文档内容
专题05 有理数的加减乘除乘方的实际应用
1．四个村庄 ， ， ， 之间有小路相连，每条小路的长度如图所示（单位： ）．从任一
村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），最多需要经过 条小路，从
而可得最长线路长，再确定经过的路径即可.
【详解】
解：因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），
最多需要经过 条小路，
所以为达到不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度为：
路径为： ，
故选：
【点睛】
本题考查的是分析问题的能力，有理数的加法运算，理解题意得出为达到目的最多需要经过 条小
路是解题的关键.
2．小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，
小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘
贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．
【详解】
解：由题意得第一次复制得2张，
第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，
第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，
……，
第九次复制最多得29=512张，
第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
故选：B
【点睛】
本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．
3．甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，
一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此
循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（ ）米
A．3000 B．4000 C．5000 D．6000
【答案】B
【解析】
【分析】
根据小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的时间，先求出甲、乙两人相遇的时间，然后乘以小狗的
速度即可求出小狗的路程．
【详解】
解：由题意知，甲、乙两人相遇的时间为 分钟
∴小狗共跑了 米
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键在于明确小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的
时间．
4．甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三个瓶中水
量的比为3：2：1，那么乙瓶需倒出水 _____升．【答案】3升或5
【解析】
【分析】
根据题意和题目中的数据，可以计算出最后三个瓶中水的升数，再根据题意可以确定最少的为甲
瓶中的水，然后分两种情况，列出相应的方程，再求解即可．
【详解】
解：（10+4）÷（3+2+1）
＝14÷6
＝ （升），
则最后三个瓶中的水分别为： （升）， （升）， （升），
∵甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，
∴最后甲瓶中一定有水 升，则乙瓶中有水7升或 升，
设乙瓶倒出水x升，
则10﹣x＝7或10﹣x＝ ，
解得x＝3或 ，
即乙瓶需倒出水3升或 升，
故答案为：3升或 ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，
注意要分类讨论，不要漏解．
5．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”一样．比如阿
基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287表示，那么，公元a
年和公元前b相差的年数为_____．
【答案】 ．
【解析】【分析】
根据公元1年与公元前1年相差1年，公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，公元a年和公元前
b相差的年数为 即可．
【详解】
解：∵公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，
∴公元a年和公元前b相差的年数为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法计算，掌握“缺零数轴”表示相反意
义的数，利用有理数减法列式时与有0数轴相差1计算是解题关键．
6．斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例作引入，故又称为
“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，
假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子：
一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；
两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对；
三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对；
以此类推，八个月后，一共有________ 对兔子．
【答案】171
【解析】
【分析】
根据大兔，中兔与小兔进行分类大兔的2倍是小兔，小兔1个月后变中兔，三类兔子之和是总共有
的兔子，根据有理数的加法求和即可．
【详解】
解：设两月后的兔子称“大兔”，一个月后的兔子称“中兔”，刚出生的兔子称“小兔”
一个月后中兔1对，共1对兔，
二个月后大兔1对，小兔2对，共有1+2=3对兔，
三个月后大兔1对，中兔2对，小兔2对，共有1+2+2=5对兔，
四个月后大兔3对，中兔2对，小兔6对，共有3+2+6=11对兔，
五个月后大兔5对，中兔6对，小兔10对，共有5+6+10=21对兔，
六个月后大兔11对，中兔10对，小兔22对，共有11+10+22=43对兔七个月后大兔21对，中兔22对，小兔42对，共有21+22+42=85对兔，
八个月后大兔43对，中兔42对，小兔86对，共有43+42+86=171对兔．
故答案为171．
【点睛】
本题考查有理数的加法，根据分类确定大兔，中兔与小兔的对数是解题关键．
7．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A
处，需要步行到对面乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换
时间与小宇的步行时间如下表所示：
（图中箭头↑所示方向为北）
人行横道交通信号灯的切换时
小宇的步行时间
间
甲路口 每 沿人行横道穿过一条马路
乙路口 每 在甲、乙两路口之间（ 段）
假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交
通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横
道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为________ ．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据A向东过路口，等待0.5秒后，再向北过路口，在CD对面平行的路线到乙路口，共用时间7.5
秒，当到达乙路口时东西向的交通信号灯正处于绿灯，不用等待，过路口后直接到达B点．
【详解】
解：由已知得： （min）
故答案为：8．
【点睛】
本题考查有理数的加法运算．理清时间，弄清路口是否等待是解题关键．8．小明有一把两条直角边都带有刻度的三角尺，直角顶点 的刻度为 ．爱研究数学的小明做了
一个实验，他把三角尺的直角边 放到水平的数轴上，通过左右移动三角尺子，他发现：数轴上
表示数字 和 的点刚好能与直角边 上的刻度 和 分别重合，如图1，于是他又将该三角
板尺子绕着此时的点 顺时针旋转了 ，结果他又发现另一条直角边 上的点 与数轴上表示
数字 的点也重合，如图2，请你帮助小明计算一下，则点 在直角边 上所表示的刻度应为
________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题意先求得 点在数轴上表示的数，即可求得 的长，进而求得点 在直角边 上所表示
的刻度．
【详解】
数轴上表示数字 和 的点刚好能与直角边 上的刻度 和 分别重合，
，
即数轴上1个单位长度对应三角尺上10个单位，
，
点在数轴上表示的数表示是 ，
直角边 上的点 与数轴上表示数字 的点也重合，
，点 在直角边 上所表示的刻度为10．
【点睛】
本题考查了数轴上的点表示有理数，求得 点在数轴上表示的数是解题的关键．
三、解答题
9．仔细观察下列规律： ……请完
成下列题目（结果可以保留指数形式）
（1）计算： ________（直接写出答案）
（2）发现： __________（直接写出答案）
（3）计算：
【答案】（1） ；（2） ；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意可以发现规律2得a次方减去2的b次方（a，b为两个相邻的正整数，a＞b）
可得a的b次方，根据规律可得答案；
（2）根据（1）中的规律可得答案；
（3）依据（1）中的规律依次相减即可．
【详解】
解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3）
＝
＝
＝
．．．．．
＝
＝1．【点睛】
本题考查有理数乘方运算的规律、探索与表达规律．能找出题干所给的规律是解题关键．
10．已知一个三角形院墙，第一条边长为3a＋2b，第二条边比第一边长a﹣b，第三条边比第二条
边短2a．
（1）求这个三角形的周长（用含有a、b表示）．
（2）当求a＝2米，b＝1米时，这个三角形的周长是多少米？
（3）在（2）的条件下，围成院墙的材料20米以内收费每米180元，超过的部分每米只收费150
元，请问围成这个三角形的院墙至少要花费多少钱？
【答案】（1）9a＋4b；（2）22米；（3）3900元．
【解析】
【分析】
（1）先求出第二边长，第三边长，然后根据三角形的周长利用整式的加法求和即可；
（2）把a＝2米，b＝1米代入代数式求值即可；
（3）把三角形的周长分成两部分20×180+2×150计算即可．
【详解】
解：（1）∵第一条边长为3a＋2b，第二条边长为3a＋2b +a﹣b=4a＋b，第三条边长为4a＋b
-2a=2a＋b
这个三角形的周长=3a＋2b+4a＋b+2a＋b=9a＋4b；
（2）a＝2米，b＝1米时，9a＋4b=9×2+4×1=18+4=22(米)；
（3）围成这个三角形的院墙至少要花费20×180+2×150=3600+300=3900(元)．
【点睛】
本题考查列代数式，整式的加法，代数式的值，有理数乘法运算，掌握列代数式，整式的加法，
代数式的值，有理数乘法运算是解题关键．
11．大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：
A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；
B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？
（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要
付款多少元？能节省多少元？
【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【解析】
【分析】（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；
（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过
部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．
【详解】
解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，
∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，
第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
两次购物标价为220+630=850元，
∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，
王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【点睛】
本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．
12．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规
定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“ ”，低于40单的部分记为“ ”，下
表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12
(1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过
40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，
每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【答案】(1)43单
(2) 元
【解析】
【分析】
（1）由40单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案；
（2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可.
(1)解：该外卖小哥这一周平均每天送餐为：
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单.
(2)
解：该外卖小哥这一周工资收入为
【点睛】
本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，
正确的列代数式计算计算是解本题的关键.
13．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
① 的个位数字是___________； 的个位数字是___________；
② 的个位数字是___________； 的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
① 的个位数字是___________， 的个位数字是___________；
② 的个位数字是___________， 的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则 的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A
【解析】
【分析】
（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（3）根据（1）（2）中的结论可知 与 个位上的数字相同即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是9；
13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7；
故答案为：9；7；
②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行
循环
的个位数字是7， 的个位数字是7；
故答案为：7；7；
（2）①
7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是3， 的个位数字是3
故答案为：3；3
②
2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是8， 的个位数字是8
故答案为：8；8（3）由（1）（2）中的结论可知 与 个位上的数字相同
的个位上的数字恒为0
故选A．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．
14．若一个三位数t＝ （其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得
到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的
差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297．
（1）已知一个三位数 （其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝ ．
（2）若一个三位数t＝ （其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一
个新数 被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数 被4除余2，则称原数
为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个
“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值．
【答案】（1）9；（2）495
【解析】
【分析】
（1）由一个三位数 （其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，可得a＝9，依此即可求解；
（2）由一个三位数 （其中a、b都不为0）能被4整除，可得b＝2或4或6或8，根据将百位
上的数字移到个位得到一个新数 被4除余3，可得a＝7或3，再根据将新数的百位数字移到个
位得到另一个新数 被4除余2，可得b＝4或8，可得4的“循环数”t为344，384，744，
784，进一步求得F（t）的最大值．
【详解】
解：（1）∵一个三位数 （其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，∴F（a2b）＝100a+10b+2﹣（200+10b+a）＝99a﹣198＝693，
解得a＝9．
故答案为：9；
（2）∵一个三位数 （其中a、b都不为0）能被4整除，
∴b＝2或4或6或8，
∵将百位上的数字移到个位得到一个新数 被4除余3，
∴a＝7或3，
∵将新数的百位数字移到个位得到另一个新数 被4除余2，
∴b＝4或8，
∴4的“循环数”t为344，384，744，784，
∴F（344）＝443﹣344＝99，
F（384）＝843﹣348＝495，
F（744）＝744﹣447＝267，
F（784）＝874﹣478＝396．
F（t）最大值是495．
【点睛】
此题考查了同余问题，本题主要应用“差数”“循环数”的定义和整数性质，先将三位“差数”
进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数．这也是解答数学竞赛题的一种常用方法．
