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期末重点强化四 整式的乘法与因式分解复习学案（解析版）
考点1 幂的运算
1．（2022秋•无棣县期末）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．（a3）4＝a12
C．a2•a3＝a6 D．（3a2）3＝9a6
【思路引领】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a+a2≠a3，本选项不符合题意；
B、（a3）4＝a12，本选项符合题意；
C、a2⋅a3＝a5≠a6，本选项不符合题意；
D、（3a2）3＝27a6≠9a6，本选项不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则
是解题的关键．
2．（2023秋•虎林市期末）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35 B．19 C．12 D．10
【思路引领】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a•22b
＝2a•（22）b
＝2a•4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关
键．
3．（2023秋•雁峰区校级期末）若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y＝ 2 7 ．
【思路引领】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可解答．
【解答】解：∵3x+4y﹣3＝0，
∴3x+4y＝3，
∴27x•81y＝33x•34y
＝33x+4y
＝33
＝27，
故答案为：27．
【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关
键．
4．（2022秋•建始县期末）若2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x＝ 7 ．
【思路引领】由积的乘方的逆运算得，2x+3•3x+3＝6x+3，再由幂的乘方的逆运算得，36x﹣2＝62x﹣4，列式
计算即可．
【解答】解：∵2x+3•3x+3＝36x﹣2，∴6x+3＝62x﹣4，
∴x+3＝2x﹣4，
解得x＝7，
故答案为7．
【总结提升】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算．
1
5．（2022秋•定西期末）已知xm= ，xn＝36，则x2m+n的值为 1 ．
6
【思路引领】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方公式计算即可．
1
【解答】解：∵xm= ，xn＝36，
6
1
∴x2m+n=x2m ⋅xn=(xm
)
2 ⋅xn=(
)
2×36=1．
6
故答案为：1．
【总结提升】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，逆用公式变形是解题的关键．
6．（2023秋•太康县期中）若2x＝5，2y＝3，则22x+y＝ 7 5 ．
【思路引领】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵2x＝5，2y＝3，
∴22x+y＝（2x）2×2y＝52×3＝75．
故答案为：75．
【总结提升】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7．（2023秋•西山区校级期中）（1）已知3×9x×81＝321，求x的值；
（2）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．【思路引领】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）∵3×9x×81＝321，
∴3×32x×34＝321，
31+2x+4＝321，
∴1+2x+4＝21，
解得：x＝8；
（2）当am＝2，an＝5时，
a3m+2n
＝a3m•a2n
＝（am）3•（an）2
＝23×52
＝8×25
＝200．
【总结提升】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2023秋•黄埔区校级期中）计算：28x8y4÷（﹣7x4y4）+（2x2）2．
【思路引领】利用幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣28x8y4÷7x4y4+4x4
＝﹣4x4+4x4
＝0．
【总结提升】此题考查的是幂的乘方与积的乘方，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
9．（2023秋•西山区校级期中）化简：x3•x2•x+（x3）2+（﹣2x2）3．
【思路引领】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进
而得出答案．
【解答】解：原式＝x6+x6﹣8x6
＝﹣6x6．
【总结提升】此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算
法则是解题关键．
考点2 整式的乘除
10．（2023秋•灵宝市期中）现有下列算式：①2a+3a＝5a；②2a•3a＝5a2；③ax（﹣1﹣a2﹣x）＝ax﹣
a3x﹣ax2；④（x4﹣x3）•x2＝x3，其中错误的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：①2a+3a＝5a，计算正确；
②2a•3a＝6a2，本小题计算错误；
③ax（﹣1﹣a2﹣x）＝﹣ax﹣a3x﹣ax2，本小题计算错误；
④（x4﹣x3）•x2＝x6﹣x5，本小题计算错误；
故选：C．
【总结提升】本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、单项式乘多项式，掌握它们的运算法则是解
题的关键．
11．（2022秋•怀集县期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，
阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）
【思路引领】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多
项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2，
故选：A．
【总结提升】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．
12．（2023秋•长岭县期末）若一个长方体的长、宽、高分别为 2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为
（ ）
A．3x3﹣4x2 B．6x2﹣8x C．6x3﹣8x2 D．6x3﹣8x
【思路引领】根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：由题意知，V长方体 ＝（3x﹣4）•2x•x＝6x3﹣8x2．
故选：C．
【总结提升】本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．
13．（2022秋•平乡县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复
习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”
内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【思路引领】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．【总结提升】此题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
14．（2023 秋•游仙区期中）若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有 x2项，则 a 的值为
（ ）
1
A．﹣3 B．− C．0 D．3
3
【思路引领】首先将（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2展开，合并同类项得﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x；接下
来根据结果中不含有x2项可得﹣2a﹣6＝0，至此，就能求出a的值了．
【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2
＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x，
∵结果中不含有x2项，
∴﹣2a﹣6＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查的是整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
15．（2023秋•西城区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6
C．（ab）3＝a3b D．﹣2a（a+b）＝﹣2a2+2ab
【思路引领】利用同底数幂的乘法的法则，单项式乘多项式的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项
进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（ab）3＝a3b3，故C不符合题意；
D、﹣2a（a+b）＝﹣2a2﹣2ab，故D不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题主要考查单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握．
16．（2023秋•二道区期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）
A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55
【思路引领】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到 a、b的值，代入计算出代数
式ab﹣a+b的值．
【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．
∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．
∴a＝2，b＝﹣3．
∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．
故选：A．
【总结提升】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
17．（2023秋•武汉期中）（1）x8÷x2＝ x 6 ．
（2）3a（5a﹣2b）＝ 1 5 a 2 ﹣ 6 a b ．
（3）a﹣b+c＝a﹣（ b ﹣ c ）．
【思路引领】（1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）利用添括号的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）x8÷x2＝x6．
故答案为：x6．
（2）3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab．
故答案为：15a2﹣6ab．
（3）a﹣b+c＝a﹣（b﹣c）．
故答案为：b﹣c．
【总结提升】本题主要考查同底数幂的除法，单项式乘多项式，添括号，解答的关键是对相应的运算法
则的掌握．
18．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：（2a）2•（a2﹣2a+6）＝ 4 a 4 ﹣ 8 a 3 +2 4 a 2 ．
【思路引领】先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．
【解答】解：（2a）2•（a2﹣2a+6）
＝4a2•（a2﹣2a+6）
＝4a4﹣8a3+24a2．
故答案为：4a4﹣8a3+24a2．
【总结提升】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（2023秋•集美区校级期中）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取
值有（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8【思路引领】先根据多项式乘多项式的计算法则得到a+b＝m，ab＝24，从而可得a、b的值，由此即可
得到答案，
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，
∴x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+24，
∴a+b＝m，ab＝24，
∵a、b为整数，
{a=24) {a=12) {a=8) {a=6) {a=4) {a=3) {a=2
)
{a=1
)
∴ 或 或 或 或 或 或 或 ，
b=1 b=2 b=3 b=4 b=6 b=8 b=12 b=24
{a=−24) {a=−12) {a=−8) {a=−6) {a=−4) {a=−3) {a=−2
)
{a=−1
)
或 或 或 或 或 或 或 ，
b=−1 b=−2 b=−3 b=−4 b=−6 b=−8 b=−12 b=−24
∴24+1＝25，12+2＝14，8+3＝11，6+4＝10，4+6＝10，3+8＝11，﹣24﹣1＝﹣25，﹣12﹣2＝﹣14，
﹣8﹣3＝﹣11，﹣6﹣4＝﹣10，
∴a+b＝25或14或11或10或﹣25或﹣14或﹣11或﹣10，
∴m的取值有8个，
故选：D．
【总结提升】本题考查了多项式乘以多项式的计算法则，正确得到a+b＝m，ab＝24是解题的关键．
20．（2023秋•西峡县期中）计算：
1 2 4
（1） ab⋅( ab2−2ab+ b)；
2 3 3
（2）（2x+1）（3x2﹣2x﹣1）．
【思路引领】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
1 2 4
【解答】解：（1） ab⋅( ab2−2ab+ b)
2 3 3
1 2 1 1 4
= ab⋅ ab2− ab⋅2ab+ ab⋅ b
2 3 2 2 3
1 2
= a2b3−a2b2+ ab2 ；
3 3
（2）（2x+1）（3x2﹣2x﹣1）
＝2x⋅3x2﹣2x⋅2x﹣2x+3x2﹣2x﹣1
＝6x3﹣4x2﹣2x+3x2﹣2x﹣1
＝6x3﹣x2﹣4x﹣1．
【总结提升】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．21．（2022秋•延边州期末）计算：（y+4）（y﹣1）﹣y（y+2）．
【思路引领】根据整式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝y2﹣y+4y﹣4﹣y2﹣2y
＝y﹣4，
故答案为：y﹣4．
【总结提升】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
22．（2023秋•伊通县期中）计算：（x+3）（x﹣1）﹣x（x﹣2）+1．
【思路引领】分别运用多项式乘多项式以及单项式乘多项式运算法则将括号展开后再合并即可得到结果．
【解答】解：（x+3）（x﹣1）﹣x（x﹣2）+1
＝x2+3x﹣x﹣3﹣（x2﹣2x）+1
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x+1
＝4x﹣2．
【总结提升】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
23．（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．
（1）求m，n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【思路引领】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n
＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n
＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，
则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，
∴原式＝m3+n3＝（﹣1） 3+23，
＝﹣1+8
＝7．
【总结提升】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24．（2022秋•东坡区校级期中）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a，
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12，
∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；
（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；
（3）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【思路引领】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解；
（2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解；
（3）根据因式分解和整式的混合运算，整体代入即可求解．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0
∴a2﹣a＝10，
∴2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2×（10﹣20）
＝﹣20，
∴2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20；
（2）∵x2﹣x﹣1＝0
∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，
∴x3﹣2x+1
＝x（x2﹣2）+1
＝x（x+1﹣2）+1
＝x2﹣x+1
＝1+1
＝2，
∴x3﹣2x+1的值为2；
（3）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1，
代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
【总结提升】本题考查了因式分解的应用和整式的混合运算，解决本题的关键是整体代入思想的运用．
25．（2022秋•潢川县期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ﹣ 1 ，n的值是
﹣ 6 ；
1
（2）如果(x+a)(x+b)=x2−2x+
，
2
①求（a﹣2）（b﹣2）的值；
②a2+b2．
【思路引领】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；
1
（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b＝﹣2，ab= ；
2
1
①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b＝﹣2，ab= 代入计算；
2
1
②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b＝﹣2，ab= 代入计算．
2
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，
∴x2+2x﹣3x﹣6＝x2+mx+n，
∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
故答案为：﹣1，﹣6；
1
（2）∵(x+a)(x+b)=x2−2x+
，
2
1
∴x2+ax+bx+ab=x2−2x+
，
2
1
∴x2+(a+b)x+ab=x2−2x+
，
2
1
∴a+b＝﹣2，ab= ；
2
①（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣2（a+b）+4
1
= −2×(−2)+4
217
= ；
2
②a2+b2
＝a2+2ab+b2﹣2ab
＝（a+b）2﹣2ab
＝4﹣1
＝3．
【总结提升】本题考查了多项式与多项式的乘法，完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式和
整式乘法运算法则是解答本题的关键．
26．（2020春•东城区期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B
类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释
某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚
框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝ 2 a 2 + 5 a b + 2 b 2 ；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的
长方形，可得到恒等式 a 2 + 5 a b + 6 b 2 ＝（ a + 3 b ）（ a + 2 b ） ；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两
条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式 A 、 B 、 C 、 D （填写选项）．
m2−n2 m2+n2
A．xy= B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=
4 2
【思路引领】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；
（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．
【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，
因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；
（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
m2−n2 (m+n)(m−n) 2x⋅2y
= = =xy；
4 4 4
m2+n2 (m+n) 2−2mn 4x2−2(x2−y2 )
= = =x2+y2；
2 2 2
故答案为：A、B、C、D．
【总结提升】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．
考点3 乘法公式
27．（2023秋•虎林市期末）若x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值是 ± 8 ．【思路引领】利用完全平方公式的结构特征计算即可求出m的值．
【解答】解：∵若x2+mx+16是一个完全平方式，
∴m＝±8，
故答案为：±8
【总结提升】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．（2023秋•防城区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 7 或﹣ 1 ．
【思路引领】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【总结提升】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有
两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
29．（2023春•市中区校级期中）计算：（3x+2）2＝ 9 x 2 +1 2 x + 4 ．
【思路引领】依据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（3x+2）2＝（3x）2+2×3x×2+22＝9x2+12x+4．
故答案为：9x2+12x+4．
【总结提升】本题考查完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键．
1
30．（2023秋•金昌期末）若x2﹣4x+1＝0，则x2+ = 1 4 ．
x2
1
【思路引领】先将原式变形为x+ =4，然后两边平方，再移项就可以求出结论．
x
【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x≠0，
1
∴x﹣4+ =0，
x
1
∴x+ =4，
x
1
∴x2+ +
2＝16，
x2
1
∴x2+ =
14．
x2
故答案为：14．【总结提升】本题是一道有关整式乘法的计算题，考查了完全平方公式的运用．是一道基础题．
31．（2023秋•桦甸市期末）若（x+n）2＝x2+4x+m，则m＝ 4 ．
【思路引领】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵（x+2）2＝x2+4x+4，
∴n＝2，m＝4，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
32．（2023秋•扶余市期末）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝ 9 x 2 ﹣ 4 ．
【思路引领】原式利用平方差公式化简即可．
【解答】解：原式＝9x2﹣4．
故答案为：9x2﹣4．
【总结提升】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
33．（2022秋•和田地区期末）已知m2﹣n2＝12，m﹣n＝4，则m+n＝ 3 ．
【思路引领】利用平方差公式将m2﹣n2分解，然后整体代入可得出m+n的值．
【解答】解：由题意得，m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝12，
∵m﹣n＝4，
∴m+n＝3．
故答案为：3．
【总结提升】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键，另外本题涉及了整
体代入思想．
34．（2023秋•南岗区校级期中）计算20242﹣2023×2025＝ 1 ．
【思路引领】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
故答案为：1．
【总结提升】此题考查的是平方差公式，将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解决此题的
关键．
35．（2022秋•吴忠期末）如果x2+mx+25是一个完全平方式，那么m的值为 ±1 0 ．
【思路引领】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+25＝x2+mx+52，∴mx＝±2×5×x，
解得m＝±10．
故答案为：±10．
【总结提升】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记
完全平方公式对解题非常重要．
36．（2023秋•威远县校级期中）若（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝99，则a+b的值为 5 或﹣ 5 ．
【思路引领】先将（2a+2b）当作一个整体，按照平方差公式计算，再开平方计算即可．
【解答】解：∵（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝99，
∴[（2a+2b）﹣1）][（2a+2b）+1]＝99，
∴（2a+2b）2﹣1＝99，
∴（2a+2b）2＝100，
∴2a+2b＝±10，
∴a+b＝5或﹣5．
故答案为：5或﹣5．
【总结提升】本题考查了平方差公式在计算中的应用，熟练掌握平方差公式并运用整体思想是解题的关
键．属于基础知识的考查，比较简单．
37．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则多项式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
【思路引领】把已知的式子化成 [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]的形式，然后代入求解．
2
【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
1
则原式= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
2
1
= [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
2
1
= [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
2
1
= （1+4+1）
2
＝3，故选：D．
【总结提升】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
38．（2023秋•依安县期末）计算：（a﹣b）（a+2b）﹣（a+2b）2+6b2．
【思路引领】根据多项式乘多项式法则和完全平方公式，去掉括号，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝（a2+2ab﹣ab﹣2b2）﹣（a2+4ab+4b2）+6b2
＝a2+2ab﹣ab﹣2b2﹣a2﹣4ab﹣4b2+6b2
＝a2﹣a2+（2ab﹣ab﹣4ab）+（6b2﹣2b2﹣4b2）
＝﹣3ab．
【总结提升】本题主要考查了整数的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、完全平方公
式和合并同类项法则．
39．（2022秋•沐川县期末）计算：（2a﹣1）（2a+1）﹣（2a+1）2．
【思路引领】根据平方差公式（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2和完全平方公式（a﹣b）（a±b）2＝a2±2ab+b2
计算化简即可．
【解答】解：（2a﹣1）（2a+1）﹣（2a+1）2
＝4a2﹣1﹣（4a2+4a+1）
＝4a2﹣1﹣4a2﹣4a﹣1
＝﹣4a﹣2．
【总结提升】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式的
计算法则．
40．（2022秋•罗庄区期末）计算：
（1）2022×2024﹣20232；
（2）（2x+y+z）（2x﹣y+z）．
【思路引领】（1）将数字适当变形后，利用平方差公式化简运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式运算即可．
【解答】解：（1）2022×2024﹣20232
＝（2023﹣1）×（2023+1）﹣20232
＝20232﹣1﹣20232
＝﹣1；
（2）（2x+y+z）（2x﹣y+z）
＝[（2x+z）+y][（2x+z）﹣y]
＝（2x+z）2﹣y2＝4x2+4xz+z2﹣y2．
【总结提升】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题
的关键．
41．（2022秋•伊通县期末）计算：2（a﹣3）（a+2）﹣（4+a）（4﹣a）．
【思路引领】先根据多项式乘多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：2（a﹣3）（a+2）﹣（4+a）（4﹣a）
＝2（a2+2a﹣3a﹣6）﹣（16﹣a2）
＝2a2+4a﹣6a﹣12﹣16+a2
＝3a2﹣2a﹣28．
【总结提升】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练运用整式乘法法则以及乘法公式，本题属于基
础题型．
42．（2022秋•西岗区校级期末）计算：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）．
【思路引领】根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝（3x）2﹣6xy+y2﹣（3x）2+（2y）2
＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+4y2
＝﹣6xy+y2+4y2
＝5y2﹣6xy．
【总结提升】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的
关键．
43．（2022秋•章贡区期末）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
【思路引领】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1
＝﹣x2+x+2，
当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．
【总结提升】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
44．已知x2+y2＝13，x+y＝5，求下列各式的值：
y2 x2
（1）xy；（2）x﹣y；（3） + ．
x y
【思路引领】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：（1）x+y＝5，
（x+y）2＝52x2+2xy+y2＝25
2xy＝25﹣（x2+y2）
2xy＝25﹣13
2xy＝12
xy＝6．
（2）（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝13﹣2×6＝1，
x﹣y＝±1．
y2 x2 y3+x3 (x+ y)(x2−xy+ y2 ) 5×(13−6) 35
（3） + = = = = ．
x y xy xy 6 6
【总结提升】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
1
45．已知a+ =3，求下列各式的值（1）a2+a﹣2（2）a4+a﹣4．
a
1 1
【思路引领】（1）根据完全平方公式变形得出a2+a﹣2＝（a + ）2﹣2•a• ，代入求出即可；
a a
1 1
（2）根据完全平方公式变形得出a4+a﹣4＝（a2+ ）2﹣2•a2• ，代入求出即可．
a2 a2
1
【解答】解：（1）∵a+ =3，
a
∴a2+a﹣2
1 1
＝（a+ ）2﹣2•a•
a a
＝32﹣2
＝7；
1
（2）∵a2+ =
3，
a2
a4+a﹣4
1 1
＝（a2+ ）2﹣2a2•
a2 a2
＝72﹣2
＝47．
【总结提升】本题考查了完全平方公式的应用，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，用
了整体代入思想．a2−b2
46．已知a＞b＞0，a2+b2﹣6ab＝0，求 的值．
ab
【思路引领】已知等式左边利用十字相乘法分解后，得到a与b的关系式，代入原式计算即可．
a b a b
【解答】解：已知等式变形得： + −6＝0，即 + =6，
b a b a
a2 b2 a2 b2
两边平方得： + + 2＝36，即 + = 34，
b2 a2 b2 a2
a b a2 b2
∴（ − ）2= + −2＝34﹣2＝32，
b a b2 a2
a b
则原式= − =❑√32= 4❑√2．
b a
【总结提升】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 1
47．已知a2+ b2=2a−b−2，求3a− b的值．
4 2
1 2 1
【思路引领】将式子变形为(a−1) 2+( b+1) =0，根据偶次方非负的性质得出a−1=0， b+1=0，
2 2
求出a、b的值，代入进行计算即可．
1
【解答】解：∵a2+ b2=2a−b−2，
4
1
∴a2−2a+1+ b2+b+1=0，
4
1 2
∴(a−1) 2+( b+1) =0，
2
1
∴a−1=0， b+1=0，
2
∴a＝1，b＝﹣2，
1
∴3a− b=4．
2
【总结提升】本题考查了运用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解此题
的关键．
48．（2023秋•洛阳期中）[知识回顾]
有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3．
[理解应用]
（1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠
地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，
1
左下角的面积为S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
【思路引领】（1）令2m﹣3＝0，解出m的值即可；
（2）将原式中的y看作系数合并同类项，令x的系数为0，求出y值即可；
（3）设AB＝x，根据图形分别将S 和S 用x、a和b表示出来，求出S ﹣S 的表达式并合并同类项，令
1 2 1 2
x的系数为0，求出a和b的等量关系即可．
【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
3
∴m= ．
2
（2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝﹣3（2﹣5y）x﹣9．
∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，
∴2﹣5y＝0，
2
∴y= ．
5
（3）设AB＝x，由图形得S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），
1 2
∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab．
1 2
∵S ﹣S 的值始终保持不变，
1 2
∴（a﹣2b）x+ab与x无关，∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
【总结提升】本题考查多项式乘多项式及合并同类项，熟练运用它们是本题的关键．
考点4 因式分解
49．（2023春•禅城区校级期中）下列变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
1
C．x2+2x2+1＝x2（x+2）+1 D．x﹣1＝x（1− ）（x≠0）
x
【思路引领】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从等式左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从等式左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项
式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
50．（2023秋•杜尔伯特县期末）因式分解：
（1）m（a﹣2）+n（2﹣a）；
（2）ab2﹣2a2b+a3．
（3）x3﹣25x；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（5）﹣3a3m+6a2m﹣3am．
（6）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（7）4a3﹣16a；
（8）（2x﹣y）2+8xy．
（9）（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1；
（10）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）．
（11）3mx2+3my2﹣6mxy；
（12）16a4﹣1．
解：（1）原式＝m（a﹣2）﹣n（a﹣2）＝（a﹣2）（m﹣n）；
（2）原式＝a（b2﹣2ab+a2）＝a（b﹣a）2．（1）x3﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（5）﹣3a3m+6a2m﹣3am
＝﹣3am（a2﹣2a+1）
＝﹣3am（a﹣1）2．
（6）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
（7）4a3﹣16a
＝4a（a2﹣4）
＝4a（a﹣2）（a+2）；
（8）（2x﹣y）2+8xy
＝4x2﹣4xy+y2+8xy
＝4x2+4xy+y2
＝（2x+y）2．
（9）（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
＝（x2﹣2x+1）2
＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4；
（10）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）
＝（m﹣n）（x2﹣y2）
＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）．
（11）3mx2+3my2﹣6mxy＝3m（x2+y2﹣2xy）＝3m（x﹣y）2；
（12）16a4﹣1＝（4a2+1）（4a2﹣1）＝（4a2+1）（2a+1）（2a﹣1）．
【总结提升】本题主要考查了利用公式法和提取公因式法进行因式分解的知识，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解答本题的关键．
51．（1）已知x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值．
（2）已知a，b，c为△ABC的三边，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你
的结论．
【思路引领】（1）将等式整理成两个非负数和的形式．若两个非负数（x﹣2）2与（y﹣5）2的和为0，
则两个非负数分别为0．
（2）将等式化简整理成（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，若三角形的三边均相等，则该三角形是等
边三角形．
【解答】解：（1）x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，
将方程整理，得
（x﹣2）2+（y﹣5）2＝0，
∴x﹣2＝0，y﹣5＝0，
解得x＝2，y＝5．
原式＝x2y2（1+2x+x2）
＝x2y2（1+x）2．
当x＝2，y＝5时，原式＝22×52×（1+2）2＝4×25×9＝900；
（2）△ABC是等边三角形，理由如下：
整理2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，得：
2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
变形：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
解得a＝b，b＝c，a＝c，
即a＝b＝c．
故△ABC是等边三角形．
【总结提升】本题考查了求代数式的值和等边三角形的判定，熟练掌握配方法是解题关键．
1
52．（2023•襄州区开学）已知xy＝1，x+y= ，则多项式y﹣（xy﹣4x﹣3y）的值等于 1 ．
2
【思路引领】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝y﹣xy+4x+3y
＝4（x+y）﹣xy，
1
∵x+y= ，xy＝1，
21
∴原式＝4× −1
2
＝2﹣1
＝1．
故答案为：1．
【总结提升】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
53．（2023春•高新区期末）若m2＝n+2023，n2＝m+2023（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ﹣
2023 ．
【思路引领】将两式m2＝n+2023，n2＝m+2023相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2023两边乘以m，n2＝
m+2023两边乘以n再相加便可得出．
【解答】解：将两式m2＝n+2023，n2＝m+2023相减，
得m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
解法一：
将m2＝n+2023两边乘以m，得m³＝mn+2023m ①，
将n2＝m+2023两边乘以n，得n³＝mn+2023n ②，
由①+②得：m³+n³＝2mn+2023（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2023（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2023×（﹣1）＝﹣2023．
故答案为﹣2023．
解法二：
∵m2＝n+2023，n2＝m+2023（m≠n），
∴m2﹣n＝2023，n2﹣m＝2023（m≠n），
∴m3﹣2mn+n3
＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2023m+2023n
＝2023（m+n）
＝﹣2023，
故答案为﹣2023．【总结提升】本题考查因式分解的应用，代数式m3﹣2mn+n3的降次处理是解题关键．
54．（2023秋•鲤城区校级期中）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为
x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若（x+3）是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；
（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．
【思路引领】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的
值；
（3）将（2）中m和n的值代入x3+mx2+12x+n，提取公因式x，则由题意知（x﹣3）和（x﹣4）也是所
给多项式的因式，从而问题得解．
【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴x＝3时，x2+kx+12＝0，
∴9+3k+12＝0，
∴3k＝﹣21，
∴k＝﹣7，
∴k的值为﹣7．
（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，
{27+9m+36+n=0
)
∴ ，
64+16m+48+n=0
{m=−7)
解得 ，
n=0
∴m、n的值分别为﹣7和0．
（3）∵m＝﹣7，n＝0，
∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x，
∴x3﹣7x2+12x，
＝x（x2﹣7x+12）
＝x（x﹣3）（x﹣4）．
【总结提升】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
