文档内容
第 07 讲 函数（7 个知识点+7 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方
面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
知识点2．函数的概念 π
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯
一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值
的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，
即单对应．
知识点3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自
变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9
就表示x是y的函数．
知识点4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际
问题有意义．
知识点5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函
数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是
多个．
知识点6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标
平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对
x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法
是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
知识点7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活
中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
知识点8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非
常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取
值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
知识复习
一．常量与变量（共6小题）
1．（2023春•河口区期末）自变量 与因变量 的关系如图，当 每增加1时， 增加 2
．
【分析】根据题意计算出 时 的值，然后求差即可．
【解答】解：当 增加1变为 ，
则 变为 ，
，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了常量与变量，关键是正确理解题意，列出算式．
2．（2023春•曲阳县期中）球的体积 与半径 之间的关系式是 ．
（1）在这个式子中，常量、变量分别是什么？
（2）利用这个式子分别求出当球的半径为 ， ， 时球的体积；（3）若 ，当球的半径增大时，球的体积如何变化？
【分析】（1）根据在事物的变化过程中，不变的量是常量，变化的量是变量，可得答案；
（2）代值计算即可求解；
（3）根据函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）在这个式子中，常量是： ，
变量分别是：球的半径 ，球的体积 ；
（2）当球的半径为 ，球的体积是 ；
当球的半径为 ，球的体积是 ；
当球的半径为 时，球的体积是
（3）当球的半径增大时，球的体积就越大．
【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，利用了常量、变量的定义．
3．（2023春•芜湖月考）太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化．在这
个变化过程中，自变量是
A．热水器里的水温 B．太阳照射时间
C．太阳光强弱 D．热水器的容积
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量 、 ，如果对于 在某一范围内的
每一个确定的值， 都有唯一的值与它对应，那么称 是 的函数， 叫自变量．函数关
系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变
量，太阳照射时间为自变量．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是函数的定义，关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识
和理解．
4．（2023春•安庆期末）一本笔记本5元，买 本共付 元，则5和 分别是
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量所以5和 分别是常量，变量，据此判断即可．
【解答】解：一本笔记本5元，买 本共付 元，则5和 分别是常量，变量．
故选： ．
【点评】此题主要考查了常量与变量问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：常量
与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一
是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
5．（2023春•萧县校级期中）夏天马上到了，进入5月份后，温度 随着日期（d）的变
化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是 日期 ，因变量是 ．
【分析】由自变量和因变量的概念，即可判断．
【解答】解： 温度随着日期的变化而变化，
自变量是日期，因变量是温度．
故答案为：日期，温度．
【点评】本题考查自变量，因变量，关键是掌握自变量，因变量的定义．
6．（2023春•南沙区期末）周长为 的矩形，若它的一边长是 ，面积是 ．
（1）请用含 的式子表示 ，并指出常量与变量；
（2）当 时，求 的值．
【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出 与 之间的
关系式；
（2）代入数值求 的值．
【解答】解：（1） ，
周长 是常量；一边 ，面积 是变量．
（2）当 时，
．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数
的解析式．
二．函数的概念（共6小题）7．（2021春•无为市月考）变量 ， 有如下关系：① ；② ；③ ；
④ ．其中 是 的函数的是
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：① ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一的值与其对应，符合
函数的定义，符合题意；
②给一个任意不是0的数 ， 都有唯一的值与它对应，符合题意；
③ ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符
合题意；
④ ，任意给一个正数 ， 都有两个值与 对应，不符合函数的定义，不符合题
意；
故选： ．
【点评】本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一
个确定的值， 都有唯一的值与其对应，那么就说 是 的函数，掌握函数的概念是解题
的关键．
8．（2021春•东城区校级期末）变量 ， 有如下关系：① ；② ；③
；④ ．其中 是 的函数的是 ①②③ ．
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：① ，这是一次函数，符合题意；
②任意给定一个非0的实数， 都有唯一的值，符合函数的定义，符合题意；
③当 时， ；当 时， ，符合函数的定义，符合题意；
④ ，给定一个非负数 ， 都有2个值，不符合函数的定义，不符合题意；
故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的概念，理解函数的概念中的“ 都有唯一的值”是解题的关键．
9．（2023春•潘集区期末）下列曲线中，不表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一
的值与其对应，那么就说 是 的函数， 是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然 、 、 选项中，对于自变量 的任何值， 都有唯一的值与之相对
应， 是 的函数；
选项对于 取值时， 都有2个值与之相对应，则 不是 的函数；
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的概念．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注
意，对于 的每一个值， 都有唯一的值与其对应．
10．（2023春•邢台期中）某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表：
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月
月产 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
量
万辆
（1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数；
（2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？
【分析】（1）根据函数的定义，可得答案；
（2）根据有理数的大小比较，可得答案．
【解答】解：（1）自变量是时间 ，自变量的函数是月产量 ．
（2）由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低．【点评】本题主要考查变量与常量，熟练掌握自变量与函数的定义是解决本题的关键．
11．下表是某公共电话亭打长途电话的几次收费记录：
1 2 3 4 5 6 7
时间（分
电话费 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
（元
（1）上表反映了哪两个变量间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用 表示时间， 表示电话费，那么随 的变化， 的变化趋势是什么？
（3）丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付多少元？
【分析】（1）根据函数的定义可知，时间是自变量，电话费是因变量；
（2）由图表数据可知电话费的变化趋势；
（3）由图表数据得出打5分钟电话，需要的电话费．
【解答】解：（1）上表反应的是时间和电话费两个变量之间的关系，时间是自变量，电话
费是因变量；
（2）根据图表数据得出：随着 的增大， 相应的也增大；
（3）由图表中数据直接得出：丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付3元．
【点评】此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 ，
，对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变
量．
12．（2022秋•宣州区校级期中）下列各式① ；② ；③ ；④
中， 是 的函数的有 ①②③ （只填序号）
【分析】根据函数的定义可知，满足对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应
关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：① ；② ；③ ， 是 的函数，
故答案为：①②③．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 ， ，
对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变量．
三．函数关系式（共5小题）
13．（2023春•阿克苏地区期末）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，
其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为 辆次，停车的总收入为 元，则 与 的关系式为
A． B． C． D．
【分析】已知两轮电动车停车辆数为 辆次，则小汽车停车辆数为 辆次，结合已
知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解： 两轮电动车停车辆数为 辆次，
小汽车停车辆数为 辆次，
两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
，
整理得： ，
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
14．（2023•陈仓区期中）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家 的景点旅游，
出发前，汽车油箱内储油 ，当行驶 时，发现油箱余油量为 ．（假设行驶过
程中汽车的耗油量是均匀的）
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程 与剩余油量 的关系式；
（2）当 时，求剩余油量 ．
【分析】根据平均每千米的耗油量 总耗油量 行驶路程求解．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为 ，
行驶路程 与剩余油量 的关系式为 ．
（2）当 时， ．
故当 时，剩余油量 为 ．
故答案为：（1） ．（2）当 时，剩余油量 为 ．【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据数量关系列出解析式为解题关键．
15．（2023春•船营区校级期末）由于惯性的作用．行驶中的汽车在刹车后还要继续向前
滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离“．为了测定某种型号小型载客汽车的
刹车性能，（车速不超过 ．对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车 0 10 20 30 40 50
速
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
请回答下列问题，
（1）在这个变化过程中，自变量是 刹车时车速 ，关于自变量的函数是 ；
（2）根据上表反映的规律写出该种型号汽车 与 之间的关系式： ；
（3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故．现场测得刹车距离为 ，推测刹
车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道
路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时
120公里．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，可得答案；
（3）结合（3）的结论得出可得车速为 ，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速，关于自变量的函数是正比例函数．
故答案为：刹车时车速；正比例函数；
（2）由表格可知，刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，
与 之间的关系式为： ，
故答案为： ；
（3）当 时， ，
，
，
答：推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【点评】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
16．（2023•成武县期末）某地市话的收费标准为：
（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；
（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．
在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费 （元 与通话时间 （分 之间的关
系式为 ．
【分析】话费 三分钟以内的基本话费 超过3分钟的时间 ，把相关数值代入即
可求解．
【解答】解：超过3分钟的话费为 ，通话时间超过3分钟，
话 费 （ 元 与 通 话 时 间 取 整 数 ， 单 位 ： 分 钟 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为
．
故答案为： ．
【点评】考查了函数关系式，解决本题的关键是理解话费分为规定时间的费用 超过规定
时间的费用．
17．（2023春•中阳县期末）小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，
长度如图1所示，小明用 个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，
相互间不留空隙．则图形的总长度 与图形个数 之间的关系式为
A． B． C． D．
【分析】当1个图形时，总长度为 ；当2个图形拼接时，总长度为 ；当3
个图形拼接时，总长度为 ．依此类推，当 个图形拼接时，总长度为，由此可得 与 的关系式．
【解答】解：当1个图形时，总长度为 ；当2个图形拼接时，总长度为 ；
当3个图形拼接时，总长度为 ；
当 个图形拼接时，总长度为 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查函数关系式，用列举法找规律，从而写出其函数关系式．
四．函数自变量的取值范围（共4小题）
18．（2023春•新田县期末）函数 中自变量 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出 的范围．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是函数的自变量取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
19．（2024•五华区校级模拟）函数 的自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
20．（2021春•都安县月考）求下列函数中自变量的取值范围．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【分析】（1）根据多项式的概念解答；
（2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可；
（3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1） 中，自变量的取值范围是全体实数；
（2）由题意得： ， ，
解得： ；
（3）由题意得： ，
解得： ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数
分母不为0是解题的关键．
21．已知函数 ，你能找出自变量 的取值范围吗？
【分析】根据在 中 和 中 列出表达式组解则可．根据0的0次幂以及
负指数次幂无意义，就可以求解．
【解答】解：由函数 知，
，
所以 且 ，
故函数 的自变量 的取值范围是 且 ．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，任何数的0次方是1，但是底数不能为0和分式
分母的值不能为0．
五．函数值（共4小题）
22．（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原
路返回，全程保持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中 表
示时间， 表示观光船与码头的距离．
0 6 12 18
200 80 40 160
根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间 是
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令 时，求得对应的 的值即可．
【解答】解：由表格数据可得，观光船形式 时，行驶路程为 ，
则其速度为 ，
那么 关于 的函数关系式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，
即观光船到达码头的时间 是10，
故选： ．
【点评】本题考查函数问题，结合已知条件求得 关于 的函数关系式是解题的关键．
23．（2023•茌平区期末）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入的 值是4或7时，
输出的 值相等，则 等于 ．【分析】把 与 代入程序中计算，根据 值相等即可求出 的值．
【解答】解：当 时， ，当 时， ，
由题意得： ，
解得： ，
故答案为：
【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式是解本题的关键．
24．（2023春•高邑县期中）在国内某快递公司的资费如下表：
货物质量 （克
0.8 1.6 2.4
快递费 （元
（1） 是 的函数吗？为什么？
（2）分别求当 ，10，35，50，时的函数值．
【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）根据 的不同的取值范围对应的函数值解答即可．
【解答】解：（1） 是 的函数．理由如下：
对于任何一个 的值，都有唯一一个确定的 值与之相对应，
是 的函数．
（2）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【点评】本题考查函数值及函数的概念，理解并掌握函数的定义是解题的关键．25．（2023春•船营区期中）已知函数 中， 当 时的函数值为 1
，试求 的值为 3 ．
【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的， 代入函数值， 可得自变
量的值 ．
【解答】解： 因为函数 中， 当 时的函数值为 1 ，
可得： ，
解得： ，
故答案为： 3 ．
【点评】本题考查了函数值， 代入函数值可得相应自变量的值 ．
六．函数的图象（共4小题）
26．（2023春•新华区校级期末）过山车（图 是一个有趣而刺激的娱乐项目，如图2所
示的是佳佳乘坐过山车在一分钟之内的高度 （米 与时间 （秒 之间的关系图象．
（1）当 秒时，过山车的高度是 8 0 米；
（2）请直接写出在这一分钟内过山车有几次高度达到90米；
（3）求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差．
【分析】（1）结合图象，仔细观察即可得出答案；（2）结合图象，仔细观察即可得出答案；
（3）结合图象的最高点和最低点的纵坐标解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，当 秒时，过山车的高度是80米．
故答案为：80；
（2） ，
过山车的运动介于 之间时存在 的情况，看图象可得，这一分钟内过山车
有两次 ；
（3） 最大高度为98米，最低高度为5米，
（米 ．
在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为93米．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题，理解横、纵坐标的实际意义，仔细观察图象是
解题的关键．
27．（2024•安徽模拟）已知点 ， ， 在同一个函数图象上，则
这个函数图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】由点 ， ， 在同一个函数图象上，可得 与 关于
轴对称；当 时， 随 的增大而减小，继而求得答案．
【解答】解： 点 ， ，
与 关于 轴对称，即这个函数图象关于 轴对称，故选项 ， 不符合题意；
， ，
当 时， 随 的增大而减小，故选项 符合题意，选项 不符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
28．（2024•临汾一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”
的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”
并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直
至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触．在“人造自由百变泥”下放过程中
测力计示数 与“人造自由百变泥”浸入水中深度 的关系如图2所示．当 时，
由此可知，“人造自由百变泥”的密度是
A． B．
C． D．
【分析】根据题图2易得人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力 ，“人造自
由百变泥”的重力 ，再利用公式 ， ，并将以上两式
相比即可求出人造自由百变泥”的密度．
【解答】解：由题图 2 可知，“人造自由百变泥”完全浸没后所受到的浮力①，
“人造自由百变泥”的重力 ②，
而 ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的图象、跨学科问题，根据题图正确得出物体所受到的浮力
和重力 ，并熟记公式 是解题关键．
29．（2023春•潮安区期末）某人沿直路行走，若此人离出发的距离 （千米）与行走时间
（分 的函数关系如图所示，则此人在这段时间内最快的行走速度是 千米 分．
【分析】求速度，用距离与时间的比即可．
【解答】解：由函数图象可知，
段速度为： （千米 分），
段速度为： （千米 分），
段速度为： （千米 分），
段速度为： （千米 分），最快的速度为 段，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示
的意义，理解问题的过程是解题的关键．
七．动点问题的函数图象（共4小题）
30．（2023春•沐川县期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形 在第一象限，
且 轴．直线 从原点 出发沿 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四
边形 截得的线段长度 与直线在 轴上平移的距离 的函数图象如图2所示，那么
平行四边形 的面积为 ．
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是 1时，直线经过点 ；当移动距离是4时，直
线经过 ，当移动距离是6时经过 ，则 ，当直线经过 点，设直线交
于 ，则 ，作 于点 ，利用勾股定理可求得 ，即平行四边形的高，
然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是 1时，直线经过点 ，当移动距离是4时，
直线经过 ，当移动距离是6时经过 ，则 ，
设直线经过点 时，交 于 ，则 ，作 于点 ，如图所示：
移动直线为 ，
，
，，
，
，
，
或 （舍去），
平行四边形 的面积为： ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性
质，其中根据函数图象确定 的长，是解答本题的关键．
31．（2024•河南模拟）如图1，在 中，圆心角 ．点 从点 出发，绕着
点 以每秒 的速度在圆周上逆时针旋转到点 ．在旋转过程中，线段 的长度
与旋转时间 的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据点 的位置和 的长度，分别画出图形，结合函数图象给出的信息，逐项
进行求解即可作出判断．
【解答】解：当 时，点 与点 重合，此时 ，
由图象可知， ，故选项 错误，不符合题意；
由图象可知，当 时， ，此时点 与点 重合，即 ，如图1，
， ，
是等边三角形，
，即 的半径为 ，
当 时，即 ，
过点 作 于点 ，则 ，如图1，
，
，
即 ，
同理可得， ，
此时 或 ，
由图象可知， ， ，
，故选 正确，符合题意；当 时，即 ，如图3，
，
，
此时 或 ，
由图象可知， ， ，
，故选选项 错误，不符合题意；
当点 旋转到 ，即 是直径， 取最大值时，如图4，
则 ，
则由图象可知，点 的坐标为 ，故选项 错误，不符合题意，
故选： ．
【点评】此题考查了动点的函数图象、垂径定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类
讨论是解题的关键．
32．（2023•武汉模拟）如图1，在菱形 中， ， 是 边的中点，
是对角线 上一动点，设 的长度为 ， 与 的长度和为 ，图2是 关于 的函数图象，其中 是图象上的最低点，则 的值为 ．
【分析】由 、 关于 对称，推出 ，推出 ，推出当 、 、
共线时， 的值最小，观察图象可知，当点 与 重合时， ，推出
， ，分别求出 的最小值， 的长即可解决问题．
【解答】解： 在菱形 中， ，
，
为等边三角形，
点 是 边的中点，
，
、 关于 对称，
，
，
当 、 、 共线时， 的值最小，即 的长．
观察图象可知，当点 与 重合时， ，
， ，
在 中， ，
的最小值为 ，
点 的纵坐标 ，
，
，
，点 的横坐标 ，
．
故答案为：
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
33．（2023春•如东县月考）如图①，在矩形 中，点 从 边的中点 出发，沿
着 匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点 后停止运动，点 是 上的
点， ，设 的面积为 ，点 运动的时间为 秒， 与 的函数关系如图②所
示．
（1）图①中 8 ， ，图②中 ．
（2）点 在运动过程中，将矩形沿 所在直线折叠，则 为何值时，折叠后顶点 的对
应点 落在矩形的一边上．
【分析】（1）从图1看出：点 从 到 ，面积逐渐增大；点 从 到 ，面积不变．
故再从图2看出： ， ，再计算即可．
（2）分三种情况： 在 上，且在 左方，或 在 上，且在 右方，或 在 上，
再运用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）从图1看出：点 从 到 ，面积逐渐增大；点 从 到 ，面积不
变．故再从图2看出： ， ，
面积 ．
故答案为：4，18，20．
（2）如图1：过 作 ．
由翻折得 ， ，
．
，
，
在 中，
，
，
．
如图
由翻折得 ，
，，
，
．
当 从 运动到图2为止时，
，
在 中，
，
，
．
如图
由翻折得 ，
，
，
．
，
，
由翻折得 ，
，，
．
综上所述， 的值为1秒或10秒或 秒．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确用含 的代数式表示出 是解题关键．
八．函数的表示方法（共6小题）
34．（2023春•章丘区期中）父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下
面的表格：
海拔高度 0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
温度
下列有关表格的分析中，不正确的是
A．表格中的两个变量是海拔高度和温度
B．自变量是海拔高度
C．海拔高度越高，温度就越低
D．海拔高度每增加 ，温度升高
【分析】根据函数的表示方法与概念判断即可．
【解答】解： 、表格中的两个变量是海拔高度和温度，正确，不合题意；
、自变量是海拔高度，正确，不合题意；
、海拔高度越高，温度就越低，正确，不合题意；
、海拔高度每增加 ，温度降低 ，不正确，符合题意；
故选： ．
【点评】本题是对函数定义的考查和图表的识别，自变量、因变量的区分对初学函数的同
学来说比较困难，需要在学习上多下功夫．
35．（2023春•梅江区期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重
量 与售价 （元 之间的关系如下表：
1 2 3
重量售价 元
根据表中数据可知，若卖出柚子 ，则售价为 12. 1 元．
【分析】根据题意求出 、 的对应关系，得到答案．
【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
故答案为：12.1．
【点评】本题考查的是函数的表示方法，根据给出的 、 的对应关系，列出 与 的函
数关系式是解题的关键．
36．（2023春•青县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板不同高
度 的下滑时间 ，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是
木板的支撑 10 20 30 40 50
物高
下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56
A．这个问题中，木板的支撑物高是自变量
B．当 时， 约为2.66秒
C．随高度增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加 ，时间就会减少0.24秒
【分析】根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可得结论．
【解答】解：根据表格可知，木板的支撑物高是自变量，下滑时间是因变量，
选项正确；
从表中的对应值可以看到当 时， ，
选项正确；
当 时， ，选项正确；
从表中数据看到：当 由10逐渐增大到50时， 的值由3.25逐渐减小到2.56，
随高度增加，下滑时间越来越短．
选项正确；
因为时间的减少是不均匀的，
选项错误．
综上，只有 选项错误，
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
37．（2023春•裕华区期末）枣庄某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数
（人 与每天利润（利润 票款收入 支出费用） （元 的变化关系，如下表所示（每位
乘客的乘车票价固定不变）
200 250 300 350 400
（人
0 100 200
（元
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1） 每天的乘车人数 是自变量；
（2）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请写出公交车每天利润 （元 与每天乘车人数 （人 的关系式： ；
（4）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【分析】（1）在变化过程中，哪个变量是随着哪个交量的变化而变化的，从而确定自变量；
（2）由表中数据可知，当 时， ，当 时， ，进行解答即可；
（3）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加
100元，然后列出关系式即可解答；
（4）把 代入（3）中的关系式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在这个变化关系中，自变量是：每天的乘车人数．
故答案为：每天的乘车人数．
（2）观察表中数据可知，当 时， ，当 时， ，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损．
故答案为：300．
（3）由题意得： ，
公交车每天利润 （元 与每天乘车人数 （人 的关系式： ．
故答案为： ；
（4）把 代入 ，得： ，
解得： ．
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点评】本题考查函数的意义，理解两个变量的变化关系和变化趋势，会用表格、关系式
表示函数，掌握函数的表示方法．理解表格中两个变量的变化关系是解答的关键．
38．（2023春•泊头市期中）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了
耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
0 1 2 3
汽车行驶时间
100 94 88 82
油箱剩余油量
（1）在上述变化过程中，自变量是 汽车行驶时间 ；自变量的函数是 ；
（2）根据上表的数据，请写出 与 的之间的关系式： ；
（3）如果汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行驶了多少小时？
【分析】（1）根据函数的概念与该问题的具体数量关系确定此题结果；
（2）由表格中的数量关系可确定此题的结果；
（3）将 代入（2）题结果进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是汽车行驶时间；自变量的函数是油箱剩余油量，
故答案为：汽车行驶时间，油箱剩余油量；
（2）由题意得，该车每小时耗油 ，
，
故答案为： ；
（3）当 时， ，解得： ，
答：汽车行驶了9小时．
【点评】此题考查了确定和运用实际问题中的函数解析式的能力，关键是能准确理解题目
中的数量关系，并能列式表达．
39．（2023春•陵城区校级月考）一空水池，现需注满水，水池深 ，现以均匀的流量
注水，如下表：
0.7 1.4 2.1 2.8
水的深度
0.5 1 1.5 2
注水时间
由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是 3. 5 ．
【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出关系式，再代入求值即可．
【解答】解：由表格中两个变量的变化关系可知，
，
当 时， ，
故答案为：3.5．
【点评】本题考查函数的表示方法，根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式是解
决问题的关键．
强化训练
一、单选题
1．（22-23八年级下·西藏那曲·期末）当 时，函数 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】把 代入 ，再求出答案即可．
【详解】解：当 时， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数值的知识，属于基础题，注意细心运算是解题的关键．
2．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下图是淇淇在超市购买羊排的销售标签，则在单价、
重量、总价的关系中，常量是（ ）A．单价96元/千克B．重量0.5千克 C．总价48元 D．三个都是常量
【答案】A
【分析】根据常量的意义：保持不变的量称为常量，在这里，单价是常量，其它两个量是
一个量随另一个量的变化而变化的，由此即可解答．
【详解】解：由于重量与总价是一个量随另一个量的变化而变化的，只有单价是不变的，
所以单价96元/千克是常量．
故选：A．
【点睛】本题考查了常量与变量，理解常量与变量的含义是关键．
3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆面积公式 ，下列说法正确的是
（ ）
A．S、 是变量，r是常量 B．S是变量， 、r是常量
C．r是变量，S、 是常量 D．S、r是变量， 是常量
【答案】D
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，
由此即可判断．
【详解】解：A、 是常量， 是变量，故不符合题意；
B、 是变量，故不符合题意；
C、 是变量，故不符合题意；
D、S、r是变量， 是常量，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查常量，变量，解题的关键是掌握常量，变量的定义．
4．（22-23八年级下·海南海口·阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件；
根据二次根式被开方数非负求解即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得 ，
解得： ，
故选：D．
5．（22-23·内蒙古包头·期中）如图所示，在长方形 中， ， ，P是 上
的动点，且不与点C，D重合，设 ，梯形 的面积为y，则y与x之间的关系式
和自变量的取值范围分别是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ；
【答案】A
【分析】根据 可得 ，再根据梯形面积公式代入相应数值计算即可．
【详解】解： ，
，
，
是 上的动点，且不与点C，D重合，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列函数关系式，关键是掌握梯形面积公式．
6．（21-22·陕西咸阳·期末）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费y
（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 …
应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 …
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6
千瓦·时
【答案】D
【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可．
【详解】解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y
是因变量，故选项正确，不符合题意；
B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不
符合题意；
C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意；
D、由表可知：所交电费为2.75元时，用电量为5千瓦时，故选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是
解题关键．
7．（22-23·山东济南·期末）下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别
为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（ ）
红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7
白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式．
【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应
关系，在实际生活中应用非常广泛．
8．（22-23八年级下·山东临沂·期末）声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度
t的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ）
温度 5 10 15
声速 321 324 333 336 339A．在一定范围内，空气温度越高声速越快
B．空气温度每升高 ，声速增加
C．声速v与温度t之间的关系式为
D．当空气温度为 时，声音 可以传播
【答案】D
【分析】观察表数据可得温度越高，声速越快；空气温度每升高 ，声速增加 ；当
空气温度为 时，声速为 ，从而得到声速v与温度t之间的关系式，即可．
【详解】解：A．根据数据表得温度越高，声速越快，说法正确，故本选项不合题意；
B． 根据数据表得：空气温度从 升至 时，声速增加 ；
空气温度从 升至 时，声速增加 ；
空气温度从 升至 时，声速增加 ；
空气温度从 升至 时，声速增加 ；
综上所述，空气温度每升高 ，声速增加 ，说法正确，故本选项不合题意；
C． 根据题意得：空气温度每升高 ，声速增加 ，
当空气温度为 时，声速为 ，
所以声速v与温度t之间的关系式为 ，说法正确，故本选项不合题意；
D．根据数据表得当空气温度为 ，声速为 ，
所以当空气温度为 时，声音 可以传播 ，说法错误，故本选项合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，利用表格数据放映的函数关系对每个选项进行
逐一判断是解题的关键．
9．（21-22八年级下·福建福州·期中）函数 的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．
【详解】∵函数 的图像大致是
，
故选C．
【点睛】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买
东西，然后回家的过程，其中 (分钟)表示时间， (千米)表示小红离家的距离，且小红家、
图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ）
A．小红从家到图书馆用了 分钟，图书馆离小红家有 千米
B．小红在图书馆看书用了 分钟
C．超市离小红家有 千米，小红从超市回家的平均速度是 千米 分钟
D．从图书馆到超市用了 分钟，图书馆离超市有 千米
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键．
根据图象，可得从家到图书馆，图书馆到超市的距离以及相应的时间，根据路程、速度与
时间的关系，可得答案．
【详解】解：由题意得：小红从家到图书馆用了 分钟，图书馆离小红家有 千米，故选项A说法正确，不符合题
意；
小红在图书馆看书用了： 分钟 ，故选项B说法正确，不符合题意；
超市离小红家有 千米，小红从超市回家的平均速度是： 千米 分
钟 ，故选项C说法正确，不符合题意；
从图书馆到超市用了： 分钟 ，图书馆离超市有： 千米 ，故选项D
说法错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．（22-23八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y
都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是
、 、 ．
【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图
象法
【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可．
【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x
叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法．
故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法．
【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本
题的关键．
12．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期中）某市居民用电价格是 元/(千瓦·时)，居民应付电
费为 元，用电量为 千瓦·时，其中常量是 ， 变量是 ．
【答案】 0.58
【分析】根据变量是变化的量，常量是固定不变的量，即可得出结论．
【详解】解：由题意，可知：常量是0.58，变量是 ；
故答案为：0.58；
【点睛】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题
的关键．13．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式
时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，
被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得 ．
故答案为： ．
14．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数 图象上的点的坐标 ．
【答案】
【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为 ，在给出一个合适的x值，代
入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即该函数自变量的取值范围为x≠0，
当 时， ，
∴点（1，0）在该函数图象上．
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对
应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图象上的任意点 都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、
y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点 是否在函数图象上的方法是：将
点 的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
15．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．
（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式 中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
【答案】①②③
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式 中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当 时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题
的关键．
16．（22-23八年级下·吉林白城·期末）某汽车油箱中原有油量为 ，每km的耗油量为
0.07升，油箱中的余油量 （L）与汽车行驶里程数 （km）之间的函数关系式是 （
）．
【答案】
【分析】剩余油量等于存油减去耗油量即可．
【详解】解：油箱剩余油量 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
17．（22-23八年级下·吉林长春·期中）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度
与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的
速度越快；②声音速度 与温度 关系式可以是 ；③温度每升高 ，声音
速度增加 ，其中正确的有 ．
温度（ ）
声速（
）
【答案】 /
【分析】①根据③题③意①和表格信息，运用代入法进行有理数的运算即可求解．
【详解】解：根据题意，随着温度的上升，声速也在增大，故①正确；
当 时， ，故②错误；
从表格信息可知每升高 ，声音速度增加 ，故③正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查根据表格获取信息，代入法求值，理解表格信息，掌握代入法求值，
有理数的运算等知识是解题的关键．
18．（2023·江苏盐城·一模）已知 ，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速
度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止．设点P运动的运动时间为t秒， 的面积S
关于t的函数图象如图所示，则 的边 上的高等于 ．
【答案】 或
【分析】由图象可知， 的长度为 ， ，当点 与点 重合时， 的面
积最大为6，即 的面积为6，求出 边上的高为 ，再分三种情况讨论求解即可．【详解】解：由题意，得：当点 在 上时， 的面积为0，当点 从B→C运动时，
的面积逐渐增大，当点 与点 重合时， 的面积最大，即为 的面积，当
点 从C→A运动时， 的面积逐渐减小，当点 与 重合时， 的面积为0，
∵动点P以每秒钟1个单位长度的速度运动，
∴由图象可知： ， ， ，
∴ ，
设点 到 的距离为 ，
则： ，
∴ ，
①当 或 时，此时 为直角三角形， ，满足题意，
∴当 时， 边上的高即为 的长为：4，
当 时，此时 ，
设 上的高为 ，则： ，
∴ ；
②当 ， 边上的高在三角形外部时，如图，
设 ，则： ，设 ，
则： ，解得： （负值舍掉），
即： ， ，
或：同法可得： ， ，
③当 边上的高在三角形内部时，
或
同②法可得： ， ，或 ， ，
综上， 只能为直角三角形， 或 ，
∴ 的边 上的高等于 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查动点的函数图象问题．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
属于中考填空中常见的压轴题．
三、解答题
19．（22-23八年级下·山西晋城·阶段练习）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中
国空间站正式开讲，新晋“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来了一场精彩
的太空科普课，引发了学生了解科学知识的新热潮．植物生长研究社团通过查阅资料发现
一种树苗栽种时的高度约为 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：
栽种以后的年数
…
年
树苗的高度 厘米 …
(1)此变化过程中________是自变量，________是因变量．
(2)树苗的高度 与栽种以后的年数 的关系式为_________________．(3)当树苗长到 厘米时，求年数 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）根据表格寻找规律：每过一年，树苗的高度增加25cm，从而寻找树苗高度h与栽种
的年数n之间的关系；
（3）根据（2）的关系式，将 代入即可求解．
【详解】（1）解：根据表格可知变化过程中 是自变量， 是因变量；
故答案为： ， ．
（2）解：根据题意和表中的数据可知：树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为：
故答案为： ．
（3）当 时，代入得： ,解得 .
【点睛】主要考查了函数的定义和函数中的求值问题．函数的定义：在一个变化过程中，
有两个变量 ， ，对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数，
叫自变量．把已知的量代入解析式求关于未知量的方程即可．
20．（22-23·河南焦作·期中）为了更好地放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家
去郊游，出发前汽车油箱内有一定量的汽油，行驶过程中油箱中剩余油量 （升）与行驶
时间 （小时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题：
时间 （小时）
油箱剩余油量 （升）
(1)在这个变化中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)汽车行驶前油箱里有___________升汽油，汽车每小时耗油___________升；
(3)请写出 与 的关系式；
(4)当海车行驶 小时后，油箱中还剩余多少升汽油？
【答案】(1)时间 ；油箱剩余油量
(2) ，
(3)(4) 升
【分析】（1）根据函数的定义，即可求解．
（2）读表并找规律可得到结果；
（3）将找出的规律用包含 、 的式子表示出来即可；
（4）汽车行驶 小时代入（2）中即可得出结果．
【详解】（1）解：依题意，时间 是自变量；油箱剩余油量 是因变量，
故答案为：时间 ；油箱剩余油量 ；
（2）解：当 时，汽车有油 升，故行驶前油箱有 升汽油，
观察表发现，每行驶 小时，油箱中的油少 升，故汽车每小时耗油 升；
故答案为： ； ；
（3）解：汽车每小时耗油 升，则 小时耗油 升，
则： ；
（4）当 时，
，
即当汽车行驶 小时后，油箱中剩余油量为 升．
【点睛】本题考查用表格表示函数关系，注意，在实际应用中，还需要考虑字母在实际生
活中的意义．
21．（22-23·河南平顶山·期中）我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方
式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车
以 的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式．
(1)用表格表示：
时间 1 2 3
路程 30 60 90 120 150 180
利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为 时，
行驶的路程为______
(2)用关系式表示：
设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则 ______．
利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当 时，所需
时间 ______ ．
(3)用图象表示：为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右
图，观察图象，并回答下列问题：
①当 时， _____ ．
②图中点A表示的意义是什么？
(4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示
方式的优缺点．
【答案】(1)120
(2)
(3)①150，②行驶时间 时，行驶路程为
(4)详见解析
【分析】（1）根据表格中的数据，即可得出当汽车行驶的时间为 时，行驶的路程；
（2）根据路程和时间的关系式，即可进行解答；
（3）根据表格中的数据和图象，即可得出当 时，s的值，结合图象分析点在A时的
时间和路程即可得出点A表示的意义；
（4）根据函数三种表示方式的优缺点进行解答即可．
【详解】（1）解：由表可得：当汽车行驶的时间为 时，行驶的路程 ；
故答案为：120；
（2）解：根据题意可得： ，
当 ，把 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ；
（3）解：由图可知：当 时， ，
点A表示的意义为：行驶时间 时，行驶路程为 ．故答案为：150，行驶时间 时，行驶路程为 ．，
（4）解：用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累
出部分数据，难以反应全部变化；
用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示；
用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确．
【点睛】本题主要考查了函数的三种表示方式，解题的关键是掌握函数的三种表示方式：
表格，关系式，图象，是解题的关键．
22．（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，
在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中 表示时间， 表示扎
西离家的距离，根据图象回答下列问题：
(1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分；
(2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分；
(3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？
【答案】(1)2.5，15；
(2)1，20；
(3) km/分．
【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间；
（2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，
可得在文具店停留的时间；
（3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时
间，根据路程与时间的关系，可得答案．
【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育
场用了15分钟；（2）由纵坐标看出体育场离文具店 （千米），
由横坐标看出 扎西在文具店停留了 （分）；
故答案为： 1；20；
（3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝
35分钟，
扎西从文具店回家的平均速度是 （千米/分），
答：扎西从文具店回家的平均速度是 千米/分钟．
【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，
就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
23．（22-23八年级下·吉林·期末）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前
滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的
刹车性能，（车速不超过 ）．对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车速v（ ） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s（ ） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是________，关于自变量的函数是________；
(2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：________________；
(3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故．现场测得刹车距离为 ，推测刹车时
车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交
通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时 公
里）
【答案】(1)刹车时车速；刹车距离；
(2)
(3)推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，可得答案；
（3）结合（3）的结论得出可得车速为 ，进而得出答案．【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，关于自变量的函数是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）解：由表格可知，刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，
与 之间的关系式为： ，
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，
，
，
事故发生时，汽车是超速行驶．
答：推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【点睛】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系
是解答本题的关键．
24．（21-22八年级下·福建厦门·期中）小红帮弟弟荡秋千（如图①），秋千离地面的高度
与摆动时间 之间的关系如图②所示．
(1)根据函数的定义，变量 ______（填“是”或者“不是”）关于 的函数，变量 的取值
范围是______．
(2)结合图象回答：
①当 时， 的值是______，它的实际意义是______；
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
【答案】(1)是；
(2)① ；秋千摆动 时，秋千离地面的高度为 ；②【分析】（1）根据图像和函数的定义可以即可得解；
（2）①根据函数图像即可得解；②根据函数图像中的数据即可得解．
【详解】（1）解：由图像可知，对于每一个摆动的时间 ， 都有唯一确定的值与其对应，
∴变量 是关于 的函数，变量 的取值范围是 ，
故答案为：是； ；
（2）（2）①当 时， ，它的意义是：秋千摆动 时，秋千离地面的高度
为 ；
故答案为： ；秋千摆动 时，秋千离地面的高度为 ；
②由图像可知：秋千摆动第二个来回需 ，
∴秋千摆动第二个来回需 ．
【点睛】本题考查函数图像和函数概念，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
25．（22-23八年级下·吉林·期末）已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的
图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，
然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．
根据图象回答下列问题：
(1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min；
(2)体育场离文具店__________km；
(3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min；
(4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？
【答案】(1) ，15；
(2)1；
(3)15，20；
(4) ．【分析】（1）根据图像直接作答即可．
（2）根据图像可知体育场离张强家的距离和文具店离张强家的距离，由此可算出体育场离
文具店的距离．
（3）根据图像直接作答即可．
（4）根据图像可知文具店离张强家的距离和张强从文具店到家所用的时间，由此可计算出
张强从文具店回家的平均速度．
【详解】（1）解：根据图像可知体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了15min．
故答案为： ，15．
（2）解：根据图像可知体育场离张强家的距离为2.5km，
文具店离张强家的距离为 ，
∴体育场离文具店的距离 ．
故答案为：1．
（3）解：根据图像可知张强在体育场锻炼的时间为 ，
在文具店停留的时间为 ．
故答案为：15，20．
（4）解：根据图像可知文具店离张强家的距离 ，
张强从文具店到家所用的时间为 ，
∴张强从文具店回家的平均速度为 ．
答：张强从文具店回家的平均速度是 km/min．
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，正确读懂图像信息，熟练掌握路
程、速度、时间的关系是解题的关键．
26．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在矩形 中， ， ，延长
到点E，使 ，连接 ．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线
向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．(1) ________；
(2)连接 ，当四边形 是菱形时，求菱形 的周长；
(3)设以A，B，P，D为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)直接写出点P到四边形 相邻两边距离相等时t的值．
【答案】(1)10
(2)40
(3)
(4) 或3或
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的性质：四边相等，可得答案；
（3）分类讨论，当 和 时，分别计算梯形的面积即可；
（4）当点P在 上，若点P到 、 的距离相等时，则 ；当点P到 、
距离相等时，则 ，利用 证明 ，得 ；当点P在
上时，若P到 、 距离相等时，则 ，利用面积法求出 ，进而解决问
题．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
故答案为：10；
（2）解：∵四边形 是菱形，且 ，
∴菱形 的周长为 ；
（3）解：当 时，由题意知， ，∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
综上所述： ；
（4）解：当点P在 上，若点P到 、 的距离相等时，则 ，
∴ ；
当点P到 、 距离相等时，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 上时，若P到 、 距离相等时，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或3或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，全等三
角形的判定与性质，三角形的面积等知识，运用分类思想是解题本题的关键．
