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专题41 含绝对值的一次函数
1．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题：
（1）完成下列步骤，画出函数 的图象；
①列表、填空：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 1 0 2 …
②描点；
③连线．
（2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质．
【答案】（1）①2，1；②见解析；③见解析；（2）当 时，y随x的增大而增大，或当
时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
【分析】（1）①先根据绝对值的性质，求出当 时， ，当 时， ；
②根据①所求和表格的已知数据在坐标系中描点即可；
③根据②所描的点，连线即可；（2）从函数的增减性，最值出发，写出相应的性质即可．
【详解】解：（1）① ；
当 时， ，当 时， ，
故答案为：2，1；
②和③如右图所示；
（2）由图象可得，
当 时，y随x的增大而增大，或当 时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了画函数图像，函数图像的性质，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
2．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题．
(1)按照下列步骤，画出函数 的图象；
①列表；
0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3 4
②描点；
③连线．(2)观察图象，填空；
①当 ___________时， 随 的增大而减小； ___________时， 随 的增大而增大；
②此函数有最 ___________值（填“大”或“小” ），其值是 ___________；
(3)根据图象，不等式 的解集为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ，②小，0
(3) 或
【分析】（1）按照画图步骤，即可画出函数 的图象；
（2）①观察图象即可得当 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大；
②此函数有最小值（填“大”或“小” ，其值是0；
（3）根据图象，即可求出不等式 的解集．
【详解】（1）解：如图所示按照画图步骤，如图所示即为函数 的图象；
（2）①当 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大；
②此函数有最小值，其值是0；
故答案为： ， ，小，0；
（3）根据图象，不等式 的解集为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了画一次函数图象，根据函数图象获取信息，根据图象求不等式的解集，数形
结合是解题的关键．
3．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 的图象；
①列表填空：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ____ 2 1 0 1 ____ 3 …②描点、连线，画出 的图象；
(2)结合所画函数图象，写出 两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程 的近似解．
【答案】(1)①列表见解析；②图象见解析
(2)①增减性： 时， 随着 的增大而减小， 时， 随着 的增大而增大；②对称性：图
象关于 轴对称；③函数的最小值为 （答案不唯一）
(3) 和
【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可；②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描
出各点，即可绘制函数图象；
（2）可从函数的增减性、对称性、最值等方面分析；
（3）根据函数图象得出方程的解即可.
【详解】（1）解：（1）①填表：
3 2 1 0 1 2 3
②画函数图象如图：
（2）①增减性： 时， 随着 的增大而减小， 时， 随着 的增大而增大；②对称性：
图象关于 轴对称；③函数的最小值为 ；
（3）方程 ，化简得 ，
即求两函数 ， 交点的横坐标，
由图象可得：两函数有两个交点，即方程 有两个解，
分别为 和 .
【点睛】此题考查的是描点法绘制函数图象及根据函数的图象描述函数的性质，函数图象交点，
掌握描点法绘制函数图象注意自变量及函数的对应关系是解题关键．
4．某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
… …
x 0 1 2 3 4
… …
… …
y m n
… …
其中， ___________， ___________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．(3)观察这个函数图象，写出它的两条性质：①___________；②___________．
(4)请根据函数图象，直接写出当方程 有解时，m的取值范围___________．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析；
(3)当 时，y随x的增大而减小；②当 时，y取最大值 ；
(4) ．
【分析】（1）分别求出 和 时对应的y值即可；
（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；
（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；
（4）根据函数 的最大值为 得出关于m的不等式，解不等式可得答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：如图：
（3）解：由函数图象得：①当 时，y随x的增大而减小；②当 时，y取最大值 ；
故答案为：当 时，y随x的增大而减小；当 时，y取最大值 ；
（4）解：由函数图象可得：函数 的最大值为 ，
若方程 有解，则 ，
解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了函数图象和性质的探究，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
5．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题
时，对函数 的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … m 0 n 2 3 …
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔
画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程 的解是 ____________；
③不等式 的解集为________．【答案】(1)-1，1
(2)见解析
(3)①>-1，②4或-6，③-5-1时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为4或-6时，y=2；
③解不等式|x+1|<4的结果为-5-1，4或-6，-5-1时，当自变量每扩大1时，函数值对应增加1，故b=1，
故答案为：-1，1；
②如图所示，函数的最小值为-3；
故答案为-3；
（2）
①由图象知，A（-3，-1），B（3，1），
∴方程组 的解为 ， ；
故答案为： ， ；
②由图象知，不等式 的解集为-3＜x＜3．
故答案为：-3＜x＜3．
【点睛】此题考查了画函数图象，列表法表示函数关系，二元一次方程组与一次函数图象交点问
题，一元一次不等式与函数图象的关系，正确理解表格得到函数图象是解题的关键．
18．有这样一个问题：探究函数 的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数 的图像与性质进行了探究．
(1)①函数 的自变量x的取值范围是_____________；
②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或
“＝”）；
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … …
(3)函数 和函数 的图像如图所示，观察函数图像可发现：
① 的图像向___________平移________个单位长度得到 ， 的图
像向___________平移________个单位长度得到 ；
②当 时，x＝_____________；
③观察函数 的图像，写出该图像的一条性质．
【答案】(1)①全体实数；②＞；
(2)见详解；(3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【详解】（1）解：①函数 的自变量x的取值范围全体实数；
故答案为：全体实数；
②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式 得
， ，
∴ ；
故答案为：＞；
（2）解：补全表格得
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … -9 -5 -1 1 -1 -5 -9 …
在平面直角坐标系画出函数图像如图：
（3）（3）观察函数图像可发现：
① 的图像向上平移1个单位长度得到 ， 的图像向右平移1个单
位长度得到 ；故答案为：上，1，右，1；
②当 时，x＝-0.5；
故答案为：-0.5；
③观察函数 的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函
数性质是解题关键．
19．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、
利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数 的图象和性质的部分过程，
请按要求完成下列问题．
(1)列表：y与x的部分对应值如下表，则 ______， ______；
x … 0 1 2 3 …
y … m 0 1 2 1 n …
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
(3)结合图象，写一条函数 的性质：________________；
(4)根据函数图象填空：
①方程 有______个解；②若关于x的方程 无解，则a的取值范围是______．
【答案】(1)-1，0
(2)见解析
(3)函数图象关于y轴对称；（其他答案合理即可）
(4)① 1；② ．
【分析】（1）将 和 分别代入 ，即可求出m和n的值；
（2）根据描点法即可画出图象；
（3）结合图象，写出其一条性质即可；
（4）①结合图象，判断直线 ，与 的图象的交点个数即可；②结合图象，判断直线
，与 的图象没有交点时的a的取值范围即可．
（1）
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ = -1， = 0 ．
故答案为：-1，0；
（2）
函数图象如下：
（3）
结合图象可知函数图象关于y轴对称，
故答案为：函数图象关于y轴对称；（其他答案合理即可）
（4）①根据图象可知直线 ，与 的图象只有一个交点，
∴方程 有1个解；
②若关于x的方程 无解，则直线 ，与 的图象没有交点，
即 即可．
故答案为：1， ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解
题关键．
20．小慧根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质进行了探究，下面是小慧的探究
过程，请补充完整．
（1）函数y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取 ；
（2）列表，找出y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 4 3 2 1 2 3 …
若A（8，8），B（m，8）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函
数的图象，根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ；
②已知直线y＝ x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象交于C，D两点，当y≥y时x的取值范围是
1 1
．
【答案】（1）任意实数；（2）-6；（3）①1，②﹣ ≤x≤6．
【分析】（1）根据函数的定义可以确定y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取任意实数；（2）把y=8代入=|x-1|+1，即可求出m的值；
（3）①画出该函数的图象即可得到函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出函数y = x+3
1
与函数y=|x-1|+1的图象，根据图象即可求出y ≥y时x的取值范围．
1
【详解】（1）根据函数的定义可以确定y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取任意实数；
（2）把y＝8代入＝|x﹣1|+1，得8＝|x﹣1|+1，
解得x＝﹣6或8，
∵A（8，8），B（m，8）为该函数图象上不同的两点，
∴m＝﹣6．
故答案为﹣6；
（3）该函数的图象如图：
①该函数的最小值为1；
故答案为1；
②在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象，
1联立方程组：
解得： 或
∴当y≥y时x的取值范围是﹣ ≤x≤6．
1
故答案为﹣ ≤x≤6．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想，
正确画出函数的图象是解题的关键．
