文档内容
第 01 讲 二次根式（2 个知识点+2 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
①“ ”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根
式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能
利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识复习
一．二次根式的定义（共18小题）
1．（2023春•北仑区校级期中）如果 是二次根式，那么 应满足的条件是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得， ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
2．（2023春•霍邱县期末）代数式 不一定 是二次根式（填“一定”“一定不”
“不一定”
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解： 当 时， ，
当 时，代数式 不是二次根式，
代数式 不一定是二次根式．
故答案为：不一定．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 的式子叫做二
次根式是解题的关键．
3．（2023 春•钢城区期中）观察下列各式：① ，② ，③
， ，根据以上规律，第 个等式应为： 为正整数） ．
【分析】观察所给的等式易得第 个等式应为： 为正整数）．
【解答】解：第 个等式应为： 为正整数）．
故答案为： 为正整数）．
【点评】本题考查了二次根式的定义：形如 叫二次根式．
4．（2023春•西宁期末）下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．
【解答】解： 、 的被开方数 ，不是二次根式，故此选项不符合题意；
、 是三次根式，故此选项不符合题意；
、 的被开方数 ，是二次根式，故此选项符合题意；
、 的被开方数 有可能小于0，即当 时不是二次根式，故此选项不符合题
意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子 叫做二次根式，熟记定义
是解题的关键．
5．（2023春•信州区校级期中）若 是整数，则正整数 的最小值是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出
的最小整数值．【解答】解： ；
由 是整数，得 最小值为6，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
6．（2023春•西青区期中）已知 是整数，非负整数 的最小值是
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】根据 是整数，得到 是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件
即可得到答案．
【解答】解： ，且 是整数，
是整数，即 是完全平方数，
，
的最小非负整数值为0，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数
是非负数．
7．（2023春•中江县月考）若 是二次根式，则 的取值范围是
A． 为非负数 B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于0，就
可以求解．
【解答】解：根据题意得： ，
解得 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
8．（2023春•兴县期中）下列式子中，是二次根式的有 个① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】形如 的式子是二次根式，依据定义即可判断．
【解答】解：① 、④ 符合二次根式的定义，故符合题意．
③ 是三次根式，故不符合题意．
② 中当 时，不是二次根式，故不符合题意．
综上所述，二次根式的个数是2．
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的定义，要注意 这一条件．
9．（2023春•泰山区期末）已知下列各式： ， ， ， ， ，
其中二次根式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解： ， ， ， 是二次根式；
被开方数是负数，故不是二次根式．
故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 的式子叫做二
次根式是解题的关键．
10．（2023春•长寿区校级月考）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数
式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 ，
都是根分式．
已知两个根分式 与 ．则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在两个无理数 ，使得 是一个整数．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将 ， 代入，再求出
分式方程的解，判断即可；对于③，将 ， 代入再整理，讨论得出答案．
【解答】解：根据题意可知 且 ，
解得 且 ．
所以①不正确；
由 ，得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的增根，
原方程无解，
不存在．
所以②不正确；根据题意，得 ．
是一个整数，
或 ，
解得 或 或 或 ．
为无理数，且 ，
．
所以③不正确．
所以正确的有0个．
故选： ．
【点评】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解
题的关键，并注意分类讨论．
11．（2023 春•密云区校级期末）在式子① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 ③④⑥ （填写序号）．
【分析】形如 这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【解答】解： ， 中被开方数是负数，不是二次根式， 是立方根，也不是
二次根式，其余均是二次根式；
故答案为：③④⑥．
【点评】本题考查了二次根式的识别，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解题的关
键．
12．（2022秋•宁德期末）已知 是正整数， 是整数，则 的最小值是2．那么若 是正整数， 是大于1的整数，则 的最大值与最小值的差是 4 5 ．
【分析】由 ，结合 是正整数， 是大于1的整数，可得 是15的倍
数，从而可得答案．
【解答】解： ，
又 是正整数且 是大于1的整数，
当 时， 的整数值最大为4，此时 的值最小，
当 时， 的整数值最小为2，此时 的值最大，
的最大值与最小值的差是 ．
故答案为：45．
【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．
13．（2023春•唐县期末）如图，在数轴上所表示的 的取值范围中，有意义的二次根式
是
A． B． C． D．
【分析】根据数轴得出 ，再根据二次根式的定义和分式有意义的条件逐个判断即可．
【解答】解：从数轴可知： ，
．当 时， 无意义，故本选项不符合题意；．当 时， 有意义，故本选项符合题意；
．当 时， 无意义，故本选项不符合题意；
．当 时， 无意义，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，分式有意义的条件和二次根式的定义等
知识点，能根据数轴得出 是解此题的关键．
14．（2023春•武昌区校级期中）若 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 6
．
【分析】 ，所以要想能开平方，必须再乘一个6．
【解答】解： ，
是整数，
满足条件的最小正整数 ．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能够正确把根式里的写成平方的形式是解题的关键．
15．（2023春•诸暨市期末）当 时，二次根式 的值是 1 ．
【分析】将 代入代数式求值即可．
【解答】解：当 时，
．故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的定义，将 代入代数式求值是解题的关键．
16．（2023春•鹿城区校级期中）当 时，二次根式 的值是 2 ．
【分析】把 代入原式化简即可．
【解答】解：当 时，原式 ，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法
是解题关键．
17．（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是
用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得
的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如
都是根分式，已知两个根分式 与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在无理数 ，使得 是一个整数；
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将 ， 代入，再求出
分式方程的解，判断即可；对于③，将 ， 代入再整理，讨论得出答案．
【解答】解：根据题意可知 且 ，
解得 ．所以①不正确；
由 ，得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根，
存在实数 ，使得 ．
所以②正确；
根据题意，得 ．
是一个整数，
，
解得 或 ．
为无理数，
所以③不正确．
所以正确的有1个．
故选： ．
【点评】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解
题的关键，并注意分类讨论．
18．（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数，
则称 与 是关于 的因子二次根式．
（1）若 与 是关于4的因子二次根式，则 ；
（2）若 与 是关于 的因子二次根式，求 的值．
【分析】（1）根据新定义得到 ，然后解方程即可；
（2）根据新定义得到 ，然后解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）根据题意得 ，
所以 ，
解得 ，
即 的值为 ．
【点评】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键．
二．二次根式有意义的条件（共20小题）
19．（2023春•泸县校级期末）要使代数式 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负
数）是解题关键．
20．（2023•湘潭）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
【解答】解：式子 在实数范围内有意义，则 ，
解得： ．故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题
关键．
21．（2023•保定一模）若二次根式 有意义，则 的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出 的取值范围，判
断即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
则 的取值范围在数轴上表示正确的是选项 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、在数轴上表示不等式的解集，熟记二次根
式的被开方数是非负数是解题的关键．
22．（2023春•增城区期末）代数式 有意义时， 应满足的条件为
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解 的
取值范围．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式
有意义的条件求解是解题的关键．
23．（2023春•岳池县期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是A． B． C． D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
，
解得， ．
故选： ．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
24．（2023•淮安模拟）使 有意义的 的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，要使 有意义，则 ，据此求出 的取值
范围，判断出使 有意义的 的取值范围如何在数轴上表示即可．
【解答】解： 有意义，
，
解得 ，
使 有意义的 的取值范围在数轴上表示为 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
25．（2023秋•吉州区期末）对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y＝aX+bY，其中a，b为
常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若 成立，那么2*3＝
7 ．
【分析】根据二次根式的性质即可得出a＝2，再根据负整数指数幂即可得出b＝1，再
根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴a＝2，
∴ ，
∴b＝1，
∴X*Y＝2X+Y，
∴2*3＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定
义得出正确的关系式是解题的关键．
26．（2023秋•丹江口市期末）已知 a、b分别为等腰三角形的两条边长，且 a、b满足
，此三角形的周长为 1 5 ．
【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此
三角形的周长．
【解答】解：由题意得，b﹣6≥0，12﹣2b≥0，
解得，a≥6，b≤6，
∴b＝6，
∴a＝3，
∵3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形，
∴此三角形的周长为6+6+3＝15．
故答案为：15．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，
掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
27．（2023•思明区模拟）使得二次根式 在实数范围内有意义的 的取值范围是
．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【解答】解： 二次根式 在实数范围内有意义，
，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解
题的关键．
28．（2023•香坊区校级开学）已知 ，则 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出 的值，再求出 的值，最后代入求出 的值
即可．
【解答】解：由题意可得：
，
解得： ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查不等式组的求解以及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义
的条件是解题关键．
29．（2023春•梧州期中）当 时， 有意义．
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．【解答】解： 是二次根式，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件．形如 的式子叫做二次根式．熟
记二次根式的定义是解题的关键．
30．（2023春•安丘市校级月考）先阅读，后回答问题： 为何值时， 有意义？
解：要使该二次根式有意义，需 ，由乘法法则得 或 ．
解得 或 ．
当 或 ， 有意义．
体会解题思想后，请你解答： 为何值时， 有意义？
【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到 的取值范围．
【解答】解：要使该二次根式有意义，需 ，
由乘法法则得 或 ，
解得 或 ，
当 或 时， 有意义．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解
答此题的关键．31．（2023•平潭县校级开学）已知 ．
（1）求 的值．
（2）求 的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）结合（1）确定 的值，然后将 、 的值代入求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知， ，解得 ，
；
（2）由（1）可知， ，
，
．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、二次根式化简等知识，理
解二次根式有意义的条件是解题关键．
32．（2023春•铁西区期中）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知 ，求 ， 的值．
解：由 ，得 202 2 ， ；
（2）尝试应用：若 ， 为实数，且 ，化简： ．
（3）拓展创新：已知 ，求 的值．
【分析】（1）解不等式组即可求出 和 的值；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得 ， ，进而化简代数式即可；
（3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得 ， ，进而求出 即
可．
【解答】解：（1）解不等式组得 ，．
故答案为：2022，2023；
（2）由 ，
解得： ，
．
；
（2）由： ，
解得： ，
，
，
．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式
中的被开方数是非负数．
33．（2023春•富锦市校级期中）已知 ，求 的值．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出 的值，再求出 ，然后代入代数式进行计算
即可得解．
【解答】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
，
，
．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．34．（2023春•长沙期末）（1）已知 是 的算术平方根， 是
的立方根，求 的立方根；
（2）若 ， 的算术平方根是5，求 的平方根．
【分析】（1）由算术平方根和立方根的定义可求出 ， ，即得出 ， ，
代入 中求值，再求其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出 ，由算术平方根的定义可求出 ，代入
中求值，再求其平方根即可．
【解答】解：（1）由题意知 ， ，
， ，
， ，
，
的立方根为 ；
（2）由题意得 ，
解得 ，
．
的算术平方根是5，
，
，
的平方根为 ．
【点评】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，被开方数为非负数，代数式求值
熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键．
35．（2023春•东宝区月考）解下列各题．
（1）已知： ，求 的平方根；
（2）已知 ，求代数式 的值．
【分析】（1）先根据二次根式有意义求出 的值，再求出 的值，即可求出答案；（2）利用乘法公式计算即可．
【解答】解：（1） ，
， ，
，
，
，
的平方根为 ；
（2） ，
，
．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和实数的计算，如果一个式子中含有多个二次
根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
36．（2023 春•新会区校级期中）若 ， 都是实数，且 ，求
的值．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得： ，解不等式组可得 ，然后再
代入 可得 的值，进而可得 的值．【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
则 ，
．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非
负数．
37．（2023春•景县期中）已知 、 满足等式 ．
（1）求出 、 的值分别是多少？
（2）试求 的值．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求解即可得到 的值，再求出 的值即可；
（2）把 、 的值代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意得， 且 ，
解得 且 ，
所以， ，
；
（2） ，
，
，
．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，代数式求值．
38．（2023春•上杭县校级月考）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知 ，求 的值．解：由 ，得 202 2 ， ， ；
（2）尝试应用：若 ， 为实数，且 ，化简： ；
（3）拓展创新：已知 ，求 的值．
【分析】（1）解不等式组即可求出 和 的值；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得 ， ，进而化简代数式即可；
（3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得 ， ，进而求出 即
可．
【解答】解：（1）解不等式组得 ，
，
．
故答案为：2022，2023， ；
（2）解：由 ，
解得： ，
．
；
（2）由： ，
解得： ，
，
，
．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式
中的被开方数是非负数．
强化训练
一、单选题
1．（2024下·全国·八年级专题练习）下列给出的式子是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知， 是二次根式，B正确，故符合要求；
，2， ，不是二次根式，A、C、D错误，故不符合要求；
故选：B．
2．（2024·全国·八年级竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
【答案】C
【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键
是正确理解 什么情况下为正整数．
【详解】解：∵ ，
∴ 是一个平方数，
∴正整数 最小是 ，
故选： ．
3．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 是整数，则自然数m的最小值是
（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据 是整数对m的值进行分析讨
论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
又因为 是整数，
∴ 是完全平方数，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数
是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
4．（2024·全国·八年级竞赛）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．
【详解】解：由题意是正整数所以 ，且n为整数，
∴ ，解得 ，
∴实数n最大值取 ，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是
解题的关键．
5．（2024下·八年级课时练习）二次根式 中，x的值不能是（ ）
A．1 B．0.5 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解
题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解．
【详解】二次根式 中，
∵ ，
∴x的值不能是 ．
故选：D．
6．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：
，则 的平方根为
（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练
掌握二次根式有意义的条件，求出 ，得出 ，
根据算术平方公的非负性得出 ，整理得出 ，从而得出
，求出 ，最后求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴ ，①
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②
由①②得 ，
解得： ，
∴ ，∴ 平方根即为4的平方根，为 ．
故选：D．
7．（2024下·八年级课前预习）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和绝对值的意义，根据二次根式的性质化简
，则 ，根据绝对值的意义得 ，解题的关键是熟练掌握
二次根式的性质与化简和绝对值的意义．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（2024·全国·八年级竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的
的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则
进行计算．根据 ，得出 ，即可得出 ，
， ，根据 ，分三种情况求出 的值进行验证即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
当 时， 不合题意，当 时， 不合题意，
当 时， 符合题意，
满足条件的取值只有1组．
故选：A．
9．（2023下·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）下列命题的逆命题成立的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等 D．若 ，则
【答案】A
【分析】将每个命题的条件和结论对调，再判断其正确与否．
【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，
逆命题是，平行四边形的对角线互相平分，成立；
B.正方形的对角线相等，
逆命题是，对角线相等的四边形是正方形，不成立；
C.对顶角相等，
逆命题是，相等的两个角是对顶角，不成立；
D.若 ，则 ，
逆命题是，若 ，则 ，不成立．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了逆命题及其真假，解决问题的关键是熟练掌握构造逆命题的方法，
其真伪的判断．
10．（2024下·八年级课时练习）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．先将
被开方数化成分数，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以开平方，而分子部分化成含 和 的形式，即得答案．
【详解】 ， ，
．
故选：D．
二、填空题
11．（2024下·全国·八年级专题练习）式子 的意义是 ．
【答案】a的算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案．
【详解】解：式子 的意义是a的算术平方根，
故答案为：a的算术平方根．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这
个正数 叫做 的算术平方根， 的算术平方根记 ；熟练掌握算术平方根定义是解题关
键．
12．（2024下·全国·八年级专题练习）当 时，二次根式 值为 ．
【答案】1
【分析】把 代入二次根式进行计算即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的计算是解题关键．
13．（2024下·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程 有实数解，那么m
的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
14．（2024上·湖南长沙·八年级校考期末）如果代数式 有意义，那么x的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知： ，
且 ，
故答案为： 且 ．
15．（2024·全国·八年级竞赛）定义一种新的运算“ ”： ，其中 、 为常
数，且使得等式 恒成立，那么 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意
义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到 ，再代入方
程求出b的值，从而得到 ，依此即可求得答案．
【详解】根据题意得 ，
，
，将 代入 得 ，
解得 ，
，
．
故答案为：1．
16．（2024·全国·八年级竞赛）若实数a满足 ，则 ．
【答案】2079
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有
意义的条件是解答的关键．先求得 ，则 ，进而得到 ，然
后求解即可．
【详解】解：依题意得 ，则 ，
∴ ，
∴原式化为 ，即 ，
得 ，
∴ ．
故答案为：2079．
17．（2024·全国·八年级竞赛）若不等式 对任意实数 都成立，
则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得
有最小值为6，又由 得出当 时， 的最小值
为6，然后由不等式恒成立即可求解．
【详解】解： ，
∴当 时， 有最小值为6，
∵ ，
∴当 时， 的最小值为6，
∴ ，
∴解得 ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
18．（2024·全国·八年级竞赛）使分式 有意义的 的取值范围是
．
【答案】 ，且
【分析】本题考查分式有意义，二次根式有意义的条件．根据题意分别列出当分式有意义
时的式子解出即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，解得： ，
∴ ，且 ，
故答案为： ，且 ．
三、解答题
19．（2024·全国·八年级假期作业）（1）已知 是整数，求自然数 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 的最小值．
【答案】（1）自然数 的值为 ， ， ， ， ；（2）正整数 的最小值为 ．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．【详解】（1）∵ 是整数，
∴ ， ， ， ， ，
解得： ， ， ， ， ，
则自然数 的值为2，9，14，17，18；
（2）∵ 是整数， 为正整数，
∴正整数 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
20．（2024下·全国·八年级专题练习）已知： ，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值： ．
【答案】（1） ；（2） ，0
【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可
求出m、n的值；
（2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解．
【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0，
解得： ，
（2）原式= = ，
当 ，原式= ．
【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、
完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关
键．
21．（2024下·八年级课时练习）下列各式是否二次根式？说明理由．
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) （a＜0）．
【答案】(1)是二次根式
(2)根号下小于零，不是二次根式
(3)是三次根式，不是二次根式
(4)是二次根式
【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键．
（1）直接利用二次根式的定义得出答案．
（2）直接利用二次根式的定义得出答案．
（3）直接利用二次根式的定义得出答案．
（4）直接利用二次根式的定义得出答案．
【详解】（1） 是二次根式；
（2） ，被开方数小于零，不是二次根式；
（3） ，是三次根式，不是二次根式；
（4） 是二次根式．
22．（2024·全国·八年级竞赛）若m满足关系式
，求m的值．
【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到 是关键．
根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得 ，然后根据非负
数的性质得到关于 和 的方程组，然后结合 即可求得 的值．【详解】解：由 可得 ，
∴
∴
23．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ，圆圆的做法是
．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】利用二次根式的性质进行化简求值，即可得到答案．本题考查了二次根式的性质，
熟练掌握二次根式的性质是解题关键．注意如果被开方数是代数式和的形式，不能直接拆
分．
【详解】解：不正确，解题过程如下：
．
24．（2024下·浙江·八年级专题练习）先观察下列等式．再回答问题：
① ，
② ，
③ ，
(1)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ．
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了数字类规律探究，二次根式的性质，根据所给算式找出规律是解答本
题的关键．
（1）根据所给算式得出规律即可；
（2）利用（1）中规律计算即可．
【详解】（1）∵① ，
② ，
③ ，
∴第n个等式为： ．
故答案为： ；
（2）
．
故答案为： ．
25．（2024下·全国·八年级专题练习）先阅读材料，然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
【答案】（1）④， ；（2） ；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误， ；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求
值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求
值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全
平方公式是解题的关键．
26．（2024下·八年级单元测试）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数
，是 且 ，则把 变成 开方，从而使得
化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据 ，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
