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专题 23 特殊平行四边形中的最小值问题
解题思路
【类型一 利用几何基本事实确定最值】
【基本事实1 垂线段最短】
垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点 A，点P是l上一动点，当
AP⊥l时，线段AP最短。
【基本事实2 两点间，线段最短】
两点间，线段最短
根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC
当A,C,B三点在一条直线上时，
【类型二 利用轴对称变换确定最值】
线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，
作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，
等于BA′典例分析
【典例1】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为 6的正方形ABCD中，点P
为对角线 AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（
）
A． B． C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC，BP最短，
在 Rt△BPC 中，BP＝PC，BC＝ 6，
根据勾股定理可解得BP＝3 ，
∴EF得最小值为3 ．
故选：B．
【变式1】（2021春•鄂州期末）在边长为 2的等边△ABC中，D是AC上一动
点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小
值为（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：如图，AB与DE相交于点O，
在△ABC中，∠BAC＝60°，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OB．
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥AC．
∵点O是AB的中点，
∴OA＝ AB＝1，
∵∠ODA＝90°，OA＝1，∠BAC＝60°，
∴OD＝ ，
∴ED＝2OD＝ ，
故选：C．
【典例2】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半
轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上
运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 ．【答案】 +1
【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，
∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，
∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝1，
∴CH＝ ＝ ＝ ，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴OH＝ AD＝1，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为OH+CH＝ +1，
故答案为： +1
【变式2-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S ＝ S ，则 PC+PD 的最小值是（
△PAB △PCD
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连
接PE，EC．设AM＝x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵S ＝ S ，
△PAB △PCD
∴ ×4×x＝ × ×4×（6﹣x），
∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在Rt△ECD中，EC＝ ＝4 ，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4 ，∴PD+PC的最小值为4 ．
故选：B．
【典例3】（2019春•江州区期末）如图，菱形 ABCD的边长为4cm，∠ABC＝
60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则 PM+PC的最小值
为（ ）
A．4 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【答案】D
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴点A、C关于BD对称，
连接AM，AM即为PM+PC的最小值，
∵M是BC的中点，BC＝2，
∴CM＝BM＝2，
∴AB＝BC＝2×2＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABM是直角三角形，
∴AM＝ AB＝2 ，
即PM+PC的最小值．
故选：D．
【变式3-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一
点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【解答】解：作 E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所
求，
过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F＝ ＝ ．
故选：C．
【变式3-2】（2020•枣庄三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是
矩形ABCD内一动点，且S ＝S ，则PC+PD的最小值为 ．
△PAB △PCD
【答案】2
【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S ＝S ，AB＝CD，
△PAB △PCD
∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，∴点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝BP+PD，
当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，
又∵AB＝CD＝4，BC＝6，
∴对角线BD＝ ＝ ＝2 ，
∴PC+PD的最小值为2 ，
故答案为：2
夯实基础
1．（春•惠山区期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2 ，
点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是
（ ）
A．3 B．6 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE
＝CG＝2 ，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝ ＝3 ，
∴HG＝3 ﹣2 ＝ ，∴Rt△BHG中，BG＝ ＝ ＝2 ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是2 ．
故选：C．
2.（秋•无为县期末）如图，在长方形 ABCD的边AD上找一点P，使得点P到
B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在 ．
【答案】 AD 的中点
【解答】解：作出B关于AD的对称点B'，连接CB'，如图；
∵长方形ABCD，
∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，
∵AB'＝AB，
∴AB'＝CD，
在△B'AP与△CDP中，
∴△B'AP≌△CDP（AAS），
∴AP＝PD，
故答案为：AD的中点．
3．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，
分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
【答案】
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝ ＝ OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝ CF＝1，
即AB＝ ，
故答案为： ．
4．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为
边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最
小值为 ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EDA+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，∴GT＝ AD＝1，BT＝ ＝ ＝ ，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥ ﹣1，
∴BG的最小值为 ﹣1．
故答案为： ﹣1．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中点，CM＝2．点P
是BD上一动点，则PM+PC的最小值 ．
【答案】2
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴点A、C关于BD对称，
连接AM，AM即为PM+PC的最小值，
∵M是BC的中点，CM＝2，
∴AB＝BC＝2×2＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABM是直角三角形，
∴AM＝ AB＝ ×4＝2 ，
即PM+PC的最小值．
故答案为：2 ．能力提升
6．（2021秋•江汉区月考）已知正方形 ABCD与正方形CEFG，M是AF的中
点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数
量关系与位置关系，并证明；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然
成立？请证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值
为 9 ．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME （2）结论仍然成立，DM⊥EM，DM
＝EM （3）9
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：
如图1中，延长EM交AD于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME（ASA），
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：
如图2中，延长EM交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME（ASA），
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（ 3 ） 如 图 3 ， 连 接 BF ， 取 BF 的 中 点 H ， 连 接 HM ， HN ， 则
MN≤HM+HN，
∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值，
∵M、N、H分别是AF、BG、BF的中点，AB＝13，CE＝5，
∴MH＝ AB＝ ，NH＝ FG＝ CE＝ ，
∴HM+HN＝9，
∴MN≤9，
∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值9，
故答案为：9．
