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考点 23 同角三角函数基本关系式及诱导公式（3 种核心题
型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
【知识点】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α － tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【核心题型】
题型一 同角三角函数基本关系
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个
式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【例题1】（2024·河南信阳·一模）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由二倍角公式化简可得 ，再由同角的平方关系可得
的值，代入计算，即可得到结果.
【详解】 ，得 ，
则 ， ，
故 .
故选：D．
【变式1】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由同角三角函数的平方关系与商数关系结合二倍角公式计算即可.
【详解】由已知及 ，
故 ，A错误；
，B正确；
因为 ， ，C错误；
，D正确；
故选：BD【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则
.
【答案】0
【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论．
【详解】因为 且 ，可知 为第二象限角或第三象限角，
由 得
（1）当 为第二象限角时， ， ， ；
（2）当 为第三象限角时， ， ， ；
综上可知： .
故答案为：0.
【变式3】（2024·山西朔州·一模）若 ，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系求出 ，利用正切差角公式得到 ，
从而求出答案.
【详解】由题意得 ，
又 ，解得 ，
，
.
故答案为：题型二 诱导公式
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
【例题2】（23-24高三上·江苏南通·期末）已知 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得 ，然后利用诱导公式
求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 .
故选：A
【变式1】（多选）（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知角 ， 是锐角三角形
的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知 ，
， ，
即A、B、C结论成立.
对于D，由锐角三角形知， ，得 ，
因此 ，所以错误.
故选：ABC
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在 中， ， 是方程 的两个
根，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得 ，再利用诱导公式求解.
【详解】由题意， ， ，
所以 ，
在 中， ，
由 ，可知 .
故答案为：
【变式3】（2023·湖南邵阳·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据内角和关系和诱导公式，二倍角余弦公式化简方程，可求 ，由此
可得角 的大小；
（2）由条件根据余弦定理可得 ，结合基本不等式求 的最大值，结合三
角形面积公式求 的最大值.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 可化为 ，
所以 ，又因为
解得 ，又因为 ，
所以 .
（2）由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形的面积 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形面积的最大值为 .
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联
系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
【例题3】（22-23高三上·陕西安康·阶段练习）在 中，“ ”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.
【详解】若 ，则 ，
即 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件．
若 ，则 ，则 ，
即 ，所以 ，所以 或 ，
所以“ ”不是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式1】（2024·广西·二模）已知 ，则 .
【答案】1或
【分析】由已知可得 或 ，从而可求出 的值.
【详解】由 可得 ，所以 或 ，
即 或 ，
当 时，当 时， ，
故答案为：1或 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知点 与点
关于原点对称，则 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，列出方程组，求得 ，得到 ，
结合 ，即可求解．
【详解】因为点 与点 关于原点对称，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： .
【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知 是第二象限内的角，
(1)求 的值；(2)已知函数 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数之间的关系以及平方和关系即可求得
，再利用诱导公式及二倍角公式可计算出结果.
（2）根据二倍角公式化简可得 ，代入计算可求出答案.
【详解】（1）因为α是第二象限内的角， 即
又 ，所以可得
所以 ；
即 .
（2）易知
，
所以；
即 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用切化弦可得 ，再由两角和差公式先求 ，最后由同角基
本关系式求解.
【详解】因为 ，则 ，则 ，
所以 ，
而 ，则 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·广东·二模） （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.
【详解】
.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公
式展开化简得 ，再利用同角间三角函数关系变形得出 ，代入待求式
变形后的式子计算可得．
【详解】
（※）
而 ，则 ，
两侧平方可得 ，则 ，
代入（※）式可知 ，
故选：A．4．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 结合 可得 与 ，进而可得 .
【详解】 则 ，
即 ，
又因为 ，故 ， ， ，
故 ，因为 ，则 ，
结合 可得 ， ，则 .
故 .
故选：C
二、多选题
5．（23-24高三上·江西·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．若锐角 满足 ，则
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式化简即可判断A；利用二倍角公式和辅助角公式化简等式即可判断
B；两边平方，结合二倍角公式可判断C；利用基本关系式求 ，结合正切的两角和公
式可判断D.【详解】因为 ，所以 ，A正确．
因为 ，所以B错误．
将方程 两边平方，得 ，解得 ，C正确．
因为 ，所以 ， ，
则 ，D正确．
故选：ACD
6．（2024·河南周口·模拟预测）设 ， ，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【分析】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦
为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解
判断D.
【详解】对于A，因为 ， ，则 ，
，故 ，
所以 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，而 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 ，错误；
对于C，由 得， ，所以
，
即 ，因为 ， ，所以 ，
则 或 ，即 或 （不合题意，舍去），错误；
对于D，
，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，正确.
故选：AD
三、填空题
7．（2024·全国·二模）已知 ，则 .
【答案】 /0.28
【分析】切化弦，然后整理可得 ，再利用倍角公式计算即可.
【详解】 ，得 ，
解得 或 （舍）
所以 .
故答案为： .
8．（2024·广东惠州·一模）若角 的终边在第四象限，且 ，则
．
【答案】
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得 ，再利用两角差的正切公式
代入计算可得结果.
【详解】由 可得 ，
又角 的终边在第四象限，可得 ，即 ；
所以 .
即 .
故答案为：
9．（2024·全国·模拟预测）已知 为第二象限角，则
．
【答案】【分析】由 及同角三角函数的基本关系可求得 ，
再根据 并结合两角和的正弦公式即可得解．
【详解】 ，
，
，
为第二象限角， ， ，
．
故答案为：
四、解答题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）在三角形 中，内角 、 、 对应的边分别是 、 、
，已知 ， ， .求：
(1) 的值：
(2) 的值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出 的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得
的值；
（2）利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】（1）解：在 中，因为内角 、 、 对应的边分别是 、 、 ，已知
， ， ，
由余弦定理得 ，
由 且 ，得 .
（2）解：由（1）可得 ，
.
11．（2023·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)设 ，求函数 的最小值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先把函数化成 的形式，在结合诱导公式和两角和与差的
三角函数公式求值；
（2）先化简 得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求
解.
【详解】（1）因为 .
.
.
（2）因为： ，
.
所以： .
设 ，则 ，且 ，
所以： ，
当 时， .
所以 的最小值为 .
【综合提升练】
一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出 ，再由诱导公式、二倍角公式化简所求式
即可得出答案．
【详解】由 得 ，
则 ．
故选：A.
2．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
【详解】
.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：由已知得 ，可得 ，两边
平方化简可求结论.法二：由已知得 ，利用辅助角公式可得
，可求得 ，进而可求结论.
【详解】法一：由题知 ，
得 ，
所以 ，两边同时平方，可得 ，
所以 ，所以 ．
法二：由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
即 ，又 ，
所以 ，所以 ．
故选：B．
4．（2024·江西·二模）已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式将条件式化简为 ，再利用
两角和与差公式化简运算得解.
【详解】根据题意， ，由诱导公式，可得 ，
所以 ，
则
.
故选：D.
5．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
6．（2024·湖南岳阳·二模）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【分析】分类讨论并利用诱导公式对 进行化简，再利用同角
三角函数关系式、倍角公式的逆用求得 .
【详解】设
① 时， ，
② 时，
，
③ 时，
，
此时
④ 时，
，
此时
综合①②③④，可以排除 、 ,
，
所以 ，
故选：C.
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知角 为第三象限角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出 的正弦值与余弦值，利用两角差的余弦公式即可求出 ．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ．
角 为第三象限角，∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
8．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出
，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
二、多选题9．（23-24高一上·广东清远·期末）已知 ，其中 且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题意化简得 或 ，结合 且
即可判断AB；结合平方关系以及 即可判断CD.
【详解】因为 ，其中 且 ，
所以 ，
所以 或 ，即 或 .
因为 且 ，所以 ，所以 ，B正确，A
错误；
因为 ，所以 ，所以 ，C错误；
因为 ，所以 ，D正确.
故选：BD.
10．（2024·云南·一模）为得到函数 的图象，只需要将函数 的图
象（ ）
A．向左平行移动 个单位 B．向左平行移动 个单位C．向右平行移动 个单位 D．向右平行移动 个单位
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【详解】A选项，向左平行移动 个单位，有 ，A正确；
B选项，向左平行移动 个单位，有 ，B错误；
C选项，向右平行移动 个单位，有 ，
，C正确；
D选项，向右平行移动 个单位，有 ，
，D正确；
故选：ACD
11．（2023·广东·模拟预测）如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】AD
【分析】由图象求出 的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.
【详解】设 ，
则 的最小正周期为： ，
所以 ，因为 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故A正确，
，故B不正
确；
，故D正确；
，故C不正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（2024·黑龙江·二模）已知函数 满足： ，则．
【答案】
【分析】借助三角恒等变换公式可得 ，即可得解.
【详解】 ，
则 ，
则
.
故答案为： .
13．（2023·青海·模拟预测）如图，直径 的半圆， 为圆心，点 在半圆弧上，
为 的中点， 与 相交于点 ，则 .
【答案】
【分析】连接 ，根据条件先求解出 的值，然后再根据圆的几何性质结合
诱导公式以及二倍角公式得到 与 的等量关系，由此可求结果.
【详解】连接 ，如下图所示：因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 （负值舍去），
因为 为直径，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
14．（2024·江苏·一模）已知 ，且 ， ，则
．
【答案】 /
【分析】变形后得到 ，利用辅助角公式得到 ，得到
，两边平方后得到 ，利用同角三角函数关系求出
.
【详解】由题可知 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
两边平方后得 ，故 ，
．
故答案为：
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）利用余弦定理及基本不等式结合三角形面积公式计算即可.
【详解】（1） ，解得 （负值舍去），
又 是锐角三角形，则 ，
故 ；
（2） ，解得 ，当且仅当 时取得等号，
由（1）知
故 ，
故 面积的最大值为 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角三角形，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和为 ，结合两角和与差的正弦余弦公式将
变形，求解即可；
（2）结合（1）把 变形，整理得到关于正切的式子，令 ， ，
然后利用不等式求解最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，
在锐角 中，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
在锐角 中， ， 为锐角，所以 ，所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
即 ，
所以
，
令 ， ，则 ，
所以原式
，
当且仅当 ，即 ，又 ，
即 或 ， 时等号成立，符
合锐角三角形，所以原式的最小值为 .
17．（2024·湖北·一模）在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求函数 在 上的单调递增区间．
【答案】(1) 或
(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可得：
，即 ，解得 ，
又 ，故 或 ．
（2）由 ，可得 ，故 .
,
令 ,解得 .
由于 ，取 ，得 ；取 ，得 ；取 ，得
，
故 在 上的单调递增区间为 ．
18．（2024·四川内江·三模）在斜 中，角A、B、C所对的边分别为
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）化简 可得 ，结合
，解方程即可求得答案；
（2）利用二倍角公式可求出 ，继而求得 ，再由正弦定理求出
a，由三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由于 ，
故 ，则 ，
代入 ，得 ，
解得 或 ，由于 为斜三角形，故 舍去；
则 ；
（2）由 ，得 ，
则 ，
即 ，由于 ，故C为锐角，
则 ，故 ，
又 ，故 ，
则 ，
所以 .
19．（2022·浙江·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若 ，求C；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题给条件求得 ，进而求得 ；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得 和 ，再构造函数
，求得此函数值域即为 的取值范围
【详解】（1）由 ，
可得 ，则
整理得 ，解之得 或
又 ，则 ，则 ，则
（2）A ，B为 的内角，则
则由 ，可得 ，则 均为锐角
又 ，则 ，
则 ，则
因为 ,则
令 ，则
又 在 单调递增， ，
可得 ，则 的取值范围为 ，
则 的取值范围为
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·福建南平·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出 ，再由二倍角的余弦公式和诱导
公式化简代入即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
解得： ，
.
故选：A.2．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为
，解得 ，两边平方即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 .故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 ，由此即可顺利得解.
3．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意分别求出 ，再根据平方关系求出 的关系，再利用
基本不等式即可得解.
【详解】因为三个锐角 满足 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
整理得 ，
又 ，
于是解得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据 求出 ，再根据平方关
系求出 的关系是解决本题的关键.
4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）若 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出 ，从而求出 ，再由
即可求出 ，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.
【详解】一方面由题意 ，且注意到 ，
联立得 ，解得 ，
所以 ，
另一方面不妨设 ，且 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），即 ，由两角和的正切公式有
，
所以
.
故选：B.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】先利用诱导公式化简 的三角函数值，再根据 的大小可判断各
数的大小.
【详解】∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
， ，
即 ， ，
所以 ，
即 ，所以ABD正确，C错误.
故选：ABD.6．（2024·湖北·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对A，利用诱导公式求解判断；对B，利用二倍角正弦公式运算求解；对C，利用
商数关系切化弦，再根据诱导公式化简求解；对D， ，又
，假设 ，可推出矛盾.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ， ，
若 ，则 ，矛盾，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
7．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知 ，求
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简求解作答.【详解】由 ，得 ，即 ，
因此 ，
所以 .
故答案为：
8．（2023·广东惠州·二模）函数 经过点 ，图象如
图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 .
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积以及已知点求得 的解析式，进而求得 .
【详解】由图可知 ，
则 ，
依题意， ，
由于 ，
所以 ，所以 .
则
.
故答案为：
9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且 ，若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题可得 ，将 用含 的式子表示，然后根据角 的范围，求
的取值范围.
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∵又 ，且 都为锐角，故 ， ，
因为锐角三角形 ，所以
所以
所以 所以 ，
又因为所以
所以 ，解得 或 (舍去)
故 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）在 中，已知
．
(1)若 ，证明： 为直角三角形；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）先根据已知条件及正弦定理得到 ；再由
及同角三角函数基本关系即可证明
（2）先结合（1）中结论可得出 ；再根据 及两角差的正弦公式
可求出 ；最后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）证明：
因为所以在 中，由正弦定理得： ，
在 中，由正弦定理得： ．
因为 ，
所以 ,
则 .
因为 ，
所以 ，
所以 ．
不妨令 ，
由 ，得 ，即 .
所以 ，解得： ，即
所以 为直角三角形．
（2）
当 时， 为 的中点.
则 .
设 ，
由（1）可知 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
因为 ，即 ，所以 ，
则 .
所以 ．
11．（22-23高三上·陕西商洛·期中）在非 中，已知 ，
其中 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)是否存在 使得 为定值？若存在，求 的值，并求出该定值为多少；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在； ，定值为
【分析】（1）由题意求得 ， ， ，从而条件转化为
，进而 ；
（2）由（1）得 ，从而
，令 ，即
恒成立，从而得到 ，即可求解.【详解】（1）由 且 ，可得 ， ．
同理可得由 ，可得 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
（2）由（1）得 ，
即 ，
又由
（令其值为 ），
即 恒成立，
可得 ，解得 ， ，
故存在 使得 为定值，其定值为 ．
【点睛】关键点睛：
先由条件得 ，再计算
，在这里关键令 ，从而转化为恒成立，进而得到 ，进而求解.
