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专题 05 二次函数图象信息与求线段、面积最值问题之五大题型
一次函数、二次函数与图象综合判断
例题：（2023上·山西运城·九年级统考期末）抛物线 与直线 同一坐标系的
大致可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）一次函数 的图象如图所示，则二次函数的图象大致是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
二次函数图象与各项系数符号
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）二次函数 的图象如图所示，对称轴是
直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ （ 为实
数）．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知二次函数 的图象大致如图所
示．下列说法正确的是（ ）A．
B．当 时，
C．
D．若 在函数图象上，当 时，
2．（2023上·四川广元·九年级统考期末）如图，已知抛物线 （ 为常数，
）经过点 ，且对称轴为直线 ，有下列结论： ； ； ；
④无论 取向值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
利用二次函数求线段最值问题
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）如图，抛物线 经过 、 两
点，点E是线段 上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：
的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q： 的
图象关于原点中心对称．
(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线
段DE长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符
合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，抛物线 交 轴于 ，
两点，与 轴交于点 ，连接 ， ． 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交
抛物线于点 ，交 于点 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点 作 ，垂足为点 ，设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段
的长．
(3)求出 为何值时 有最大值，最大值是多少？
利用二次函数求周长最值问题
例题：（2023上·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B
两点，并与直线 交于B，C两点，其中C是直线 与y轴的交点，连接 ．(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)求证： 为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当 的周长最小时，求出点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，点 坐标为 ， 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2) 为该抛物线对称轴上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标．(3)当函数 的自变量 满足 时，函数 的最小值为3，求 的值．
2．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线 为对称轴
的抛物线 与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是 ．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴
的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接 ， ， ，使得 的周长最小，求F
点的坐标．
利用二次函数求面积最值问题例题：（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于
， 两点．
(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023上·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数 的图象过点 、
．(1)求b、c的值；
(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的
坐标；
(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当 的面积最大时，求点Q的坐标．
2．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线 经过点
， ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，对称轴交 轴于点 ．直线
经过 ， 两点．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，是否存在点F使 的面积最大，若有则求出点F坐标及
最大面积；
(3)连接 ，若点 是抛物线上对称轴右侧一点，点 是直线 上一点，试探究是否存在以点E
为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．一、单选题
1．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）在抛物线 上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）画二次函数 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 …
关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当 时，y随x的增大而减小；③当
时， ；其中正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023上·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线 （ 为整数）与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山西运城·九年级统考期末）二次函数 的图像如图所示，则一次函数
的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
5．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）下列关于二次函数 （m为常数）
的结论：
①该函数的图象与函数 的图象形状相同；
②该函数图象的顶点在函数 的图象上；
③当 时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象一定经过点 ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
6．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是 ．
7．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平
移4个单位，就得到抛物线 ．
8．（2023上·山西运城·九年级统考期末）点 是抛物线 ： 上一点，将抛物线 平移，得到抛物线 ： ，点P平移后的对应点为点 ，则点 坐标为
．
9．（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数 的部分图象如图所示，对
称轴x= 为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（ ），
（ ）；是抛物线上的两点，则 ⑤ 其中正确的结论
有 ．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数
，其中 ．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点 和 在此函数的图象上，若 ，则 的取值范围是 ；
三、解答题
11．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方
抛物线上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；
12．（2022上·山东青岛·九年级统考期中）如图，抛物线 与x轴交于点
，点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求 面积S的最大值及此时P点的坐标．13．（2023下·海南海口·八年级海师附中校考期末）如图，已知抛物线 经过点
和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上的一动点（点 在直线 的下方），过点 作 轴，交直线 于点 ．
设点 的横坐标为 ，求线段 的长（用含 的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接 、 ，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标．
14．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，已知抛物线 经过 、
两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线 的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得 的周长最小，求出P点的坐标；
(3)设抛物线与直线 相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得 的面积等于
的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023上·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ，连接 ，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），过点
作 轴交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点 在 上方运动时，求 面积的最大值．
(3)已知点 是抛物线对称轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值
时，是否存在这样的点 ， ，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
