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专题 09 选择压轴题分类练（十二大考
点）
实战训练
一．规律类
1．图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A 出现在书B 中时，a ＝1，否
i j ij
则a ＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A 出现在书B 中时，a ＝1，否则a ＝0．根据上
ij 1 4 14 14
述规定，某读者去图书馆寻找关键词A ，A ，A ，则下列相关表述错误的是（ ）
2 5 6
A．当a +a +a ＝3时，只需要选择B 这本书就可以找到所有的关键词
21 51 61 1
B．当a +a +a ＝0时，从B 这本书查不到需要的关键词
2j 5j 6j j
C．当a +a +a ＞0时，可以从B 这本书查到需要的关键词
2j 5j 6j j
D．当a +a +a ＜3时，从B 这本书一定查不到需要的关键词
22 52 62 2试题分析：根据题意a 的值要么为1，要么为0，当关键词A 出现在书B 中时，元素a ＝1，否
ij i j ij
则a ＝0（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可．
ij
答案详解：解：根据题意a 的值要么为1，要么为0，
ij
A、a +a +a ＝3，说明a ＝1，a ＝1，a ＝1，故关键词“A ，A ，A ”同时出现在书B 中，
21 51 61 21 51 61 2 5 6 1
而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A ，A ，A ”的书，故A表述正确；
2 5 6
B、根据前述分析可知，只有当a +a +a ＝3时，才能选择B 这本书，而a +a +a 的值可能为
2j 5j 6j j 2j 5j 6j
0、1、2、3，
故B表述错误，符合题意．
C、当a ，a ，a 全是1时，则a ＝1，a ＝1，a ＝1，故关键词“A ，A ，A ”同时出现在书
2j 5j 6j 2j 5j 6j 2 5 6
B 中，故C表述正确；
j
D、当a +a +a ＜3时，则a 、a 、a 时必有值为0的，即关键词“A ，A ，A ”不同时具有，
22 52 62 22 52 62 2 5 6
从而在B 查不到需要的关键词，故B表述正确；
2
所以选：B．
二．函数关系的描述。
2．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以
点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y， A
的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） ⊙
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
试题分析：根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
答案详解：解：y＝5﹣t，属于一次函数关系，
S＝ t2，属于二次函数关系，
所以π选：C．
3．圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（ ）A． B．
C． D．
nπr2
试题分析：根据扇形的面积公式S= ，得出S与r的函数关系式，进而根据函数的性质求解
360
即可．
答案详解：解：∵圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，
60πr2 πr2
∴S= = ，
360 6
∴S是r的二次函数，且r＞0，
∴C、D错误；
π
∵r＝1时，S= ＜1；
6
4π
r＝2时，S= ≈2.09，
6
所以选：A．
三．新定义
4．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上
的“好点”共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于 x的一元二次方程，解之
即可得出结论．
答案详解：解：设函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”的坐标为（x，y），
当x≥0时，则y＝x﹣3，所以，x（x﹣3）＝1，
3−√13 3+√13
解得：x = （不合题意，舍去），x = ；
1 2 2 2当x＜0时，则y＝﹣x﹣3，所以，x（﹣x﹣3）＝1，
−3−√5 −3+√5
解得：x = ，x = ．
3 2 4 2
∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．
所以选：C．
四．函数图像的共存
5．抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y＝bx+b2﹣4ac 与反比例函数 y
(a+b+c)(a−b+c)
= 在同一坐标系内的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
试题分析：根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，然后根据x＝
﹣1，x＝1时函数图象的位置求出a﹣b+c和a+b+c的符号，最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负
情况，从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解．
答案详解：解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
b
∵对称轴为直线x=− ＞0，
2a
∴b＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
所以选：D．
五．二次函数的最值
6．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣
n的值为（ ）
10
A．9 B．8 C．1 D．
3
试题分析：用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根
据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
答案详解：解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
{2−a≥0①
∴ ，
3a+4≥0②
解不等式①得，a≤2，
4
解不等式②得，a≥− ，
3
4
∴− ≤a≤2，
3
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
2
∴对称轴为直线a=− =−1，
2×1
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．所以选：B．
7．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
试题分析：先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，
并结合图象解答即可．
答案详解：解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
所以选：B．
六．动点轨迹
8．如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边
DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点P
运动的路径长为（ ）
A．8√2 B．4√2 C．4 D．2
试题分析：如图，连接AC、BD交于点O．首先证π明∠DPE＝∠APD＝9π0°，即可推出点P的运
动轨迹是以AD为直径的圆上的弧O^D，由此即可解决问题；
答案详解：解：如图，连接AC、BD交于点O．∵DE＝CF，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CDF+∠DEP＝90°，
∴∠DPE＝∠APD＝90°，
∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧O^D，
1
∴点P运动的路径长为 •2 •4＝2 ，
4
π π
所以选：D．
七．二次函数图像与系数的关系
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，
3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
2
②﹣1≤a≤− ；
3
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
c
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合 b＝﹣2a可得出a=− ，再结合抛物线与y轴交点的
3
2
位置即可得出﹣1≤a≤− ，结论②正确；
3
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得
出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有
两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
答案详解：解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
c
∴a=− ．
3
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
2
∴﹣1≤a≤− ，结论②正确；
3
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
所以选：C．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设
P＝a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
试题分析：利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x＝﹣1代入求出b＝a﹣
3，把x＝1代入得出P＝a+b+c＝2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
答案详解：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，
∴b＝a﹣3，
∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，
∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a﹣3＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．
所以选：B．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：
①ac＜0；
②当x≥1时，y随x的增大而减小；
③2a+b＝0；
④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0；
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
试题分析：由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可判断①；由二次函数的性质即可判
断②；由抛物线对称轴为直线x＝1，即可得出b＝﹣2a，进而可得出2a+b＝0，即可判断③；
④由抛物线与x轴的交点情况即可判断④；⑤由当x＝﹣2时，y＞0可得出4a﹣2b+c＞0，即
可判断⑤．
答案详解：解：∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，结论④错误；
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．
所以选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y ）
1
是该抛物线上一点，若点D（x ，y ）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②
2 2
若y ＞y ，则x ＞4；③3a+c＝0；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x 和x ，且
2 1 2 1 2x ＜x ，则﹣1＜x ＜x ＜3．⑤m为任意实数，则m（am+b）≥﹣4a﹣c．其中正确结论的个数
1 2 1 2
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：由顶点坐标，根据对称轴方程求得b＝﹣2a，进而得到c＝﹣3a，代入4a﹣2b+c即可
判断①③；根据抛物线的对称性即可判断②；方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x
1
和x ，可得抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x ，﹣1）和（x ，﹣1），
2 1 2
再由抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），即
可判断④；根据二次函数的性质可判断⑤．
答案详解：解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣
4a），
b
∴x=− =1，且﹣4a＝a+b+c，
2a
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），3a+c＝0，
故①③的结论正确；
∵点A（4，y ）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y ），
1 1
∴当y ＞y ，则x ＞4或x ＜﹣2，
2 1 2 2
故②错误；
∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x 和x ，且x ＜x ，
1 2 1 2
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x ，﹣1）和（x ，﹣1），
1 2
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，
即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x ＜x ＜3，
1 2
故④正确；
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4a），∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≥﹣4a，
即m（am+b）≥﹣4a﹣c，
故⑤正确．
所以选：D．
13．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，
0），其部分图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a﹣b+c＝0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x ＝﹣1，x ＝3；
1 2
⑤8a+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
试题分析：根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标即可判断a，b，c的值，即可判断
①；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断②；把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中，进行计
算即可判断③；根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断④；根据抛物线的
对称轴可得b＝﹣2a，再根据当x＝﹣2时，y＜0，进行计算即可判断⑤．
答案详解：解：∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中得：
a﹣b+c＝0，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
故④正确；
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，
∴8a+c＜0，
故⑤正确；
所以，上列结论中正确的有4个，
所以选：A．
14．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（
）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4试题分析：先确定y 的二次项系数为1，然后根据二次项系数的绝对值大，图象开口反而小即可
2
得出结论．
答案详解：解：由图象可知：开口都是向上，二次项系数都大于 0，函数y 的开口最大，y 和
1 2
y 的开口一样大，y 的开口最小，
3 4
∵抛物线y 的顶点为（0，﹣1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y ＝x2﹣
2 2
1，则二次项的系数为1，
故解析式中的二次项系数一定小于1的是y
1
所以选：A．
八．二次函数与坐标轴交点问题
15．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴
交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（ ）
3 9 3
A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜− D．− ＜a＜−
2 2 2
试题分析：根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，
3），得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．
答案详解：解：根据图象得：a＜0，b＜0，
∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），
{a+b+c=0
∴ ，
c=3
∴a+b＝﹣3，
∵b＜0，
∴﹣3＜a＜0，
所以选：B．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的
直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离为（ ）5 9 7
A． B． C．2 D．
2 4 4
试题分析：设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c＝m两根的差为3，又x2+bx+c＝0时，Δ＝
0，列式求解即可．
答案详解：解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴b2﹣4c＝0，
设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c＝m两根的差为3，
(x +x ) 2−4x x =(x −x ) 2
1 2 1 2 1 2
可得：b2﹣4（c﹣m）＝9，
9
解得：m= ．
4
所以选：B．
k 3
17．能使分式方程 +2= 有非负实数解且使二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点
1−x x−1
的所有整数k的积为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣60 D．60
试题分析：①解分式方程，使x≥0且x≠1，求出k的取值；
②因为二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，所以Δ＜0，列不等式，求出k的取值；
③综合①②求公共解并求其整数解，再相乘．
k 3
答案详解：解： +2= ，
1−x x−1
去分母，方程两边同时乘以x﹣1，
﹣k+2（x﹣1）＝3，
5+k
x= ≥0，
2
∴k≥﹣5①，∵x≠1，
∴k≠﹣3②，
由y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，则4﹣4（﹣k﹣1）＜0，
k＜﹣2③，
由①②③得：﹣5≤k＜﹣2且k≠﹣3，
∴k的整数解为：﹣5、﹣4，乘积是20；
所以选：B．
九．点与圆的位置关系
18．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 12m的正方形演出区域，并在该区域画出
4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定
位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东
侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被
喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PD．求出PA，PB，PT，PC即可判
断．
答案详解：解：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PT．由题意，OA＝6m，
∴PA＝8m＜10m，
∵PT=√32+82=√73m＜10m，PB＝11m＞10m，PC＞PB＞10m，
∴为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是2个，
所以选：B．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的 A上一动点，
连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ） ⊙
A．3.5 B．4.5 C．4 D．3
试题分析：连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE
1
= PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
2
答案详解：解：连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴CD＝DB= BC＝3，
2
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
1
∴DE= PB，
2
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为1的 A上一动点，
∴当PB过圆心A时⊙，PB最大，
∵BD＝3，AD＝4，
∴AB=√32+42=5，
∵ A的半径为1，
∴⊙PB的最大值为5+1＝6，∴DE长的最大值为3，
所以选：D．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心
作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，那么r的取值范围是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
试题分析：先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结
论．
答案详解：解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD=√AC2+CD2=√42+32=5．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
∵以点D为圆心作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，
∴r的范围是4＜r＜⊙5， ⊙ ⊙
所以选：A．
十．函数图象上点的坐标特征
21．在下列函数图象上任取不同两点P（x ，y ），Q（x ，y ），一定能使（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞
1 1 2 2 2 1 2 1
0成立的是（ ）
A．y＝﹣2x+1（x＜0） B．y＝﹣x2﹣2x+8（x＜0）
√5
C．y= （x＞0） D．y＝2x2+x﹣6（x＞0）
x
试题分析：据各函数的增减性依次进行判断即可．答案详解：解：A、∵k＝﹣2＜0
∴y随x的增大而减小，即当x ＞x 时，必有y ＜y
1 2 1 2
∴当x＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0，
2 1 2 1
故A选项不符合；
B、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜﹣1时y随x的增大而增大，
∴当x＜﹣1时：能使（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0成立，
2 1 2 1
故B选项不符合；
C、∵√5＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x＞0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0，
2 1 2 1
故C选项不符合；
1
D、∵a＝2＞0，对称轴为直线x=− ，
4
1
∴当x＞− 时y随x的增大而增大，
4
∴当x＞0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0，
2 1 2 1
故D选项符合；
所以选：D．
22．已知点P （x ，y ），P （x ，y ）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x ＜x ，则下
1 1 1 2 2 2 1 2
列说法正确的是（ ）
A．若x +x ＜4，则y ＜y
1 2 1 2
B．若x +x ＞4，则y ＜y
1 2 1 2
C．若a（x +x ﹣4）＞0，则y ＞y
1 2 1 2
D．若a（x +x ﹣4）＜0，则y ＞y
1 2 1 2
试题分析：通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．
答案详解：解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，
4a
∴抛物线对称轴为直线x=− =2，
−2a
P （x ，y ）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x ，y ），
2 2 2 2 2
若x +x ＜4，由x +4﹣x ＝4，x ＜x ，可得x ＜4﹣x ，
1 2 2 2 1 2 1 2
当抛物线开口向上时，y ＞y ，
1 2∴选项A错误．
若x +x ＞4，由x +4﹣x ＝4，x ＜x ，可得4﹣x ＜x ＜x ，
1 2 2 2 1 2 2 1 2
当抛物线开口向下时，y ＞y ，
1 2
∴选项B错误．
若a（x +x ﹣4）＞0，当x +x ＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，
1 2 1 2
∴y ＞y ，
1 2
当x +x ＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
1 2∴y ＞y ，选项C正确．
1 2
若a（x +x ﹣4）＜0，当x +x ＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
1 2 1 2
∴y ＜y ，选项D错误．
1 2
解法二：作差法，
∵y ＝﹣ax2+4ax +c，y ＝﹣ax 2+4ax +c，
1 1 1 2 2 2
∴y ﹣y ＝﹣ax2+4ax +c﹣（﹣ax 2+4ax +c）
1 2 1 1 2 2
＝﹣a（x 2−x 2）+4a（x ﹣x ）
1 2 1 2
＝﹣a（x +x ）（x ﹣x ）+4a（x ﹣x ）
1 2 1 2 1 2
＝﹣a（x ﹣x ）（x +x ﹣4）
1 2 1 2
∵x ＜x ，
1 2
∴x ﹣x ＜0，
1 2
当a（x +x ﹣4）＞0时，则﹣a（x ﹣x ）（x +x ﹣4）＞0，
1 2 1 2 1 2
∴y ＞y ，
1 2
所以选：C．
23．已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的
图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（ ）
A．4√13 B．2√13 C．6√2 D．3√2
试题分析：先通过二次函数的解析式求得C的坐标，然后作C关于x轴的对称点C′（2，2），
连接AC′，交x轴于B，此时，
AB+BC的值最小，最小值为AC′．
答案详解：解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k＝（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣2）k﹣2＝（x﹣2）
（x﹣1+k）﹣2，∴图象必过一定点C（2，﹣2），
∴点C关于x轴的对称点C′（2，2），
∵A（﹣4，﹣4），
∴AC′=√(−4−2) 2+(−4−2) 2=6√2，
∴AB+BC的最小值是6√2，
所以选：C．
24．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（m，m2﹣bm），b为常数且b＞3．若m2﹣bm＞2−√2
b
b，m＜ ，则点M的横坐标m的取值范围是（ ）
2
3 3
A．0＜m＜√2 B．m＜√2 C．√2＜m＜ D．m＜
2 2
试题分析：令y＝m2﹣bm﹣2+√2b，利用二次函数的图象及性质，可知当m＜√2或m＞b−√2
b b
时，m2﹣bm＞2−√2b，再由y＝m2﹣bm﹣2+√2b的对称轴为直线m= ，结合m＜ ，即可求
2 2
解．
答案详解：解：令y＝m2﹣bm﹣2+√2b，
当y＝0时，m2﹣bm﹣2+√2b＝0，
∴m=√2或m＝b−√2，
∵b＞3，
∴当m＜√2或m＞b−√2时，m2﹣bm＞2−√2b，b
∵y＝m2﹣bm﹣2+√2b的对称轴为直线m= ，
2
b
又∵m＜ ，
2
∴m的取值在对称轴的左侧，
∴m＜√2，
所以选：B．
25．已知P （x ，y ），P （x ，y ）是抛物线y＝ax2+4ax+5上的点，且y ＞y ．下列命题正确的是
1 1 1 2 2 2 1 2
（ ）
A．若|x +2|＜|x +2|，则a＜0 B．若|x ﹣2|＞|x ﹣2|，则a＞0
1 2 1 2
C．若|x +2|＞|x +2|，则a＜0 D．若|x ﹣2|＜|x ﹣2|，则a＞0
1 2 1 2
试题分析：先找出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质判断各个选项即可．
答案详解：解：由y＝ax2+4ax+5＝a（x+2）2﹣4a+5知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
A、若|x +2|＜|x +2|，则a＜0，此选项正确，符合题意；
1 2
B、若|x ﹣2|＞|x ﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意；
1 2
C、若|x +2|＞|x +2|，则a＞0，此选项错误，不符合题意；
1 2
D、若|x ﹣2|＞|x ﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意．
1 2
所以选：A．
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则
a的值是（ ）
1 1
A．﹣1 B．− C． D．1
4 4
试题分析：将（2，n）代入求出a，b，c与n的关系，由当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1
可得抛物线开口向上，顶点纵坐标为n，c＝n+1，进而求解．
答案详解：解：将（2，n）代入y＝ax2+bx+c得n＝4a+2b+c，
∵x＞0时，y≥n，
∴抛物线开口向上，
∵x≤0时，y≥n+1，
∴x＝0时，y＝c＝n+1，
把c＝n+1代入n＝4a+2b+c得n＝4a+2b+n+1，
整理得4a+2b＝﹣1，
∵x＞0时，y≥n，∴抛物线顶点纵坐标为y＝n，
b b2 b2
把x=− 代入y＝ax2+bx+n+1得y= − +n+1＝n，
2a 4a 2a
b2
∴ =1，即b2＝4a，
4a
∴4a+2b＝b2+2b＝﹣1，
解得b＝﹣1，
b2 1
∴a= = ．
4 4
所以选：C．
十一．旋转的妙用
27．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝
4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D CE （如图2），此时AB与CD 交
1 1 1
于点O，则线段AD 的长度为（ ）
1
A．√13 B．√5 C．2√2 D．4
试题分析：首先由旋转的角度为 15°，可知∠ACD ＝45°．已知∠CAO＝45°，即可得
1
AO⊥CD ，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD 中，通过解直角三角形求得AD 的长．
1 1 1
答案详解：解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝4，则AC＝BC＝2√2．
同理可求得：AO＝OC＝2．
在Rt△AOD 中，OA＝2，OD ＝CD ﹣OC＝3，
1 1 1
由勾股定理得：AD =√13．
1
所以选：A．28．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分
几何图形的周长为（ ）
√3 √3 √3
A． B．4− C．1− D．4
3 3 3
试题分析：B′C′交CD于E，连接AE，如图，根据旋转的性质得AB＝AB′＝1，∠ABC＝
∠AB′C′＝90°，∠BAB′＝30°，再证明Rt△AB′E≌Rt△ADE，得到B′E＝DE，所以图中
阴影部分几何图形的周长＝CE+EB′+AB′+AB+BC＝CE+ED+AB′+AB+BC＝CD+AB′
+AB+BC，即图中阴影部分几何图形的周长为4．
答案详解：解：B′C′交CD于E，连接AE，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，
∴AB＝AB′＝1，∠ABC＝∠AB′C′＝90°，∠BAB′＝30°，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
{AB'=AD
，
AE=AE
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴B′E＝DE，
∴图中阴影部分几何图形的周长＝CE+EB′+AB′+AB+BC
＝CE+ED+AB′+AB+BC
＝CD+AB′+AB+BC
＝1+1+1+1
＝4．
所以选：D．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的
中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
试题分析：如图连接PC．思想求出PC＝2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问
题．
答案详解：解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
1
∴PC= A′B′＝2，
2
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
所以选：B．
十二．频率与概率
30．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
n
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
n
m
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可
以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为 3000时，出现“正面向上”的次数不一
定是1558次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
试题分析：根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
答案详解：解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概
率不一定是0.512，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可
以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为 3000时，出现“正面向上”的次数不一
定是1558次，本小题推断合理；
所以选：C．
