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专题 11 线段上的动点与几何图形动角的探究问题之六大题型
线段上动点求时间问题
例题：（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有 ， ， ， 四个点， ，
， ．
(1)线段 ______
(2)动点 ， 分别从A点， 点同时出发，点 沿线段 以3 /秒的速度，向右运动，到达点
后立即按原速向A点返回；点 沿线段 以1 /秒的速度，向左运动； 点再次到达A点时，
两点同时停止运动．设运动时间为 （单位：秒）
①求 ， 两点第一次相遇时，运动时间 的值；
②求 ， 两点第二次相遇时，与点A的距离．
【答案】(1)
(2)8、20
【分析】（1）根据 ， ， 算出 ，再根据
即可解答；
（2）①根据 ， 两点第一次相遇时， ， 两点所走的路程之和是 的长列方程即可求解；
②根据 ， 两点第二次相遇时， 点所走的路程与 的差和 所走的路程与 的差相等列方
程即可求解；【详解】（1）
故线段 的长为 ．
（2）① ， 两点第一次相遇时根据题意可得：
解得： 秒
故 ， 两点第一次相遇时，运动时间 的值是8秒；
②由（1）得
当 ， 两点第二次相遇时：
解得： 秒
故 ， 两点第二次相遇时，与点A的距离是20
【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是
解答该题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图， 的边 上有一动点P，从距离O点18cm
的点M处出发，沿线段 ，射线 运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线 运动，
速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．
(1)当点P在 上运动时，t为何值，能使 ？
(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，
求出t的值；如果不能，请说出理由；
(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线 上，t为何值时，它们相距1cm．【答案】(1)
(2)不能，见解析
(3) 或
【分析】（1）根据题意可得 ，然后由 可得关于t的方程，解方程即
得答案；
（2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论；
（3）根据题意可得： ，由此构建关于t的方程求解即可．
【详解】（1）运动时间是t（s）时， ，
若 ，则 ，
解得： ；
（2）点Q停止运动时，用的时间为 秒，
此时点P运动的路程为 ， ，
∴点P不能追上点Q；
（3）当P、Q均在射线 上，它们相距1cm时，
根据题意得： ，
即 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的
表达式是解题的关键．
线段上动点定值问题
例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）线段 和 在数轴上运动，A开始时与原点重合，
且
(1)若 ，且B为线段 的中点，求线段 的长．
(2)在（1）的条件下，线段 和 同时开始向右运动，线段 的速度为5个单位/秒，线段的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有 ，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段 和 同时开始向左匀速运动，线段 的速度为m个单位/秒，
线段 的速度为n个单位/秒，设M为线段 中点，N为线段 中点，此时线段 的长为定
值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
【答案】(1)43
(2) 或
(3)线段 的长为定值，定值为
【分析】（1）根据线段的和差求解；
（2）根据题意列出方程求解即可；
（3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解．
【详解】（1）解：∵B为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由题意得：B点表示的数为： ，D点表示的数为： ，
则： ，
解得： 或 ；
（3）设运动时间为t，
由题意得：A点表示的数为： ，B点表示对数为： ，C点表示的数为： ，D点表
示的数为： ，
则：M点表示的数为： ，
N点表示的数为： ，
∴ ，
所以线段 的长为定值，定值为16.5．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟
练运用数轴上两点之间的距离是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；
反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，则
________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度
从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到
达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的
值；
②t为何值时， ．
【答案】(1) ，
(2)① ；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为 ，再根据 的值是个定值即可求出 的值；②分点 从
点 向点 方向运动时和点 从点 向点 方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
，
∴ ，
∴
故答案为： ， ；
（2）①设运动时间为 ，则 ， ，
根据“点值”的定义得： ， ，
的值是个定值，
的值是个定值，
；
②当点 从点 向点 方向运动时，
，
，
；
当点 从点 向点 方向运动时，，
，
，
的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
几何图形中动角定值问题
例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知 ， ． 平分 ，
平分 ．
(1)如图1，当 重合时，求 的值；
(2)如图2，当 从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（ ），在旋转
过程中 的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变化，
请说明理由．
(3)在（2）的条件下，当 时，求t的值．
【答案】(1)33°
(2)不变， 是定值．
(3)2【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得 ，
，然后求解即可；
（2）首先由题意可得 ，再根据角平分线的定义得出 ，
，然后由角平分的定义解答即可；
（3）根据题意可得 ，得出 ，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： 是定值．理由如下：
由题意： ，
则 ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
，
．
∴ 的值是定值，定值为33°；
（3）解：根据题意得： ，
∴ ，
解得： ．
故答案为2．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）如图， ， ，射线 平分
，射线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）．(1)如图，当 ， 重合时，求 的度数；
(2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？
若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由．
(3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的
数量关系？
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)当 时， ；当 时， ；当
时，
【分析】(1)根据角平分线的定义知 、 ，再根据
可得答案；
(2)由题意知 、 ，根据角平分
线的定义得 、 ，代入计算可得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出 ， ，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解： ， ，射线 平分 ，射线 平分 ，
、 ，
；
（2）解： 的值为定值，
理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
， ，点C、D在直线 的
右侧，
射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
，
的值为定值；
（3）解：当 时，如图2：由(2)知， ；
当 时，如图3所示，
，
，
射线 平分 ，射线 平分 ，， ，
；
当 时，如图4所示，
，
，
射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
；
综上， 与 具有的数量关系为：当 时， ；当
时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的
思想是解决本题的关键．
几何图形中动角数量关系问题
例题：（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点
在直线 上， ， 分别平分 ， ，可求得 ．（不用求解）【问题改编】点 在直线 上， ， 平分 ．
(1)如图2，若 ，求 的度数；
(2)将图2中的 按图3所示的位置进行放置，写出 与 度数间的等量关系，并写
明理由．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先求 ，利用角平分线定义再求 ，最终求 的度数；
（2）设 ，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
（2）设 ，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴将图2中的 按图3所示的位置放置时， 与 度数间的等量关系为
．
【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结
合的思想求解．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①探究 与 的关系：因为 ，所以
，即 ______ ．
②探究 与 的关系：因为 ，
，所以 ______．
(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：
①直接写出 与 的关系：______；
②探究 与 的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．
【答案】(1)①＝；②
(2)① ；②见解析
【分析】（1）①证明 ，从而可得答案；②利用周角的含义及角的
和差运算可得答案；
（2）①由 ，可得
．②证明 ，可得 ．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
即 ．
②∵ ， ，
∴ ．
（2）①∵ ，
∴ ，
即 ．
② ；理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查的是角的和差运算，熟练的理解几何图形中角的和差关系是解本题的关键．
几何图形中动角求运动时间问题
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线 上一点．将射线 绕点O逆
时针旋转，转速为每秒 ，得到射线 ；同时，将射线 绕点O顺时针旋转，转速为 转速
的3倍，得到射线 ．设旋转时间为t秒（ ）．
(1)当 秒时（如图1），求 的度数；
(2)当射线 与射线 重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线 平分 ？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9
(3)存在t值，使得射线 平分 ，t的值为 ．
【分析】（1）当 时， ，然后根据平角的列式求解即可；
（2）根据射线OA与射线OB重合时，列出方程求解即可；
（3）由射线 平分 ，得 求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
∴当 秒时， 为 ．
（2）解：根据题意得： ，解得 ，
∴当射线 与射线 重合时，t的值是9．
（3）解：存在t值，使得射线 平分 ，
如图：∵ ,
∴ ,
∵射线 平分 ，∴ ，解得 ，
∴t的值为 ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的运用等知识点，解题的关键是读懂
题意列出一元一次方程解决问题．
【变式训练】
1．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图，直线 与EF相交于点O， ，将一直
角三角尺 （含 和 ）的直角顶点与O重合， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)图中互余的角有 对；
(3)将三角尺 以每秒 的速度绕点O顺时针旋转，同时直线 以每秒 的速度绕点O顺时针
旋转，设运动时间为 ．
①当t为何值时，直线 平分 ．
②当 时，直线 平分 ．
【答案】(1)
(2)5
(3)① 或 ；② 或
【分析】（1）根据 ， 平分 ，可得 ，再根据
，即可得到 的度数；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）①分两种情况进行讨论：当 平分 ；当 平分 时；②分两种情况进行讨论：当 平分 时；当 平分 时．
【详解】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
，
∴互余的角有5对．
故答案为：5；
（3）①分两种情况：
当 平分 时， ，
即
解得 ；
当 平分 时， ，
即 ，
解得 ；
综上所述，当t的值为 或 时，直线 平分 ；
②分两种情况：
当 平分 时， ，即 ，
解得 ；
当 平分 时， ，
即 ，
解得 ；
综上所述，若直线 平分 ，t的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，应用方程的思想和分类思想是解
决问题的关键．
线段与角中动态的新定义型问题
例题：（2022上·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图①，点C在线段 上，图中共
有3条线段： 和 ，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线
段 的“巧点”．(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段 ，C是线段 的“巧点”，则 _________．（用含m的代数式表示出所有可
能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为20．动点P从点A
出发，以每秒 的速度沿 向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒 的速度沿 向
终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，
求当t为何值时，点Q恰好是线段 的“巧点”．
【答案】(1)①是；② 或 或
(2)10或 或 或15或 或
【分析】（1）①由中点可知这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，结合“二倍点”的
定义进行判断；②由“二倍点”的定义知当点C是线段 的“二倍点”时，可分 ，
， 三种情况，根据 计算，即可求解；
（2）由题意知 ，然后分两类讨论：当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，
结合“巧点”的定义，求解即可．
【详解】（1）解∶ ① 根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，
∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是
②线段 ，C是线段 的“巧点”，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述， 或 或 ；
故答案为： 或 或
（2）解∶∵点A所表示的数为 ，点B所表示的数为20，
∴ ，
根据题意得：点P所对应的数为 ，点Q所对应的数为 ，当 时，点P，Q相遇，
当点P在点Q的左侧时， ， ，此时
，
若 ，则有 ，解得： ；
若 ，则有 ，解得： ；
若 ，则有 ，解得： ；
当点P在点Q的右侧时， ， ，此时
，
若 ，则有 ，解得： ；
若 ，则有 ，解得： ；
若 ，则有 ，解得： ；
综上所述，当t为10或 或 或15或 或 时，点Q恰好是线段 的“巧点”．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·七年级统考期末）新定义：如果 的内部有一条射线 将 分
成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线 为 的n倍分线，例如，如
图1， ，则 为 的4倍分线． ，则 也是 的4
倍分线．(1)应用：若 ， 为 的二倍分线，且 则 ________°；
(2)如图2，点A，O，B在同一条直线上 为直线 上方的一条射线．
①若 ， 分别为 和 的三倍分线，（ ， ）已知，
，则 ____________°；
②在①的条件下，若 ， 的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；
若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知 ，且 ， 所在射线恰好是分别为 和 的三倍分线，
请直接写出 的度数．
【答案】(1)40
(2)①135；②不变，理由见解析；③90°
【分析】（1）根据题意可得： ， ，进而得出答案；
（2）①由题意可得： ， ，根据 ，得出
， ，再求解即可；
②不变，根据题意得出 ， ，再代入即可得出答案；
③设 ，则 ，根据题意得出 ， ，列
出方程 ，求得 ， ，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， 为 的二倍分线，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40；
（2）解：①∵ ， 分别为 和 的三倍分线（ ，
），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：135；
②不变，
∵ ， 分别为 和 的三倍分线， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
，
，
；
③解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 所在射线恰好是分别为 和 的三倍分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键．一、解答题
1．（2022上·江苏南京·七年级统考期末）如图， 是直线 上一点，射线 绕点 顺时针旋转，
从 出发，每秒旋转 ，射线 绕点 逆时针旋转，从 出发，每秒旋转 ，射线 与
同时旋转，设旋转的时间为 秒，当 旋转到与 重合时， 、 都停止运动．
(1)当 时， ；
(2)当射线 与 旋转到同一条直线上时，求 的值；
(3)当 时， ．
【答案】(1)
(2) 秒或 秒或 秒
(3) 秒或 秒或 秒
【分析】（1）根据旋转时间为 ，可得 ， ，然后代入
计算即可；
（2）当 旋转到与 重合时， ，然后分当 与 重合时和 与 互为
反向延长线时进行讨论即可；
（3）分三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵射线 绕点 顺时针旋转，从 出发，每秒旋转 ，射线 绕点 逆
时针旋转，从 出发，每秒旋转 ，射线 与 同时旋转，
∴当 时， ， ，
∴ ．
故答案为： ．（2）当 旋转到与 重合时， （秒），
当射线 与 旋转到同一条直线上时，设旋转的时间为 秒，有以下几种情况：
当 与 重合时，
①当 到达 之前时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
②当 与 重合时， ，
∵ ，
∴ 绕点 旋转 与 重合，
此时 与 重合，符合题意；
当 与 互为反向延长线时， 到达 之后继续旋转且 到达 之前时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴综上所述，当射线 与 旋转到同一条直线上时， 的值为 秒或 秒或 秒．（3）①当 与 重合之前，即 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
②当 与 重合之后但 到达 之前，即 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得： ；
③当 与 重合之后， 到达 之后继续旋转且 到达 之前，即 ，
则 ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 秒或 秒或 秒时， ．
故答案为： 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查角的计算，一元一次方程的应用，运用了分类讨论的思想和方程的思想．解题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）如图， 是 的平分线， 是 的平分线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数；
(3)你发现 与 有什么等量关系？请你给出结论并予以说明．
【答案】(1)
(2)
(3) ，详见解析
【分析】(1)根据角的平分线和角的和计算即可．
(2)根据角的平分线和角的和计算即可．
(3)根据角的平分线和角的和计算即可．【详解】（1）∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴
= ．
（3） 与 的等量关系为： ．理由如下：
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ = ．
故 ．
【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成相等两个角的射线，两个角的和，熟练掌握定义和
运算是解题的关键．
3．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，
且 ，
(1)填空： ， ；
(2)在线段 上有一点C，满足 ，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以
每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当 时， 的值是否发生变化？若不变求出其
值；若变化，写出范围．
【答案】(1)8，
(2)
(3) 的值不会发生变化，详见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，可得 ，即可求解；
（2）先求出 ，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得依题意得： ，从而得到 ，
，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：8，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 C 表示的数为 ；
（3）解： 的值不会发生变化，
依题意得： ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解
答是解题的关键．
4．（2023上·福建莆田·七年级统考期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分
析：
(1)若 ，则 ；
若 ，则 ；
(2)请你猜想 与 有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若将两个同样的三角尺 锐角的顶点A重合在一起，请你猜想 与 有何关
系，请说明理由；
(4)如图3，如果把任意两个锐角 、 的顶点O重合在一起，已知 ，
都是锐角），请你直接写出 与 的关系．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
(4) ，理由见解析
【分析】（1）已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求
出 ， 的度数；
（2）根据前个小问题的结论猜想 与 的大小关系，结合前问的解决思路得出证明；（3）根据（1）（2）解决思路确定 与 的大小并证明；
（4）先计算 ，再加上 可得结果．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ，理由：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（4） ，理由是：
【点睛】本题考查了角的计算，角的和差，余角和补角，直角三角形的性质，数形结合是解题的关
键．
5．（2023上·贵州黔东南·七年级统考期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B
在A点的左边，且 ．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴
向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，
规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)【解决问题】：
①当 秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；
②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)【探索问题】：
若 为 的中点， 为 的中点，直接写出线段 与线段 的数量关系．
【答案】(1)①点P表示的数为5；点Q所表示的数为 ；②点P运动 秒或3秒时与点Q相距3
个单位长度；
(2) 或 ．
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为 ；根据点的运动方式即可得出点P、Q表示的
数t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则 ， ，根据 ，或
，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故 ，由此可得出结论．
【详解】（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边， ，
∴点B表示的数是 ，
∵动点P从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点 表示的数是 ．
动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，
点P表示的数为5；点Q所表示的数为 ．
②设点P运动x秒时，则 ， ，
当Q在P左侧时，与Q相距3个单位长度，如图：
∵ ，
∴ ，解得： ，
当Q在P右侧时，与Q相距3个单位长度，如图：
∵ ，
∴
解得： ．
∴点P运动 秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2） 或 ；理由如下：
P在Q右侧时，如图，
有：
，
∴
即： ．
同理 在 左侧时有： ．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是
根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
6．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图1，平面上顺时针排列射线 ， ，
， ， ， 在 外部且为钝角， ，射线 ，
分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 且大于 ）．(1)若 ， ______， ______；
(2) 的值是否随着 的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理
由；
(3)在（1）的条件下，将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转得到 （ ， 的对应
边分别是 ， ），若旋转时间为t秒（ ），当 时，求出t的值．
【答案】(1) ， ；
(2) 的值不会随着 的变化而变化， 理由见解析；
(3)76或者
【分析】（1）由周角求出 ，根据 求得 ，
，从而求出 ，再根据角平分线定义求出 和 ，从而可得出
结论；
（2）设 ，则 ， ，再用含a的式子表示
， ，代入 可得结论；
（3）求出 ， ，分五种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解∶∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ；
∴ ，
∵射线 ， 分别平分 ， ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为∶ ， ；
（2）解： 的值不会随着 的变化而变化， 理由如下∶
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵射线 ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值不会随着 的改变而改变；
（3）解： ， ，
且题目中所出现的角均小于 且大于 ，
当 ， （ ）时，
∵ ，
∴ ，
此时，无解；当 ， （ ）时，
∵ ，
∴ ，
解得， ；
当 ， （ ），
∵ ，
∴ ，
此时无解．
当 ， （ ），
∵ ，∴ ，
解得： ．
当 ，
（ ），
∵ ，
∴ ，
此时无解．
综上：t的值为76或者 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之
后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用
一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点 为公共顶点的 和 ，
满足 ，则称 是 的“二倍关联角”．已知 （本题所涉及
的角均小于平角）．
(1)如图 ，若 ， 在 内，且 是 的“二倍关联角”，则
；
(2)如图 ，若射线 、 同时从射线 出发绕点 旋转，射线 以 秒的速度绕点 逆时针方向旋转，到达直线 后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线 以 秒的
速度绕点 逆时针方向旋转，射线 到达直线 时，射线 、 同时停止运动，设运动时间
秒，当 为何值时， 是 的“二倍关联角”；
(3)如图 ， 保持大小不变，在直线 上方绕点 旋转，若 是 的“二倍关联
角”，设 ，请直接用含 的代数式表示 的大小．
【答案】(1) 或 ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到 ，分两种情况讨论即可得到答案；
（2）分三种情况讨论：①当 时；②当 时；当 时，分别用含t的式子
表示出 和 ,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当 在 内部时；②当 在 内部时；③当 在
外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 是 的“二倍关联角”， ，
；
如图 ，当 在 上方时， ，
如图 ，当 在 下方时， ，
故答案为： 或 ；
（2）解：①当 时， ， ，
是 的“二倍关联角”，
，，
，符合题意，
②当 时， ， ，
是 的“二倍关联角”，
，
，
，不符合题意，舍去；
当 时， ， ，
是 的“二倍关联角”，
，
，
，符合题意，
综上可知，当 或 时， 是 的“二倍关联角”；
（3）解：①如图 ，当 在 内部时，
，
解得： ，
②如图 ，当 在 内部时，
，
解得： ，
③如图 ，当 在 外部时，
，
解得 ，
综上可知， 的大小为 或 ．【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解
题关键．
8．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：
（1）已知：如图线段 长为 ，点 从点A以 的速度向点 运动， 点运动时间为 ，
则 ______， ______
（2）已知：如图，在长方形 中， ， ，动点 以 的速度从A点沿
着 运动，运动时间为 ，用含 的式子表示 ______
拓展与延伸：
（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点 从点 出发，沿着线段 向点 运动，速度为
， 、 同时出发，运动时间为 ．其中一点到达终点 ，另一个点也停止运动．当点 在
上运动时， 为何值时， ？【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）11或13
【分析】(1)根据点P运动的速度及 的长，即可解答；
(2)根据点P运动的速度及 、 的长，即可解答；
(3)分两种情况，列出方程即可分别求解．
【详解】解：（1） 线段 长为 ，点 从点A以 的速度向点 运动，
， ，
故答案为： ， ；
（2） ， ，动点 以 的速度从A点沿着 运动，
当点P在 上时， ，
当点P在 上时， ，
故答案为： 或 ；
（3）当点 在点 的左边时， ，
即
，
，
解得 ，
当点 在点 的右侧时， ，
，
解得 ，
故 为11或13时， ．
【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题
的关键．
9．（2022上·全国·七年级期末）新定义问题
如图①，已知 ，在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 、 、
．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 为 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于 而小于 的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①， ，射线 为 的“幸运线”，则 的度数为_______；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，同
时，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，设运动的时间为 秒（ ）．
若 、 、 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所
有可能的 值．
【答案】（1）是；（2）15°或22.5°或30°；（3） 或 或 或
【分析】（1）若 为 的角平分线，则有 ，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得：当 时，当 时，当
时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当 时 在与 重合之前，则有 ， ，由
是 的“幸福线”可进行分类求解；②当 时， 在与 重合之后，则有
， ，由 是 的“幸福线”可分类进行求解．
【详解】解：（1）若 为 的角平分线，则有 ，符合“幸运线”的定义，
所以角平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）由题意得：
∵ ，射线 为 的“幸运线”，
∴①当 时，则有： ；
②当 时，则有 ；③当 时，则有 ；
综上所述：当射线 为 的“幸运线”时，∠AOC的度数为 ， ， ，
故答案为 ， ， ；
（3）∵ ，
∴射线ON与OA重合的时间为 （秒），
∴当 时 在与 重合之前，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， ，
② ， ，
③ ， ；
当 时， 在与 重合之后，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， （不符合题意，舍去），
② ， ，
③ ， （不符合题意，舍去）；综上： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差
关系是解题的关键．
10．（2023上·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段 上，且 时，我们称
n为点C在线段 上的点值，记作 ．如点C是 的中点时，则 ，记作
；反过来，当 时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与
具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点C在线段 上，若 ，则 _______；若 ，则 _______；
(2)如图2，已知线段 ，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为
，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为 ．请用含有t的式子表示
和 ，并判断它们的数量关系．
拓展运用：
(3)已知线段 ，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度
分别为 和 ，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运
动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式 成立．
【答案】(1) ，
(2) ； ；
(3)存在t为4或 ，使等式 成立【分析】（1）根据材料阅读，即可求解；
（2）根据材料阅读，可表示 和 ，即可求解；
（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合 ，列
出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当点Q到达点A之前时，
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ；
当点Q到达点A返回时，此时 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴存在t的值为4或 ，使等式 成立．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
