点 与点 关于抛物线的对称轴对称，
点坐标 ，
故D正确．
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，由表格数据获取信息是解题的关键．
二次函数图象的平移
例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）将抛物线 向上平移3个单位长度，所得抛物
线解析式为 .【答案】 /
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，写出解析式即可．
【详解】解：将抛物线 向上平移3个单位长度得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利
用顶点的变化求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移
2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案．
【详解】解：∵把抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
2．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平
移4个单位，就得到抛物线 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规律，上加下减，左加右减，即可求解．
【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移4个单位，就得到抛物线
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
待定系数法求二次函数解析式
例题：（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以 为顶点，且经过
点 ，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】抛物线的解析式为 ，抛物线与 轴的交点坐标为
【分析】设顶点式再代入 计算即可．
【详解】∵抛物线以 为顶点，
∴设抛物线的解析式为 ，
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，
要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线
上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴
时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点
式来求解．
【变式训练】
1．（2023上·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点和点 ，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点 （不与点 重合），使 的面积与 的面积相等，若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或 或
【分析】（1）把点 和点 代入 ，利用待定系数法即可求出抛物线的
函数表达式；
（2）根据抛物线解析式，求出 ，再根据 、 、 三点坐标，得到 ， ，进
而得出 ，设 ，得到 ，从而得出 ，
分别求出 的值，即可得到点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 和点 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：存在，
抛物线 与 轴交于点C，
令 ， ，，
，
， ，
，
，
设 ，
，
的面积与 的面积相等，
，
，
当 时，解得： 或 （舍），
点 的坐标为 ；
当 时，解得： ，
点 的坐标为 或 ，
综上可知，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点，三角形面积问题，解一
元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
2．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数 的图像与x轴交于
、 两点，与y轴交于点B．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，连接
．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设 的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；
(3)点P在运动过程中，能否使 的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）由点P的横坐标可得点P的坐标，求出直线 的函数解析式；过点 作 轴于点F，
交直线 于点N，过点 作 于点G，由 即可求得S与m的关系式；
（3）确定出S的最大值，根据最大值即可知S可以为整数1与2，再求出m的值即可．
【详解】（1）解： 二次函数 的图像与 轴交于 、 两点
，
解得， ，
二次函数的解析式为： ；
（2）解： 点 的横坐标为 ，
点 的坐标为 ，设 ，把 代入得 ，
解得： ，
即直线 的解析式为： ，
如图，过点 作 轴于点F，交直线 于点N，过点 作 于点G，所以
，
∵
∴ 与 之间的函数关系式： ，
（3）解：由（2）得 ，
故当 时，S有最大值 ，所以 ，所以S的整数值为1，2；
当 时，得 ，
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题是一元二次方程的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，割补法
求三角形面积，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是关键．
一、单选题
1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意 两项化简完后再判断．
【详解】解：A、 是一次函数，不符合题意；
B、 中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、 可化为 是一次函数，不符合题意；
D、 可化为 ，是二次函数，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如 （ 是常数， ）
的函数，叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
2．（2023上·福建莆田·九年级统考期末）下列各点，在二次函数 的图象上的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将选项A，B，C，D中的点横坐标代入 ，计算出纵坐标，从而可判断点是
否在二次函数 的图象上．
【详解】解：∵ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ B，C，D不符合题意；A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析
式是解本题的关键．
3．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解： 的顶点坐标是 ，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数顶点式，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键．4．（2023上·广西河池·九年级统考期末）已知二次函数 ，当y随x的增大而减小时，
x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出对称轴，根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】解：二次函数 的对称轴为： ，
函数图象开口向上，
时，y随x的增大而减小．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．
5．（2023上·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下
列说法中错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
B． 的最小值为 ．
C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小．
D．它的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．
【答案】D
【分析】根据题意，二次函数 ，可以知道函数开口向上，对称轴为
，顶点为 ，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误．
【详解】 二次函数 ， ，
该函数开口向上，对称轴为 ，顶点为 ，A选项正确；
当 时， 有最小值 ，B选项正确；
当 时， 的值随 值的增大而增大，
当 时， 的值随 值的增大而减小，C选项正确；根据平移的规律， 的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：
，D选项错误；
故选：D．
【点睛】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知
识是解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）二次函数 图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴该函数图象的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶
点式的方法和步骤．
7．（2023上·四川广安·九年级统考期末）当 时，函数 的函数值 随 的增大
而减小，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数 的开口向上，顶点坐标为 ，根据函数图像的性质即可求解．
【详解】解：根据题意可知，函数 的开口向上，顶点坐标为 ，
∴当 时，函数值 随 的增大而减小，
∵当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴ ，即函数的对称轴在大于或等于 的位置，满足当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解并掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
8．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向上
平移 个单位长度，可得到抛物线 ．
【答案】 6 3
【分析】把 化成顶点式，再根据二次函数的平移规律进行判断解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴将抛物线 先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线
．
故答案为：6，3
【点睛】此题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
9．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）已知二次函数 （a为常数，且 ）的
图象上有三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 ．
【答案】 /
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 ，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性可
判断A点的对称点 也在函数图象上，再利用对称轴右侧y随x的增大而减小，可判断
．
【详解】解：∵对称轴为 ，
根据二次函数图象的对称性可知A的对称点为 设为D也在函数图象上，由各点坐标可知 ， 、D在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
因为 ，于是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题关键．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数
，其中 ．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点 和 在此函数的图象上，若 ，则 的取值范围是 ；
【答案】 /0.5
【分析】（1）根据二次函数 ，经过 和 ，是对称点，算出对称轴
即可；
（2）根据对称轴为直线 ，点 和 在二次函数 的图象上，画出
函数图象，点 关于对称轴的对称点 ，分析图象，写出 的取值范围即可．
【详解】（1） 二次函数 ，
函数经过 和 ，是对称点，
对称轴为直线 ，
故答案为：
（2） 二次函数 ，
二次项系数为 ，
函数图象开口向上，又 和 在此函数的图象上，对称轴为直线 ，
画出图象如下图，点 关于对称轴的对称点 横坐标 ，
，
点 应在线段 下方部分的抛物线上（包括点 、 ），
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·天津津南·九年级统考期末）已知二次函数 的图象经过点 ，
．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这条抛物线的顶点坐标．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）利用配方法计算坐标即可．
【详解】（1）根据题意得 ，解得 ，
∴二次函数解析式为 ；（2） ，
，
，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线的顶点坐标，熟练掌握知识点且正确
计算是解题的关键．
12．（2023上·辽宁·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线 ．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此
抛物线；
x … 0 1 2 3 4 5 …
… 0 …
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【答案】(1) ，1，0，绘图见解析
(2)抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为
【分析】（1）将 分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可；
（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ；当 时， ；补全表格如下∶
x … 0 1 2 3 4 5 …
… 0 1 0 …
抛物线如图所示；
（2）解：由图象得，
该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．
13．（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于
， 两点．
(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 的面积最大值为8，此时点 的坐标为
【分析】（1）将 代入直线 可得a的值，再将A，C两点代入抛物线即可解答；
（2）过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点Q，设
出点P的坐标，利用 即可解答．
【详解】（1）解：将 代入 并解得 ，
∴点 的坐标为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点
Q，
设点P的坐标为 ，
则点F的坐标为 ，
，
又∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，，
，
又∵ ，
∴当 时， 的面积取最大值，最大值为8，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，解题的关键
是利用数形结合以及函数思想相结合．
14．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、
两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当 的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：(2)点D的坐标为 或
(3)存在满足条件的Q点的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）设点D的坐标为 ，利用 的面积为10，列出等式求解即可；
（3）分情况讨论，当 为四边形的对角线时或当 为边时，分别求解即可．
【详解】（1）将 、 代入 得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）设点D的坐标为 ，
、 ，
，
∴ ，
即 ，
∴ 或 （无解舍去），
解得： ， ，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）抛物线 的对称轴为： ，
假设存在，设 ， ，，
分两种情况讨论：
当 为四边形的对角线时， ， ，
∴ ，
即 ，
此时点Q的坐标为 ；
②当 为边时， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
此时点Q的坐标为 或 ．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中
平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线 经过点
， ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，对称轴交 轴于点 ．直线
经过 ， 两点．(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，是否存在点F使 的面积最大，若有则求出点F坐标及
最大面积；
(3)连接 ，若点 是抛物线上对称轴右侧一点，点 是直线 上一点，试探究是否存在以点E
为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式 ；直线 的表达式
(2)F的坐标为 ； 最大值为4
(3)P点坐标为 或
【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）过点F作 轴，交 于点Q，设点F的坐标为 ，点Q的坐标为
，用m表示出 的面积为 ，得出当 时， 有最大值，
且最大值为4，求出点F的坐标即可；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐
标，代入 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，C点坐标为 ，∵抛物线 经过点 ， ，可设解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得， ，
抛物线解析式为 ，
即 ，
设 的解析式为 ，把 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ；
（2）解：过点F作 轴，交 于点Q，如图所示：
设点F的坐标为 ，则点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴，
∴当 时， 有最大值，且最大值为4，
此时点F的坐标为 ；
（3）解：由（1）得， ，
∴ ，
作 于M， 于N，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图1，设P点坐标为 ，
则 ， ， ， ，
则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；如图2，设P点坐标为 ，
同理可证得： ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；
综上，P点坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性
质表示出其他点的坐标，列出方程．
