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专题 06 利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用等积法求三角形中某边上的高
类型二、利用等积法验证勾股定理
类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积
类型四、利用割补法求不规则图形的面积
压轴专练
类型一、利用等积法求三角形中某边上的高
方法总结
1 1
1. 面积相等：同一三角形面积可用不同底和高表示，建立方程 ×底 ×高 = ×底 ×高 。
2 1 1 2 2 2
2. 高未知时：若已知两边长及第三边上的高，可先求三角形面积，再反推所求高。
解题技巧
1. 先求面积：优先用已知两边及夹角或三边（海伦公式）求出三角形面积。
2. 设未知数列式：设所求高为h，利用面积相等列一元一次方程求解。
例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的
高为 ．
【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在 中， ，若 ，
则 斜边上的高 的长为 ．
【变式1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， 是斜边上的高，如果 ，
，那么 ．
【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，腰长为4，则其底边上的高是 ．
类型二、利用等积法验证勾股定理
方法总结
1. 图形构造：构造以直角三角形三边为边的正方形或图形（如弦图）。
2. 面积相等：用两种不同方法计算整个图形的面积，得到等式，化简后即得a2 + b2 = c2。
解题技巧
1. 选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”图形，面积分割清晰。
2. 代数化简：将面积等式展开后，两边消去相同项，保留平方项即得勾股定理。
例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，垂足分
别为 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，连接 ， ，利用不同方法计算四边形 的面积，证明勾股定理．
【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会 会标如图1所示，会标
中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一
个小正方形拼成的大正方形．
(1)请用图2验证勾股定理： ；
(2)如果满足等式 的 是三个正整数，我们称 为勾股数．已知 是正整数且 ．
证明 是勾股数；
(3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各
边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，
不必说明理由）．
【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直
角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点 ， ，由于某种原
因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
(3)已知 中， ， ， 为 边上的高，且 ，请直接写出 的面积．
【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早
已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国
家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜．
【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边
分别为a、b，斜边为 ）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积 个小
三角形面积+小正方形面积，从而得到等式 ，化简证得勾股定理 ．
【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：
（1）如图1，若 ，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________．
（2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果 ，那么空白部分的面积等于__________．
（3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ，
求该风车状图案的面积．
【迁移运用】如图4，用三张含 角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验
证过程，发现含 角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？
（4）请直接写出此等量关系式：__________．
（知识补充：如图5，含 角的直角三角形，对边 ：斜边 定值 ．）
类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积
方法总结
1. 勾股树构造：以直角三角形三边为边长向外作正方形，重复此过程形成“树”状图形。
2. 面积递推：每个直角三角形所生三个正方形面积满足S = S + S ，各层面积之和有递推规律。
大 中 小
解题技巧
1. 找基本单元：识别图形中的直角三角形及其三边上的正方形，面积关系即勾股定理。
2. 分层求和：逐层计算各正方形面积，利用等比或等差规律求总面积。
例3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图， 中， ，分别以这个三角形的三条边为
边长向外作正方形，面积分别记为 ，若 ，则阴影部分的面积为 ．
【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆．
若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
【变式3-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，分别以 为
边向外作正方形 、正方形 、正方形 ，其面积分别为 ，则 之间的等
量关系为 ；分别以 为边向外作正方形，其面积分别为 ，则
之间的等量关系为 ．
类型四、利用割补法求不规则图形的面积
方法总结
1. 分割法：将不规则图形分割成若干个规则图形（三角形、矩形、梯形等），分别求面积后相加。
2. 补形法：将不规则图形补成一个规则图形，减去补上的部分面积即得原图形面积。
解题技巧
1. 选择最优法：根据图形特点，选择分割或补形中计算量较小的方法。
2. 坐标辅助：在网格或坐标系中，利用顶点坐标计算各规则图形的面积。例4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在 中， 三边的长分别为 、
、 ，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的
边长为1），再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样
不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1) 的面积=______； 边上的高=______．
(2)在图2中画 ， 三边的长分别为 、 、
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的
公式，即三角形的三边长分别为 ， ， ，则其中三角形的面积 .此公式与
古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
(1)如图 ，若 的三边长依次为 ， ， ．请利用以上公式（任选一个），
求该三角形的面积 ；(2)如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， ，求该四边形的面积．
【变式4-2】（24-25八年级上·广东惠州·月考）【问题背景】在 中， ， ， 三边的边长分
别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小
正方形的边长为 ），再在网格中画出格点 ，如图 所示．这样不需求 的高，借助网格就能计
算三角形的面积．
(1)直接写出 的面积， ．
(2)【思维拓展】若 三边的长分别为 ， ， ，请利用图 的正方形网格中画出
（每个小正方形的边长为 ），并直接写出 的面积， ．
(3)【探索创新】若 的三边长分别为 ， ， （ ， ，且
），请直接写出 的面积， ．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）综合与实践：
材料（一）小明遇到一个问题：在 中， ， ， 三边的长分别为 、 、 ，求
的面积．小明是这样解决问题的：如图 所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），
在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出
的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形
的边长为 ）
(1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______
(2)图2是一个 的正方形网格．利用构图法在图 中画出格点 ，使 ， ，；直接写出 的面积______
(3)如图 ，已知 ，以 ， 为边向外作正方形 ，正方形 ，连接 ， 与
面积之间的关系为______；
(4)请利用以上的解题方法求出图 中六边形花坛 的面积（正方形 面积为 ；正方形
面积为 ，正方形 面积为 ）为______．
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（
）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
2．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有 角的三角板 和 按如图所示的方式
放置．已知 ，则四边形 的面积为（ ）
A．24 B． C．48 D．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， ， ， 三点均在
正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． D．点 到直线 的距离是2
4．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数
思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾
股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾
股定理的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交 于
点P．如图所示，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．24
二、填空题
6．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形 的面积为．
7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直
线 的距离为 ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地 ，如图所示，
学校计划在空地上种植草皮．经测量 ， ， ， ， ，则空地
的面积为 ．
9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在 中， ，以 ， ， 向外作正方形，
面积依次分别记为 ， ， ，若阴影部分面积为 ，则 的值为 ．
10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，是 的平分线，若P、Q分别是 和 的动点，则 的最小值是 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在四边形 中，
，求四边形 的面积．
12．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架 ，
，两轮中心的距离 ．
(1)判断支架 ， 是否垂直；
(2)求点C到 的距离
13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛
而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图
1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾
股树”．解决问题：(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若
正方形的 面积分别是6，10，3，6，则正方形 的面积是_____，正方形 的边长是_______；
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接 ， ．
①求证：
②若正方形 ，正方形 的面积分别为16，9，请直接写出 的长为______．
14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．
(1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有________个；
(2)如图3，在 中， ，分别以 、 、 为边向外作等边三角形 、 、
．记 的边长为 、面积为 ， 的边长为 、面积为 ， 的边长为 、面积为 ．
请证明图3中 、 、 之间的数量关系；
(3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注
解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若 ，请直
接写出 ________．
15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为
“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如
图1所示的形状，使点 、 、 在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1， ， ，直角边分别为 ， ，斜边为 ，证明勾股定理
．
（2）如图2， ， ， ， ， ，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，该村为方便村民取水，
决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上 ，并新修一条路 ，使 ，现测得
千米， 千米， 千米，则新修路 的长为______千米．
