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专题4.8 线段大小比较（知识讲解）
【学习目标】
1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；
2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；
3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；
4、理解中点定义，并进行相关的计算。
【要点梳理】
【知识点一】线段大小比较
比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一
个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
特别说明：线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
【知识点二】尺规作图
【定义】仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图
特别说明：
（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个
点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【方法】作一条线段等于已知线段
“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
【方法一】尺规作图：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在
射线AC上截取AB＝a，则线段AB为所求；这是考试中常考点。
【方法二】度量作图：用刻度尺作一条线段等于已知线
段．例 如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度
的线段．
特别说明：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.常见的线段和差倍分作图有以下几种：
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一条线段等于已知线段的几倍或几分之一；
（3）作一条线段等于已知线段的和或差。
【知识点三】线段的和与差
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC; BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度
之和等于AB长度。
【知识点四】线段的中点
【定义】线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图
所示，点C是线段AB的中点，则 ，或AB＝2AC＝2BC．
特别说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【典型例题】
知识点一、线段的和与差
1．如图，点 在线段 上.按要求完成下列各小题.
(1)尺规作图：在图中的线段 的延长线上找一点 ，使得 ；
(2)在（1）的基础上，图中共有______条线段，比较线段大小： ______ （填
“>”“<”或“=”）；
(3)在（1）的基础上，若 ， ，求线段 的长度.
【答案】(1)作图见分析(2)6； (3)
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的定义，判断即可；
（3）利用线段和差定义解决问题即可．（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：图中共有6条线段，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案
为：6，＝；
（3）解：由（1）知AB＝CD．因为BC＝2AB，所以BC＝2CD，所以BD＝BC+CD＝
3CD＝6，所以CD＝2＝AB，所以AD＝2+6＝8．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是
理解直线，射线，线段的定义．
举一反三：
【变式1】如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
(1)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC＝ AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的
距离是16cm，求AD的长．
【答案】(1)①=；②15
(2)24cm
【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；
②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；
（2）根据题意画出图形，设 ， ， ，根据线段的和差关系求
得 ，根据题意列出方程进而即可求解．
解：(1)①∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
故答案为：=；
②∵BC= AC，AC=12cm，
∴BC=9cm，∴AB=AC-BC=3cm，
∵AB=CD，
∴CD=3cm，
∴AD=AC+CD=15cm；
故答案为：15；
(2)如图， 线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，
设 ， ，
AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，
，
解得 ，
cm．
【点拨】本题考查了线段的和差计算，线段的中点的计算，数形结合是解题的关键．
【变式2】已知线段 ，点 在线段 上，且 ．
(1)求线段 ， 的长；
(2)点 是线段 上的动点且不与点 ， ， 重合，线段 的中点为 ，设
①请用含有 的代数式表示线段 ， 的长；
②若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称 ， ， 三点
为“共谐点”，请直接写出使得 ， ， 三点为“共谐点”的 的值．
【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm
(2)① 或 ， ；②6或12【分析】（1）由 可得 ， ，从而可求得AC、CB的
长；
（2）①分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；
②分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值．
解：(1)∵ ，点 在线段 上，且
∴ ，
(2)∵M为线段 的中点
∴
①当点P在线段AC上时
，
当点P在线段CB上时
，
②当点P在线段AC上时，则MP=PC
∴
解得：m=6
当点P在线段CB上时，则MC=PC
∴
解得：m=12
综上所述，m=6或12
【点拨】本题考查了求线段长度，线段中点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意
义、线段的和差是解题的关键．注意（2）小题要分类讨论．
知识点二、线段中点
2．如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成
，求线段AC的长度.【答案】8cm
【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段
AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB AB 12=3x，可求出x的值，又
AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．
解：设MC=xcm，则CB=2xcm，
∴MB=3x．
∵M点是线段AB的中点，AB=12cm，
∴AM=MB AB 12=3x，
∴x=2，而AC=AM+MC，
∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．
故线段AC的长度为8㎝．
【点拨】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方
程思想的运用．
举一反三：
【变式1】如图，已知点 在同一直线上， 分别是 的中点．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的长；
（3）若 ，求 的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）线段 的长度等于线段 的一半，
与 点的位置无关.【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；
（2）先利用含 的代数式 再利用中点的含义，用含 的代数式 再利用
线段的差可得答案；
（3）先利用含 的代数式 再利用中点的含义，用含 的代数式 再
利用线段的差可得答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.
解：（1） ， 分别是 的中点，
（2） ， 分别是 的中点，
（3） ， 分别是 的中点，
（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段 的长度等于线段 的一半，与 点
的位置无关.
【点拨】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及
线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.
【变式2】如图，已知点 ， 在线段 上，且 ， ，
若点 是线段 的中点，求线段 的长．
【答案】【分析】根据 可设 ， ， ，则可得到
，易求得 的长，从而得到 的长度，由 是线段 的中点，
得DM的长度，则代入 即可求解．
解：设 ， ，
由题意： ，
解得 ，
， ， ，
．
是线段 中点，
．
．
【点拨】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握中点的性质和线段的和差关系为解
题关键．
知识点三、尺规作图-作线段
3．作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．
（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见分析
【分析】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求
线段．
解：如图所示AC=2a﹣b，
【点拨】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．
举一反三：
【变式1】如图，已知线段 ，用尺规作一条线段 ，使它等于 ．（保
留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见分析
【分析】利用尺规画线段的方法去作图．
解：如图，先用圆规“量出”线段a的长度，画出两段a，再用圆规“量出”线段b的
长度，接着刚才的线段画出线段b，就得到线段 ，再“量出”线段c，圆规一端抵在
线段最左端画一个弧，得到线段c，此时图上的线段AB就等于 ．
【点拨】本题考查尺规画线段以及线段的和差，解题的关键是掌握尺规作图的方法．
【变式2】尺规作图：如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a﹣b．（保留
作图痕迹）
【答案】见分析
【分析】根据题意可先画出一条线段等于2a,然后再在这条线段上截去b,剩余线段即为
所求线段.
解：如图,线段AD即为所求【点拨】本题主要考查有关线段作图方法,根据线段基本作图方法:相加在原来线段延长
线上画出另一条线段,相减在较长的线段上截去,解决本题的关键是要熟练掌握线段基本作图
方法.
知识点四、线段的应用
4．如图，点 在线段 上， 是线段 的中点．
（1）在线段 上，求作点 ，使 ．
（要求：尺规作图，不写作法保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下， ，
①若 ，求 的长；
②若点 在线段 上，且 ，请你判断点 是哪条线段的中点，并说
明理由．
【答案】（1）见详解；（2）① ②E是线段CD的中点，理由见详解
【分析】（1）以C为圆心AC为半径画弧交CO于点F, 再以F为圆心AC为半径画弧
交CO于点E,则E点即为所求；
（2）①先根据 是线段 的中点得出 ，然后再根据 ，
得出 ，则 ，则AC可求；
②根据 可以推出 ，即 则说明E是线段CD的
中点．
解：（1）如图（2）①∵ 是线段 的中点
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴
②E是线段CD的中点，理由如下：
∵
∴
∵
∴
即
∵
∴
∴
即
∴E是线段CD的中点
【点拨】本题主要考查线段的尺规作图及线段的和与差，表示出线段的和与差是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】已知:如图，点 为线段 的中点，点 为线段 上的点，点 为线段
的中点，（1）若线段 ， ， ，求 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段 的长；
（3）如图2，若 ， ，求线段 的长.
【答案】(1)20；(2)6；(3)5.1.
【分析】(1)因为 ，根据绝对值和平方的非负性可以得出 ，
即可求出 的值.
(2)由(1)知，AB=16，CE=4，点 为线段 的中点，则能求出AC,AE, 点 为线段
的中点,即可求出DE.
(3)因为 ，设BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解.
解：(1)∵
∴ ，
， ， .
(2) 由(1)知： ，
∵点 为线段 的中点
∴
又∵点 为线段 的中点
∴ .
∴
(3)由题知：设BE= ，则AD=DE =2x【点拨】本题主要考查的是线段中点的性质，正确的计算和熟练地运用数形结合的思
想推出线段之间的关系.
【变式2】【操作】结合图形，完成以下填空：
（1）点 在线段AB上，如图1，图中有______条线段；
（2）点 ， 在线段AB上，如图2，图中有______条线段；
（3）点 ， ， 在线段AB上，如图3，图中有______条线段；
【猜想】点 ， ， ，……， 在线段AB上，如图4，图中有___________条线
段（用含n的代数式表示）
【应用】春节期间，10位同学之间互通电话（每两位同学之间只通一次电话）祝福，
求10位同学之间通电话的次数．
【答案】操作：（1）3；（2）6；（3）10；猜想： ；应用：45．
【分析】操作：（1）直接由图即可求解；
（2）直接由图即可求解；
（3）直接由图即可求解；
猜想：总结规律即可求解；
应用：当n=8时，代入求值即可．
解：操作：（1）点 在线段AB上，如图1，图中有3条线段；
（2）点 ， 在线段AB上，如图2，图中有6条线段；
（3）点 ， ， 在线段AB上，如图3，图中有10条线段；
猜想：点 ， ， ，……， 在线段AB上，如图4，图中有 条
线段；应用： （次）．
答：10位同学之间通电话的次数为45．
【点拨】此题主要考查从特殊到一般的数学思想，总结出规律是解题关键．
