文档内容
专题21.5 特殊四边形的六大解题模型
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识解读 模型精讲............................................................................................................................................1
模型精讲一 “中点四边形”模型-知识解读....................................................................................................................1
模型精讲二 “十字架”模型-知识解读.............................................................................................................................2
模型精讲三 “垂美四边形”模型-知识解读....................................................................................................................3
模型精讲四 “含60°角的菱形”模型-知识解读.........................................................................................................3
模型精讲五 “梯子”模型-知识解读..................................................................................................................................4
模型精讲六 “半角”模型-知识解读..................................................................................................................................4
优选题型 模型精练............................................................................................................................................5
模型精练一 “中点四边形”模型.........................................................................................................................................5
模型精练二 “十字架”模型................................................................................................................................................10
模型精练三 “垂美四边形”模型......................................................................................................................................18
模型精练四 “含60°的菱形”模型.................................................................................................................................27
模型精练五 “梯子”模型....................................................................................................................................................32
模型精练六 “半角”模型....................................................................................................................................................35
培优检测 能力提升..........................................................................................................................................45
模型精讲一 “中点四边形”模型-知识解读
模型特征：条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点
图示
1
结论 ①四边形EFGH是平行四边形；②C四边形EFGH=AC+BD；③S四边形EFGH= S四边形ABCD
2
模型拓展：
拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形
类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形
条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点
图示
结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形
模型精讲二 “十字架”模型-知识解读
模型特征：
类型 过顶点型 不过顶点型
在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上， 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD
条件
AE⊥BF 上，EF⊥GH
图示
结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF
模型拓展：拓展方向 由正方形向矩形拓展
类型 过顶点型 不过顶点型
在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，
条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD
EF⊥GH
图示
CD DE EF CD
BCD∽△CDE；② =
结论 =
①△ BC CD GH BC
模型精讲三 “垂美四边形”模型-知识解读
模型特征：
条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD
图示
1
①AB2+CD2=AD2+BC2 ;②S = AC·BD
结论 四边形ABCD 2
模型精讲四 “含60°角的菱形”模型-知识解读
模型特征：条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60°
图示
①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形；
结论 1 ❑√3
③AB:AC:BD=1:1:❑√3; ④S菱形ABCD= AC·BD= BC2
2 2
模型精讲五 “梯子”模型-知识解读
模型特征：
条件 线段AB的两端点在坐标轴上滑动，∠ABC=90°,AB的中点为Q, 连接OQ,CQ,OC
图示
结论 当O,Q,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OQ+CQ
模型精讲六 “半角”模型-知识解读
模型特征：拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型
类型 90°含45° 120°含60°
特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60°
图示
变形
①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE;
①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF;
结论
②EF=BE+DF
②△AEF为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD)
模型精练一 “中点四边形”模型
【典例分析】如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角
线AC，BD应满足（ ）
A．AC=BD B．AC平分BD
C．BD平分AC D．AC⊥BD
【答案】D
【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形1
的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得EF∥AC,EF= AC，
2
1
HG∥AC,HG= AC，EH∥BD，从而可得EF∥HG,EF=HG，再证出四边形EFGH为平行四边形，
2
然后根据矩形的判定即可得．
【完整解答】解：由题意得：点E,F分别是AB,BC的中点，
1
∴EF∥AC,EF= AC，
2
1
同理可得：HG∥AC,HG= AC，EH∥BD，
2
∴EF∥HG,EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使平行四边形EFGH为矩形，则需要EF⊥EH，
又∵EF∥AC，EH∥BD，
∴要使EF⊥EH，则需要AC⊥BD，
故选：D．
【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB=12，∠B=60°，点E、F、G、H分别是边AB、BC、
1
CD、DA中点，在直线FG上方有一动点P，且满足S = S ，则△ADP周长的最小值为
△PFG 6 四边形EFGH
．
【答案】2❑√43+12
【思路引导】连接AC、BD交于O，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点证明四边
形EFGH为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形EFGH为矩形，在FG上方作直线l∥FG，且l
1 1 1
到FG的距离为 EF，即NH= EF，由S = S ，则点P在直线l上，然后作点A关于直线l
3 3 △PFG 6 四边形EFGH
的对称点M，连接MD，交直线l于点P，AC交直线l于点N，AC交AC于点H，根据两点之间线段最短
可得当点M、P、D三点共线时，PA+PD最短为MD长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解．【完整解答】解：如图，连接AC、BD交于O，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，
∴EH、FG为△ABD、△CBD的中位线，
1
∴EH=FG= BD，EH∥BD，BD∥FG，
2
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
1 1
在FG上方作直线l∥FG，且l到FG的距离为 EF，即NH= EF，
3 3
1
∵S = S ，
△PFG 6 四边形EFGH
∴点P在直线l上，
如上图，作点A关于直线l的对称点M，连接MD，交直线l于点P，AC交直线l于点N，AC交AC于点H，
由对称性可知：PA=PM，
∴PA+PD=PM+PD，
根据两点之间线段最短可得：当点M、P、D三点共线时，PA+PD最短为MD长，
∴△ADP周长的最小，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=12，
1
∴OA=OC= AC=6，
2
由勾股定理得：OD=❑√AD2−OA2=❑√122−62=6❑√3,∵E、F分别为AB、BC中点，
1
∴BE=BF= AB=6，
2
∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF=6，
1
∴NH= ×6=2，
3
∴ON=3−2=1，
∴AN=MN=OA+ON=6+1=7，
∴MO=MN+ON=7+1=8，
∴MD=❑√OD2+MO2=❑√(6❑√3) 2+82=2❑√43，
∴△ADP周长的最小值为2❑√43+12，
故答案为：2❑√43+12．
【考点再现】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形
的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式训练2】如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四
边形EFGH是正方形．
【答案】AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD
【思路引导】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形
的判定定理即可得解．
【完整解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
1 1 1
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD，
2 2 2
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
【考点再现】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理是解题的关键．
【变式训练3】如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析
【思路引导】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得；
（2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证
得菱形．
【完整解答】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：
连接AC，如图，
在△ABC和△ADC中，
∵EF、GH分别为其中位线，
1 1
∴EF∥AC,且EF= AC; GH∥AC且GH= AC ，
2 2
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形，
连接BD ，如图，在△BCD中，
∵GF为其中位线，
1
∴GF= BD ，
2
1
∵EF= AC（已证），且AC=BD，
2
∴EF=GF ，
又∵四边形EFGH为平行四边形（已证），
∴四边形EFGH为菱形．
【考点再现】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三
角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半．
模型精练二 “十字架”模型
【典例分析】对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相
等，叫做“等对”四边形．
(1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P，连
结AC、BD，求证：四边形ABCD是“等对”四边形．
(3)如图2，在正方形ABCD中，点E、点M分别在边AB、BC上，点F在BC的延长线上，且四边形EMFD是“垂对”四边形，对角线EF、MD相交于点H，EF与边CD交于点N．
①若CF=AE，BE=3，CN=1，求CM的长；
②连接MN，若点M是BC的中点，且正方形边长为4，请直接写出ED+MN的最小值．
【答案】(1)①×②×③√
(2)见解析
(3)①2；②2❑√10
【思路引导】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可；
②根据菱形的判定和性质判断即可；
③根据中位线定理得到EF=HG，EH=FG，证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行四边形的判
定和性质得到∠IEK=90°，即可证明平行四边形EFGH是矩形，进而判断即可；
（2）连接PD，PC，根据垂直平分线的性质得到PA=PD，PC=PB，根据等边对等角得到
∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，根据三角形外角的性质得到∠DPB=2∠PAD，
∠APC=2∠PBC，可知∠APC=∠DPB，证明△APC≌△DPB，得到AC=BD，即可得到四边形
ABCD是“等对”四边形；
（3）①连接DF，根据正方形的性质得到AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，可得∠A=∠DCF，
证明△ADE≌△CDF，进而证明△FMH≌△DNH，得到FM=DN，即可求出CM的长；
②过点E作EK∥MN，过点M作MK∥EN，可知四边形EKMN是平行四边形，进而得到ED+EK≥DK，
当D，E，K三点共线时，ED+MN的值最小，作NG∥BC交BC于点G，证明△MDC≌△ENG，得到
MK=MD，根据勾股定理求出DM=2❑√5，进而求出DK即可．
【完整解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错
误，
故答案为：×；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误，
故答案为：×；
③构造如图所示“垂对”四边形ABCD和其中点四边形EFGH，
∵E,F是边AB,BC中点，
∴EF是△ABC中位线，
1
∴EF= AC，EF∥AC
2
1 1 1
同理可得HG= AC，EH= BD，FG= BD，EH∥BD
2 2 2
∴EF=HG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥AC，EH∥BD
∴四边形EKJI是平行四边形，
∵四边形ABCD是“垂对”四边形，
∴∠AJB=90°，
∴∠IEK=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
矩形对角线相等，
故答案为：√；
（2）证明：连接PD，PC，如图所示：
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，
∵∠PAD=∠PBC
∴∠APC=∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD，即四边形ABCD是“等对”四边形；
（3）①解：连接DF，在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠A=∠DCF，{
AD=CD
)
在△ADE和△CDF中， ∠A=∠DCF ，
AE=CF
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF
∵DH⊥EF，
∴DH=FH，∠DHN=∠FHM=90°，
∴∠FMH＋∠MFH=90°，
∵∠DCF=90°，∠DNH=∠CNF，
∴∠MFH+∠CNF=∠MFH+∠DNH=90°，
∴∠FMH=∠DNH．
{∠FMH=∠DNH
)
在△FMH和△DNH中， ∠FHM=∠DHN ，
FH=DH
∴△FMH≌△DNH（AAS），
∴FM=DN，
∴CM=FM−CF=DN−AE=CD−CN−AE=BE−CN=3−1=2；
②解：过点E作EK∥MN，过点M作MK∥EN，
∴四边形EKMN是平行四边形，
∴EK=MN，MK=EN，
∴ED+MN=ED+EK，
∵ED+EK≥DK，
∴当D，E，K三点共线时，ED+MN的值最小，
∵四边形EMFD是“垂对”四边形，
∴EN⊥DM，即∠DHN=90°，
作NG∥BC交BC于点G，
则∠ANG=∠DNG=90°，NG=BC
∵∠HDN+∠HND=∠HNG+∠HND=90°，
∴∠HDN=∠HNG，∴△MDC≌△ENG，
∴MD=EN，
∴MK=MD，
∵四边形ABCD是正方形，
1
∴CM= DC=2，
2
∴DM=❑√DC2+CM2=❑√42+22=2❑√5，
∵DM⊥EN，MK∥EN，
∴MK⊥DM，
∴DK=❑√DM2+M K2=2❑√10，
∴ED+MN的最小值为2❑√10
【考点再现】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩
形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【变式训练1】如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD
于点G．
(1)求证：AE=BG；
(2)如图2，连接AG、≥¿，点M、N、P、Q分别是AB、AG、≥、EB的中点，试判断四边形MNPQ的
形状，并说明理由；(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边恰
好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形MNPQ为正方形，理由见解析
❑√10
(3)
6
【思路引导】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出∠BAE=∠GBC，证明
△ABE≌△BCG(ASA)，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形中位线定理可得出MN=PQ，MQ=NP，由平行四边形的判定可得出四边形MNPQ为平
行四边形，证出MN=MQ，MN⊥MQ，则可得出结论；
（3）延长AO交BC于S，由勾股定理求出AO的长，设AF=x，则BF=B′F=3−x，由勾股定理可得出
5
12+(3−x) 2=x2，解得x= ，则可得出答案．
3
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BAE=∠GBC，
在△ABE和△BCG中，
{∠BAE=∠CBG
)
AB=BC ，
∠ABE=∠BCG
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG．
（2）解：四边形MNPQ为正方形，
理由如下：∵M，N为AB,AG的中点，
∴MN为△ABG的中位线，
1
∴MN∥BG，MN= BG，
2
1 1 1
同理可得PQ∥BG，PQ= BG，MQ∥AE，MQ= AE，NP∥AE，NP= AE，
2 2 2
∴MN=PQ，MQ=NP，∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵AE=BG，
∴MN=MQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
∵BG⊥AE，MQ∥AE，
∴MQ⊥BG，
∵MN∥BG，
∴MN⊥MQ，
∴四边形MNPQ为正方形．
（3）解：延长AO交BC于点S，
由对称性可知BF=B′F，AB′=BS=1，AO=SO，AS⊥FR，
∴AS=❑√AB2+SB2=❑√10，
1 ❑√10
∴AO= AS= ，
2 2
设AF=x，则BF=B′F=3−x，
在Rt△AB′F中，12+(3−x) 2=x2，
5
∴x= ，
3
5
∴AF= ，
3
∴OF=❑√AF2−AO2=❑
√ (5) 2
−
(❑√10) 2
=
❑√10
．
3 2 6
【考点再现】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角
形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E是BC边上一点，且CE=2BE，连接AE，点F是
AB边上一点，过点F作FG⊥AE交CD于点G，连接EF，EG，AG，则四边形AFEG的面积为 ．
【答案】5
【思路引导】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过F点作FH⊥CD于H，可证△ABE≌△FHG(
ASA)，可得AE=FG，由勾股定理可求AE=❑√10，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积
的一半”，即可求解．
【完整解答】解：如图，过F点作FH⊥CD于H，
∴∠FHG=90°
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=3，
∠B=∠C=90°，
∴四边形BCHF是矩形，
∴FH=BC=AB=3，
∠BFH=90°，
∴∠GFH+∠AFG=90°，
∵AE⊥FG，
∴ ∠AFG+∠EBA=90°，
∴∠EAB=∠GFH，
在△ABE和△FHG中
{
∠B=∠FHG
)
AB=FH ，
∠BAE=∠HFG∴ △ABE≌△FHG(ASA)
∴AE=FG，
∵CE=2BE，
1
∴BE= BC=1，
3
∴AE=❑√AB2+BE2
=❑√32+12=❑√10，
∴FG=❑√10，
1
∴S = AE⋅FG
四边形AFEG 2
1
= ×❑√10×❑√10
2
=5；
故答案：5．
【考点再现】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角
形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键．
模型精练三 “垂美四边形”模型
【典例分析】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说
明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；
(2)垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明过程见解析；
(3)¿=❑√73．
【思路引导】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正
确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的判定定理可得直线AC是线段BD的垂直平分线，结论得证；
（2）根据垂直的定义可得∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得
AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，进而得到答案；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【完整解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
证明：如图连接AC，BD交于点E，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，如图：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
{
AG=AC
)
∠GAB=∠CAE ，
AB=AE
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，根据勾股定理可得：BC=3，
∵CG和BE分别是正方形ACFG和ABDG的对角线，
∴CG=4❑√2，BE=5❑√2，
∴GE2=CG2+BE2−CB2=(4❑√2) 2+(5❑√2) 2 −32=73，
∴¿=❑√73．
【变式训练1】小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一
类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．
(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：
______．
(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②直接写出四边形BCGE的面积．
【答案】(1)菱形、正方形
1
(2)S= AC⋅BD
2
(3)①见解析；②130
【思路引导】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
1 1 1
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积= AC⋅BO+ AC⋅DO= AC⋅BD；
2 2 2
（3）①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明△GAB≅△CAE，得出BG=CE，
∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；②
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【完整解答】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正
方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）如图1所示：∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积
1 1 1
= AC⋅BO+ AC⋅DO= AC(BO+DO)
2 2 2
1
= AC⋅BD；
2
1
故答案为： AC⋅BD；
2
（3）①证明：连接CG、BE，BG交CE于N，BA交CE于M，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
{
AG=AC
)
∠GAB=∠CAE ，
AB=AE
∴△GAB≅△CAE，
∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②∵FG=CF=AC=8，∠ACB=90°，AB=10，
∴BC=❑√AB2−AC2=6,
∴BF=BC+CF=14，在Rt△BFG中，BG=❑√BF2+FG2=❑√142+82=2❑√65,
∴CE=BG=2❑√65，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
1
∴四边形BCGE的面积= BG•CE=130
2
【考点再现】本题考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的
定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式训练2】(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：
①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是_____；（只填序号）
(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎
样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10，求GE长．
【答案】(1)③④
(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析
(3)AD2+BC2=AB2+CD2；理由见解析
(4)2❑√73
【思路引导】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；
（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
（4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．
【完整解答】（1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边
形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：如图2，∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（3）解：AD2+BC2=AB2+CD2，
证明如下：如图①，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
{
AG=AC
)
∠GAB=∠GAE ，
AB=AE
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AB＝10，AC＝8，
∴BC2=AB2−AC2=36，CG2=AC2+AG2=128，BE2=AB2+AE2=200，
∴GE2=128+200−36=292，
则GE＝2❑√73．
【考点再现】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、
勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式训练3】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
【答案】（1）垂美四边形，证明见解析；（2）AD2+BC2=AB2+CD2；（3）¿=❑√73
【思路引导】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【完整解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2．
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
{
AG=AC
)
∠GAB=∠CAE ，
AB=AE
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=❑√AB2−AC2=3，CG=4❑√2，BE=5❑√2，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，
∴GE=❑√73．
【考点再现】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正
确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
模型精练四 “含60°的菱形”模型
【典例分析】如图，已知菱形ABCD的边长为2，M，N分别是边BC，CD上的动点，
∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，则MN的最小值为 ．
【答案】❑√3
【思路引导】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等
相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由四边形ABCD是菱形得AB=CB=AD=CD，AB∥CD，∠B=∠ADC，而∠BAC=60°，则△ABC
是等边三角形，接着可证△ADC也是等边三角形，再证明△CAM≌△DAN，得AM=AN，而
∠MAN=60°，则△AMN是等边三角形，当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，通过
勾股定理可求得MN的最小值．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=AD=CD，AB∥CD，∠B=∠ADC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠B=∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AC=AD，
又∵∠MAC=∠MAN−∠CAN=60°−∠CAN，∠DAN=∠DAC−∠CAN=60°−∠CAN，
∴∠MAC=∠DAN，
在△CAM与△DAN中，{∠MAC=∠DAN
)
AC=AD
∠ACM=∠ADC
∴△CAM≌△DAN（ASA），
∴AM=AN，
又∵∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
当MN最小值时，即AM为最小值，而当AM⊥BC时，AM值最小，
∵AB=AC=BC=2，AM⊥BC，
1
∴BM= BC=1，
2
∴AM=❑√AB2−BM2=❑√22−12=❑√3，即MN=❑√3，
故答案为：❑√3．
【变式训练1】在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长AB为8，点M是AB边上一点，点N是AD边上一
点，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点A′恰好落在菱形ABCD的一条边上，若DA′=2，则AM的长为
．
【答案】6或7
【思路引导】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，
熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
分A′落在AD上和A′落在CD上两种情况进行讨论求解即可．
【完整解答】①当A′落在AD上时，如图，
∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长AB为8，
∴AD∥BC，AD=AB=8，
∴∠DAB=180°−∠ABC=60°，∵折叠，
∴AM=A′M，
∴△A A′M为等边三角形，
∴AM=A A′，
∵AD=8,DA′=2，
∴A A′=AD−DA′=6，
∴AM=6；
当A′落在CD上时，如图：
作AE⊥CD交CD的延长线于点E，作A′F⊥AB于点F，
∵菱形ABCD，
∴AB∥CD,∠ADC=∠ABC=120°，
∴EA⊥AB,∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°，四边形AE A′F为矩形，
1
∴DE= AD=4,AE=❑√3DE=4❑√3，AF=A′E,A′F=AE
2
∵DA′=2，
∴A′E=A′D+DE=6，
∴AF=A′E=6,A′F=AE=4❑√3，
∵折叠，
∴AM=A′M，
设AM=A′M=x，则FM=x−6，
在Rt△A′FM中，由勾股定理，得(x−6) 2+(4❑√3) 2=x2，
解得x=7，
∴AM=7；
综上：AM=6或AM=7；
故答案为：6或7．
【变式训练2】如图．在△ABC中，AB=BC，过点B作BD⊥AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，
过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．若∠C=30°，求证：四边形DEFB是菱形．【答案】证明见解析
【完整解答】本题考查了三角形的中位线，平行四边形和菱形的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角
形30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，等边三角形的性质和判定；根据等腰三角形“三线合一”的
1
知识，得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到DE∥CB，DE= BC，再根据平行四边形判定
2
定理证明四边形DEFB是平行四边形，再利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，得到
1
BD= BC，即证明得BD=DE，得到△DBE是等边三角形，再根据菱形判定定理即可证明.
2
【解答】
证明：∵在△ABC中，AB=BC，过点B作BD⊥AC于点D，
∴D为AC中点，∠CDB=90°，
∵点E为AB的中点，
∴DE为△ABC中位线，
1
∴DE∥CB，DE= BC，
2
又∵EF∥BD，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∵∠C=30°，AB=BC，
∴∠ABD=∠CBD=60°,
∵Rt△CDB中，∠C=30°，
1 1
∴BD= BC= AB，
2 2
即BD=DE，∴△DBE是等边三角形，
∴DB=DE，
∴四边形DEFB是菱形.
【变式训练3】如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方
向以2cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动．当其中一个点
到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0
