文档内容
猜想 01 一元二次方程的应用（8 种常见题型专练）
题型一：数字问题 题型二：传播问题
题型三：单循环问题 题型四：双循环问题
题型五：增长率问题 题型六：商品销售问题
题型七：图形面积问题 题型八：动态几何问题题型一：数字问题
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•包河区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字
的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为 x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数
的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．
故选：D．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
二．填空题（共1小题）
2．（2022秋•山亭区期末）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞
0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣
4ac＜0．
三．解答题（共2小题）
3．（2021秋•新民市期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四
个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为 33或65，若能求出最小数；若不
能请说明理由．【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x ＝﹣11，x ＝3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x（x+8）＝65，
解得x ＝﹣13（舍去），x ＝5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，
则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位
数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，
依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
∴x2﹣11x+30＝0，
∴x ＝5，x ＝6，
1 2
∴x﹣3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决
问题的关键．
题型二：传播问题
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•邢台期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有 1
人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮
传染中平均1人传染了x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144【分析】设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（x+1）
人被传染，根据“某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人
感染了德尔塔病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x
（x+1）人被传染，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝144．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•江津区期末）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效
隔离，经过两轮传染，共有196名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了 x人，则可列方程为（
）
A．1+x＝196 B．（1+x）2＝196
C．1+x2＝196 D．1+x+x2＝196
【分析】由“在每轮传染中，平均一个人传染了x人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，
结合“经过两轮传染，共有196名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵在每轮传染中，平均一个人传染了x人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，
即（1+x）2＝196．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•自贡期末）某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染 x个人，则第一轮传染中有 2x人被传染，第二轮传染中有 x
（2+2x）人被传染，根据“某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有 70人患了流感”，可得出关于
x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x
（2+2x）人被传染，
根据题意得：2x+x（2+2x）＝70，
整理得：x2+2x﹣35＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣7（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为5人．
故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每
轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝361 B．x2＝361
C．1+x+x2＝361 D．x（1+x）＝361
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，结合“有1人患病，经过两轮传染后有361人患病”，即可得出关于x的一元二次
方程，化简后即可得出结论．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝361，
即（1+x）2＝361．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2022秋•新华区校级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平
均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有（x+1）个人患了流感；②第2轮又增加（x+1）2个人患
流感；③依题意可得方程（x+1）2＝81；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确
的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有
x（1+x）人被传染，进而可得出1轮后有（x+1）个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传
染后，共有81人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入81
（x+1）中，可求出经过三轮传染后患病人数．
【解答】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人，
∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染，结论②不符合题意；
∴1轮后有（x+1）个人患了流感，结论①符合题意；
根据题意得：1+x+x（1+x）＝81，
即（x+1）2＝81，结论③符合题意；
解得：x ＝8，x ＝﹣10（不符合题意），
1 2
∴不考虑其他因素经过三轮一共会有81（x+1）＝81×（8+1）＝729人感染，结论④不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2022秋•绥中县期末）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发
现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，设每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，则可列方程为 1+ x + x （ 1+ x ）＝ 16 9 ．
【分析】由每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，可得出第一天有x只鸡被传染，第二天有x（1+x）只鸡
被传染，结合“红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有 169只鸡患有这种病”，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，
∴第一天有x只鸡被传染，第二天有x（1+x）只鸡被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169．
故答案为：1+x+x（1+x）＝169．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
7．（2022 秋•万全区期末）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 10 人.
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传
染后共有121名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中，平均一个人传染了10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
8．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数 R 的数字，简单来说，就是一个人在
0
一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有 36人感染，求新冠
病毒的基本传染数R ．
0
【分析】利用经过两个周期的传染后感染新冠的人数＝1×（1+R ）2，即可得出关于R 的一元二次方程，
0 0
解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（1+R ）2＝36，
0
解得：R ＝5或R ＝﹣7（不合题意，舍去）．
0 0
答：新冠病毒的基本传染数R 为5．
0
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021秋•驿城区期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定
将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，
张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴
口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠
肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传染，
根据经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传
染，
依题意得：1+x+（1+x）x＝169，
解得：x ＝12，x ＝﹣14（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了12人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022秋•宁强县期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121
人患病，设每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，则第一轮传染中有 x人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，根据“有一人患病，经过两轮传染后有121人患病”，可得出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病
毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被
感染，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎”，即可得出
关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）
人被感染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，
整理得：（1+x）2＝196，
解得：x ＝13，x ＝﹣15（不符合题意，舍去）．
1 2答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•凤翔县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的
传染中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 x （ x + 1 ） ；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人
患病的情况发生，并说明理由．
【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数＝在每轮的传染中平均一个人传染的人数×（第一轮被传染
上流感人数+1），即可用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数＝1+第一轮被传染上
流感人数+第二轮被传染上流感人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由其正
值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【解答】解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
∵x ＝10为正整数，
1
∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系
用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13．（2021秋•玉山县期末）某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，
就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后
将有多少人被感染？
【分析】设每轮传播中平均一个人会传染给 x个人，则第一轮会传染给 2x人，第二轮会传染给 x
（2+2x）人，根据经两轮传播后共五十个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即
可得出每轮传播中平均一个人会传染给4个人，再利用经过三轮传播后被感染的人数＝经过两轮传播后
被感染的人数×（1+每轮传播中平均一个人传染的人数），即可求出结论．
【解答】解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x
（2+2x）人，
依题意得：2+2x+x（2+2x）＝50，
整理得：x2+2x﹣24＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣6（不合题意，舍去），
1 2
∴50（1+4）＝50×5＝250（人）．答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2021秋•衡山县期末）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．
（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病
的情况发生，请说明理由．
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，
他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔
离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系
列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
【解答】解：（1）（1+x）人，
（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人
根据题意得：x﹣1+x（x﹣1）＝21
整理得：x2﹣1＝21
解得： ，
∵x ，x 都不是正整数，
1 2
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及
时隔离并治愈列出方程并求解．
题型三：单循环问题
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参
赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，
则下列方程正确的是（ ）
A． B．x（x﹣1）＝4
C．x（x+1）＝28 D．
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝4×7，
即 x（x﹣1）＝28．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022秋•潼南区期末）第22届世界杯足球赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔举行，在此
期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每
两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（
）
A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66
C． ＝66 D． ＝66
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝66．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•离石区期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔开幕．为了迎接世界杯
的到来，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了 60场比赛．设比赛组
织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝60
C．x（x+1）＝60 D． x（x﹣1）＝60
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝60．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•河西区校级期末）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6场比赛，
设该小组有x支球队，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝6 B．x（x+1）＝6
C． D．
【分析】设该小组有x支球队，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 x（x﹣1）场比赛，从而可以列
出一个一元二次方程．【解答】解：设该小组有x支球队，则共有 x（x﹣1）场比赛，
由题意得： x（x﹣1）＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n支球队参加，
那么就有 n（n﹣1）场比赛，此类虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
5．（2022秋•开封期末）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个
队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设共有x个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数＝参赛队伍个数×（参赛队伍个数﹣1）÷2，
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个球队参赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不符合题意，舍去），
1 2
∴共有8个球队参赛．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋•番禺区校级期末）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计
划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为
（ ）
A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【分析】关系式为： ×球队总数×每支球队需赛的场数＝21，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）＝21．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，
注意，若2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
二．填空题（共4小题）
7．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6
场比赛，则该小组有 4 支球队．【分析】设该小组有x支球队，利用比赛的总场数＝小组球队数×（小组球队数﹣1）÷2，可得出关于x
的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该小组有x支球队，
根据题意得： x（x﹣1）＝6，
整理得：x2﹣x﹣12＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣3（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组有4支球队．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了
10次手，则这次会议到会的人数是 5 人．
【分析】设这次会议到会的人数是x人，利用握手总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，可得出关于
x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这次会议到会的人数是x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝10，
整理得：x2﹣x﹣20＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣4（不符合题意，舍去），
1 2
∴这次会议到会的人数是5人．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021秋•襄州区期末）某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），
据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有 8 个班．
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数＝x（x﹣1）÷2，即可列方程求
解．
【解答】解：设九年级共有x个班级．
依题意得： x（x﹣1）＝28．
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不合题意舍去）．
1 2
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数
×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．
10．（2021秋•滦州市期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安
排21场比赛，应邀请 7 个球队参加比赛．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝ ．即可列方程求解．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2＝21，
解得x＝7或﹣6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
三．解答题（共2小题）
11．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参赛的每两个人之间都要比
赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共
有多少学生参加了冬运会乒乓球赛？
【分析】设共有x名学生参加了冬运会乒乓球赛，利用比赛的总场数＝参赛学生人数×（参赛学生人数
﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设共有x名学生参加了冬运会乒乓球赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝15×3，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：共有10名学生参加了冬运会乒乓球赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•老河口市期末）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，
所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【分析】设共有x家公司参加商品交易会，就可以得出有 份合同，根据总共有45份合同建立
方程组，求出其解即可．
【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意，得
＝45，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（舍去）．
1 2
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循
环问题的数量关系建立方程是关键．
题型四：双循环问题
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•呈贡区期末）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了 110件礼物，
若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110
C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110【分析】由参加聚会小朋友的人数为x人，可得出每人需赠送出（x﹣1）件礼物，根据全部小朋友共互
赠了110件礼物，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵参加聚会小朋友的人数为x人，
∴每人需赠送出（x﹣1）件礼物．
根据题意得：x（x﹣1）＝110．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•江门期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留
念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560 B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560 D．2x（x﹣1）＝1560
【分析】由全班人数，可得出每人需送出（x﹣1）张照片，结合全班共送了1560张照片，即可得出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全班共有x名学生，
∴每人需送出（x﹣1）张照片．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3．（2022秋•鸡西期末）一个班级里共有x人，每人都分别给班里的其他同学发一条信息，共发信息 1980
条，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝1980
C． D．x（x+1）＝1980
【分析】由班级的人数，可得出每人需发送（x﹣1）条信息，结合该班级共发信息1980条，即可得出
关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵一个班级里共有x人，
∴每人需发送（x﹣1）条信息．
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•番禺区期末）某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90C．x（x﹣1）＝90×2 D．x（x+1）＝90×2
【分析】由全组的人数可得出每名同学需赠送出（x﹣1）件标本，结合全组共赠送了90件标本，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全组共有x名同学，
∴每名同学需赠送出（x﹣1）件标本．
根据题意得：x（x﹣1）＝90．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2022秋•昌图县期末）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全
班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应
该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1260．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少
张是解题关键．
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有
40 名学生．
【分析】设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡
的数量＝人数×每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
【解答】解：设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝1560，
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣39（不合题意，舍去），
1 2
∴九（1）班有40名学生．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2021秋•虎林市校级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建
团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出 90张名片，则这个团队有 1 0 人．
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名
片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 9 人．
【分析】设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组共有9人．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
9．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛 90场，
共有多少个队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）
＝90，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
答：共有10支队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
题型五：增长率问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•万州区期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万
元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是
（ ）
A．2500（1+2x）＝3600 B．2500（1+2x%）＝3600C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x%）2＝3600
【分析】利用该公司12月的营业额＝该公司10月份的营业额×（1+该公司11，12两月的营业额的月平
均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：2500（1+x）2＝3600．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
2．（2022秋•九龙坡区期末）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万
元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（
）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
【分析】由该棉签生产工厂2022年十月棉签产值及月平均增长率，可得出该棉签生产工厂 2022年十一
月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元，结合该棉签生产工厂2022年第
四季度总产值达331万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是x，
∴该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元．
根据题意得：100+100（x+1）+100（x+1）2＝331．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
二．填空题（共4小题）
3．（2022秋•法库县期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走
长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到
12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 1 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 12. 1 ．
【分析】利用5月份的参观人数＝3月份的参观人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二
次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12.1．
故答案为：10（1+x）2＝12.1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
4．（2022秋•丹东期末）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一
个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进
馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 56 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 83 0 ．【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：560（1+x）2＝830．
故答案为：560（1+x）2＝830．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2022秋•市北区校级期末）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年
时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的
增长率相同，预计2024年投资7.2亿元人民币，设每年投资的增长率x，根据题意，可列方程为 5
（ 1+ x ） 2 ＝ 7. 2 ．
【分析】利用预计2024年投资金额＝2022年投资金额×（1+每年投资的增长率）2，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得5（1+x）2＝7.2，
故答案为：5（1+x）2＝7.2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
6．（2022秋•宜宾期末）我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从 1月份的
100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 10% ．
【分析】设从1月份到3月份的月平均增长率为x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+从1月
份到3月份的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设从1月份到3月份的月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
7．（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，
4月份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月
份的营业额；
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份
的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1250×（1+20%）＝1250×1.2
＝1500（万元）．
答：该商场2月份的营业额为1500万元．
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝1815，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
8．（2022秋•建邺区期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一
种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率．
【分析】设平均每年的增产率为x，根据该作物的产量两年内从300千克增加到363千克，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每年的增产率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝363，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每年的增产率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2022秋•同心县期末）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年
1月份销售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3
月份的销售量达到400包，若设2、3两个月销售量的月平均增长率为x，求平均增长率．
【分析】利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+2、3两个月销售量的月平均增长率）2，可得出关
于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2、3两个月销售量的月平均增长率为25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022秋•郸城县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联
合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月
生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情
况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工
厂二月份生产“冰墩墩”的数量×（1+该工厂平均每月生产量的增长率）2，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）个，利用总利
润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结
论．
【解答】解：（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%．
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出20+10× ＝（20+5y）个，
依题意得：（40﹣y）（20+5y）＝1440，
整理得：y2﹣36y+128＝0，
解得：y ＝4，y ＝32（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋•芜湖期末）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今
年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不
变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品
每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，利用四月份的销售量＝二月份的销售量×
（1+三、四这两个月销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可
得出结论；
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利
用五月份的销售总利润＝每盒的销售利润×五月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取
其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，
依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y ＝5，y ＝﹣70（不符合题意，舍去）．
1 2
答：当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背
景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022
年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优
惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在
只花费了1200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次
降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，利用数量＝
总价÷单价，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分
率）2，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意．
答：每张电影票的原定零售票价是40元；
（2）设平均每次降价的百分率为y，
根据题意得：40（1﹣y）2＝32.4，
解得：y ＝0.1＝10%，y ＝1.9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次降价的百分率为10%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13．（2022秋•林州市期末）口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，
对进入肺部的空气有一定的过滤作用，N95口罩的防护等级为N95级，表示在NIOSH标准规定的检测
条件下，口罩滤料对非油性颗粒物（如粉尘、酸雾、漆雾、微生物等）的过滤效率达到 95%．据调查，
2022年9月份某厂家N95口罩产量为80万只，10月份比9月份增加了25%，第四季度N95口罩的总产
量为436万只．（1）该厂家10月份的N95口罩产量为 10 0 万只；
（2）该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是多少？
【分析】（1）利用该厂家10月份的N95口罩产量＝该厂家9月份的N95口罩产量×（1+25%），即可
求出结论；
（2）设该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是x，则该厂家2022年11月份N95口罩产量为
100（1+x）万只，12月份N95口罩产量为100（1+x）2万只，根据该厂家第四季度N95口罩的总产量为
436万只，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵80×（1+25%）＝100（万只），
∴该厂家10月份的N95口罩产量为100万只．
故答案为：100；
（2）设该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是x，则该厂家2022年11月份N95口罩产量为
100（1+x）万只，12月份N95口罩产量为100（1+x）2万只，
根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝436，
化简得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x ＝0.4＝40%，x ＝﹣3.4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2022秋•南川区期末）抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年 10月，某社区根
据实际需要，采购了10000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．
（1）为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数
的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？
（2）据统计，10月份，该社区有400户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区
工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需
要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人品需要口罩的个数比10月份增加了1.5a%，同时，
由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．
【分析】（1）设用于该社区家庭的口罩有x个，则用于社区工作人员的口罩有（10000﹣x）个，根据
用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，即可得出关于x的一元一次不
等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
