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专题41 含绝对值的一次函数
1．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题：
（1）完成下列步骤，画出函数 的图象；
①列表、填空：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 1 0 2 …
②描点；
③连线．
（2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质．
【答案】（1）①2，1；②见解析；③见解析；（2）当 时，y随x的增大而增大，或当
时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
【分析】（1）①先根据绝对值的性质，求出当 时， ，当 时， ；
②根据①所求和表格的已知数据在坐标系中描点即可；
③根据②所描的点，连线即可；（2）从函数的增减性，最值出发，写出相应的性质即可．
【详解】解：（1）① ；
当 时， ，当 时， ，
故答案为：2，1；
②和③如右图所示；
（2）由图象可得，
当 时，y随x的增大而增大，或当 时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了画函数图像，函数图像的性质，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
2．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题．
(1)按照下列步骤，画出函数 的图象；
①列表；
0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3 4
②描点；
③连线．(2)观察图象，填空；
①当 ___________时， 随 的增大而减小； ___________时， 随 的增大而增大；
②此函数有最 ___________值（填“大”或“小” ），其值是 ___________；
(3)根据图象，不等式 的解集为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ，②小，0
(3) 或
【分析】（1）按照画图步骤，即可画出函数 的图象；
（2）①观察图象即可得当 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大；
②此函数有最小值（填“大”或“小” ，其值是0；
（3）根据图象，即可求出不等式 的解集．
【详解】（1）解：如图所示按照画图步骤，如图所示即为函数 的图象；
（2）①当 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大；
②此函数有最小值，其值是0；
故答案为： ， ，小，0；
（3）根据图象，不等式 的解集为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了画一次函数图象，根据函数图象获取信息，根据图象求不等式的解集，数形
结合是解题的关键．
3．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 的图象；
①列表填空：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ____ 2 1 0 1 ____ 3 …②描点、连线，画出 的图象；
(2)结合所画函数图象，写出 两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程 的近似解．
【答案】(1)①列表见解析；②图象见解析
(2)①增减性： 时， 随着 的增大而减小， 时， 随着 的增大而增大；②对称性：图
象关于 轴对称；③函数的最小值为 （答案不唯一）
(3) 和
【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可；②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描
出各点，即可绘制函数图象；
（2）可从函数的增减性、对称性、最值等方面分析；
（3）根据函数图象得出方程的解即可.
【详解】（1）解：（1）①填表：
3 2 1 0 1 2 3
②画函数图象如图：
（2）①增减性： 时， 随着 的增大而减小， 时， 随着 的增大而增大；②对称性：
图象关于 轴对称；③函数的最小值为 ；
（3）方程 ，化简得 ，
即求两函数 ， 交点的横坐标，
由图象可得：两函数有两个交点，即方程 有两个解，
分别为 和 .
【点睛】此题考查的是描点法绘制函数图象及根据函数的图象描述函数的性质，函数图象交点，
掌握描点法绘制函数图象注意自变量及函数的对应关系是解题关键．
4．某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
… …
x 0 1 2 3 4
… …
… …
y m n
… …
其中， ___________， ___________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．(3)观察这个函数图象，写出它的两条性质：①___________；②___________．
(4)请根据函数图象，直接写出当方程 有解时，m的取值范围___________．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析；
(3)当 时，y随x的增大而减小；②当 时，y取最大值 ；
(4) ．
【分析】（1）分别求出 和 时对应的y值即可；
（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；
（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；
（4）根据函数 的最大值为 得出关于m的不等式，解不等式可得答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：如图：
（3）解：由函数图象得：①当 时，y随x的增大而减小；②当 时，y取最大值 ；
故答案为：当 时，y随x的增大而减小；当 时，y取最大值 ；
（4）解：由函数图象可得：函数 的最大值为 ，
若方程 有解，则 ，
解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了函数图象和性质的探究，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
5．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题
时，对函数 的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … m 0 n 2 3 …
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔
画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程 的解是 ____________；
③不等式 的解集为________．【答案】(1)-1，1
(2)见解析
(3)①>-1，②4或-6，③-5<x<3
【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案；
（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；
（3）根据函数图像和性质解决．
（1）
解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1.
故答案为：-1，1．
（2）
函数图像如图所示，
（3）
①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为4或-6时，y=2；
③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3．
故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求
法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键．
6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——
运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数 的图象与性质，探
究过程如下．请补充完整．
(1)列表：
… -1 0 1 2 3 4 …
… -2 -3 -4 -2 -1 …
请根据表格中的信息，可得 __________， __________．
(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
②若点 ， 在函数图象上，且 ，观察图像写出 、 的大小关系．
并说明理由．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于 的方程 有且只有一个正数解和一个
负数解，则满足条件的 取值范围是___________．
【答案】(1) ，
(2)①图像见解析；② ，理由见解析
(3)【分析】(1)将点(0,-3)代入 中即可求出a的值，再将x=2代入 中即可求出b
的值；
(2)①在坐标系中直接描点、连线画出图形即可；
②当自变量 时，由函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越
小，由此即可判断；
(3)在同一坐标系中画出 和 的图像，其交点的横坐标即为对应的方程
的解，由此即可求解．
（1）
解：将点(0,-3)代入 中得到：
，
解得 ；
再将点(2，b)代入 中得到：
，
解得 ．
（2）
解：①函数 图像如下所示：② ，理由如下：
观察图像可知，函数 的对称轴为 ，
函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越小，
∵ ，
∴ ．
（3）
解：在同一坐标系中画出 和 的图像，如下图所示：
∵方程 有且只有一个正数解和一个负数解，
∴ 和 的图像，其交点的横坐标即为对应的方程 的解，且
交点横坐标必须有一个为正数，另一个为负数，
显然，函数 如果是上述图中①所示时，不满足题意，此时函数经过点(0,-3)，
∴m=-3，
如果是上述图中②或③时满足题意，
故将①中直线 往上平移即可，
∴ 取值范围是： ．
【点睛】本题借助研究函数的一般方法考查一次函数的图象、性质及作图，解答本题的关键是明
确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．
小红对函数 的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
y
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
y
函数图像如下图所示：
（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；
观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线 与函数 只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像
与性质．
8．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探
究过程如下，请补充完整．（1）如图，在平面直角坐标系 中，请同学们自己列表并画出函数图象；
（2）根据函数图象，写出该函数的两条性质：
①____________
②_____________
（3）若关于 的方程 有两个互不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】（1）见详解；（2）①当x≤-1时，y随x的增大而减小，当x≥-1时，y随x的增大而增大，
②当x=-1时，y =-2；（3）b＞-2
有最小值
【分析】（1）先列表，再描点，连线，即可；
（2）根据函数图像，写出两条函数的性质，即可；
（3）关于 的方程 的解的个数等价于函数 的图像与函数y=b的图像有
两个交点个数，进而即可求解．
【详解】（1）列表，描点，画出图像如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 4 1 -2 1 4 …（2）由函数的图像可得：当x≤-1时，y随x的增大而减小，当x≥-1时，y随x的增大而增大；当
x=-1时，y =-2，
有最小值
故答案是：①当x≤-1时，y随x的增大而减小，当x≥-1时，y随x的增大而增大，
②当x=-1时，y =-2；
有最小值
（3）∵当b＞-2时，函数 的图像与函数y=b的图像有两个交点，
∴当b＞-2时，关于 的方程 有两个互不相等的实数根，即 的取值范围是：b＞-2，
故答案是：b＞-2．
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，关键是画出函数图像，掌握函数图像的交点个数与方
程的根的个数关系，是解题的关键．
9．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，画出函数 的图象：
①列表填空：
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
②描点、连线，画出 的图象：（2）结合所画函数图象，写出 两条不同类型的性质；
（3）结合所画函数图象，当 ________时， ．
【答案】（1）①3，2，1，0，1，2，3；②画图见解析；（2）①当 时，y随x增大而减小，
当 时，y随x增大而增大，②图像关于 轴对称，③函数的最小值为0；（3）0或2．
【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可，②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描
出各点，绘制函数图像．
（2）从函数的增减性、对称性、最值等方面进行分析．
（3）根据函数图像结合绝对值的意义，计算得出x的值．
【详解】解：（1）①列表填空：
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 3 2 1 0 1 2 3 …
故答案为：3，2，1，0，1，2，3；
②画函数图像如图：
（2）①当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大，②图像关于直线 轴对
称，③函数的最小值为0；（3） ，去绝对值可得：
解得：
结合图像， 是 的两个解．
【点睛】本题重点考查描点法绘制函数图像及根据函数图像描述函数性质，去绝对值符号时结合
函数图像是解题关键．
10．已知函数 ，且当 时 ；请对该函数及其图像进行如下探究：
(1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为___________；
(2)根据解折式，求出如表的m，n的值；
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
y … 3 2.5 2 1.5 0 m n 2.5 3 …
___________， ___________．
(3)根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图像；
(4)写出函数图像一条性质___________；
(5)请根据函数图像写出当 时，x的取值范围．【答案】(1)
(2) ，2
(3)见解析
(4)当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大
(5)
【分析】（1）把 ， 代入 求得k即可解答；
（2）求当 时，当 时的函数值即可；
（3）根据题意画出函数的图像即可；
（4）根据函数的图像即可得到结论；
（5）根据函数的图像即可得到结论．
【详解】（1）解：把 ， 代入
得： ，解得： ，
∴函数的解析式为： ，
故答案为： ；
（2）解：当 时， ，当 时， ；
故答案为： ，2；
（3）解：如图所示；根据列表描点、连线即可，同时在同一坐标系内画 的图像，
（4）解：当 时，y随x的增大而减小，
当 时，y随x的增大而增大；
故答案为：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大；
（5）解：由图像知，当 时， ．
【点睛】本题主要考了画函数的图像以、函数图像的性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的
关键．
11．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数 的图象和性质，并解决问题．
(1)根据函数数表达式，填写下表：
______， ______．
(2)利用（1）中表格画出函数 的图象．(3)观察图象，当 ______时， 随 的增大而减小．
(4)利用图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据函数 ，可以计算出当 和 对应的函数值，从而可以将表格补
充完整；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象，可以直接写出 随 的增大而减小时 的取值范围；
（4）根据函数图象，可以直接写出不等式 的解集．
【详解】（1）解：∵
∴当 时， ，当 时， ；
故答案为： ， ；
（2）函数图象如图所示；（3）由图象可得，
当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ；
（4）画出函数 的图象，
由图象可得，不等式 的解集为 ．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
12．小颖根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究
过程，请你补充完整．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …… 0 1 0 …
① ______；
②若 ， 为该函数图象上不同的两点，则 ______．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)根据函数图象可得：
①该函数的最大值为______；
②观察函数 的图象，写出该图象的两条性质：______，______；
③已知直线 与函数 的图象相交，则当 时x的取值范围是______．
【答案】(1)① ；② ；
(2)见解析；
(3)①1；②该函数的图象是轴对称图形；当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x
的增大而减小（答案不唯一）；③ ．
【分析】（1）①把 代入 进行计算即可；
②把 代入 进行计算即可；
（2）根据表格中数据画出函数图象即可；
（3）①根据函数的图象即可得到结论；
②根据函数的图象即可得到性质；
③画出直线 的图象，通过数形结合进行求解即可．【详解】（1）解：①当 时， ，即 ，
故答案为： ；
②把 代入 得 ，
解得： ， ，
∵ ， 为该函数图象上不同的两点，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：该函数的图象如图所示，
（3）解：根据函数图象可知：
①该函数的最大值为1，
故答案为：1；
②性质：该函数的图象是轴对称图形；当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x的
增大而减小；
③如图，直线 与 的图象相交于点 ， ，
由函数图象得：当 时， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了画函数图象及函数图象的性质，熟练掌握函数图象的画法及掌握数形结
合的数学思想是解决本题的关键．
13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质
——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学
的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：在 中，下表是 与 的几组对应值．
… 0 1 2 3 …
… 8 4 2 6 8 …
(1)求 、 的值；
(2) ______， ______；
(3)在给出的平面直角坐标系 中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，
画出该函数的图象．根据函数图象可得：
①该函数的最小值为______；
②写出该函数的另一条性质____________；
(4)已知直线 与函数 的图象交于两点，则当 时， 的取值范围为______．
【答案】(1) ， ；
(2)6，4；
(3)画出该函数的图象如图所示；①2；②当 时， 随 的增大而增大；
(4)
【分析】（1）观察表格，函数图象经过点 ， ，将这两点的坐标分别代入 ，
利用待定系数法即可求出 、 得值；
（2）把 代入（1）中所求的解析式，即可求出 ，将 代入（1）中所求的解析式，即可
求出 ；
（3）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象．①函数图象的最低点的纵坐标即为该函数的最小值；
②根据图象即可写出该函数的另一条性质；
（4）在同一平面直角坐标系中画出直线 与函数 的图象，找出直线 落
在 的图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）观察表格，函数图象经过点 ， ，
将 和点 代入 中，
，
解得 ， ，
（2）∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ．
故答案为：6，4；
（3）)该函数图像如下所示：
①根据图象可知，该函数的最小值为2．
故答案为：2；
②当 时， 随 的增大而增大；
（4）在同一平面直角坐标系中画出直线 与函数 的图象，如下图所示：把 代入 ，得 ，解得 ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
根据图象可知，当 时，直线 落在 的图象上方，
所以当 时， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一
次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次
函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利
用数形结合是解题的关键．
14．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数
及其图像进行如下探究．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
… …
… …
其中 ， ．
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：
．(3)当 时， 的取值范围为___________．
【答案】(1) ，
(2)图见解析，对称轴是直线
(3) 或
【分析】（1）根据表格，将自变量的值代入解析式计算即可求出答案；
（2）根据函数解析式绘制函数，即可求出答案；
（3）题目中有绝对值，需要分类讨论，根据绝对值的性质，不等式的性质，即可求出 的取值范
围．
【详解】（1）解：将 代入解析式得， ，即 ；
将 代入解析式得， ，即 ．
故答案是： ， ．
（2）解：函数 的图像如下，
如图所示，当 时，函数值 随自变量 值增大而增大；当 时，函数值 随自变量 值增大
而减小；函数关于 对称．
故答案是：当 时，函数值 随自变量 值增大而增大或当 ，函数值 随自变量 值增大
而减小或函数的对称轴是 ．（3）解：如图所示，
，
当 时，原式变形得，
，符合题意；
当 时，原式变形得，
，不等式不成立，不符合题意；
当 时，原式变形得，
，符合题意；
故答案是： 或 ．【点睛】本题主要考查函数的自变量与函数值的关系，结合图像和函数的性质即可求出答案．理
解函数的性质，图像的变化规律是解题的关键．
15．小颖根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小颍的探究
过程，请你补充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 k …
① __________；
②若 为该函数图象上不同的两点，则 ___________；
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)根据函数图象可得：该的数的最大值为_____________；观察函数 的图象，写出该
图象的一条性质：_____________________；(4)已知直线 与函数 的图象相交，则当 时x的取值范围是__________．
【答案】(1)① ，② ；
(2)见解析
(3)1，该函数的图象是轴对称图形；
(4)
【分析】（1）①把 代入 即可得到结论；
②把 代入 得方程，即可得到结论；
（2）根据题意画出函数图象即可；
（3）根据函数的图象即可得到结论
（4）根据函数的图象，利用数形结合的思想即可得到结论．
【详解】（1）解：①把 代入
解得 ，
故答案为： ；
②把 代入 得， ，
解得： 或 ，
， 为该函数图象上不同的两点，
，
故答案为： ；
（2）解：该函数的图象如图所示，
（3）解：根据函数的图象知，该函数的最大值为1；
性质：该函数的图象是轴对称图形；
故答案为：1，该函数的图象是轴对称图形；（4）解：如图，当 时 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，画出相应的函数
图象，利用数形结合的思想解答．
16．九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图
象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 2 3 m …
描点：根据表中各组对应值 ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而减小；
② 关于y轴对称；
③ 有最小值1．
(3)在上图中，若直线 交函数 的图象于A，B两点（A在B左侧），记 为C点．则 ．
【答案】(1)4，见解析
(2)②③
(3)3
【分析】（1）求出 时的函数值即可；利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象即可得出结论；
（3）结合函数图象确定点A、B的坐标，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，故答案为：4；
描点，连线，如图所示，
（2）通过观察图象可得出：①当 时，函数值y随x的增大而减小；当 时，函数值y随x
的增大而减大；故①错误；② 关于y轴对称；故②正确；③ 有最小值1，故③正
确．
故答案为②③
（3）根据图象得，
又
所以，故答案为：3
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键
是理解题意，利用数形结合的思想．
17．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究
过程如下：
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 a -2 -3 -2 -1 0 b 2 …
(1)①表中a的值为 ，b的值为 ；
②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小
到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ；
(2)在函数 的图象所在坐标系中，作 的图象，交 的图象于点A，B（A
在B的左侧），并观察图象，直接写出下列结果：
①方程组 的解为 ；
②不等式 的解集为 ．
【答案】(1)①-1，1；②详见解析，-3
(2)① ， ；②-3＜x＜3
【分析】（1）①根据表格的数值变化解答即可；②利用描点法画函数图象，根据函数图象得到最值；
（2）①画出图象，方程组的解即为函数图象的交点，根据图象解答即可；
②不等式的解集即为函数 的图象在 的图象的下方，根据图象直接确定解集．
（1）
①由表格知，当x=-2时与x=0时的函数值都为-2；x=-4与x=2时的函数值都为0，
故x=-3时与x=1时的函数值应相等都为-1，即a=-1，
当x>-1时，当自变量每扩大1时，函数值对应增加1，故b=1，
故答案为：-1，1；
②如图所示，函数的最小值为-3；
故答案为-3；
（2）
①由图象知，A（-3，-1），B（3，1），
∴方程组 的解为 ， ；
故答案为： ， ；
②由图象知，不等式 的解集为-3＜x＜3．
故答案为：-3＜x＜3．
【点睛】此题考查了画函数图象，列表法表示函数关系，二元一次方程组与一次函数图象交点问
题，一元一次不等式与函数图象的关系，正确理解表格得到函数图象是解题的关键．
18．有这样一个问题：探究函数 的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数 的图像与性质进行了探究．
(1)①函数 的自变量x的取值范围是_____________；
②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或
“＝”）；
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … …
(3)函数 和函数 的图像如图所示，观察函数图像可发现：
① 的图像向___________平移________个单位长度得到 ， 的图
像向___________平移________个单位长度得到 ；
②当 时，x＝_____________；
③观察函数 的图像，写出该图像的一条性质．
【答案】(1)①全体实数；②＞；
(2)见详解；(3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【详解】（1）解：①函数 的自变量x的取值范围全体实数；
故答案为：全体实数；
②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式 得
， ，
∴ ；
故答案为：＞；
（2）解：补全表格得
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … -9 -5 -1 1 -1 -5 -9 …
在平面直角坐标系画出函数图像如图：
（3）（3）观察函数图像可发现：
① 的图像向上平移1个单位长度得到 ， 的图像向右平移1个单
位长度得到 ；故答案为：上，1，右，1；
②当 时，x＝-0.5；
故答案为：-0.5；
③观察函数 的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函
数性质是解题关键．
19．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、
利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数 的图象和性质的部分过程，
请按要求完成下列问题．
(1)列表：y与x的部分对应值如下表，则 ______， ______；
x … 0 1 2 3 …
y … m 0 1 2 1 n …
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
(3)结合图象，写一条函数 的性质：________________；
(4)根据函数图象填空：
①方程 有______个解；②若关于x的方程 无解，则a的取值范围是______．
【答案】(1)-1，0
(2)见解析
(3)函数图象关于y轴对称；（其他答案合理即可）
(4)① 1；② ．
【分析】（1）将 和 分别代入 ，即可求出m和n的值；
（2）根据描点法即可画出图象；
（3）结合图象，写出其一条性质即可；
（4）①结合图象，判断直线 ，与 的图象的交点个数即可；②结合图象，判断直线
，与 的图象没有交点时的a的取值范围即可．
（1）
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ = -1， = 0 ．
故答案为：-1，0；
（2）
函数图象如下：
（3）
结合图象可知函数图象关于y轴对称，
故答案为：函数图象关于y轴对称；（其他答案合理即可）
（4）①根据图象可知直线 ，与 的图象只有一个交点，
∴方程 有1个解；
②若关于x的方程 无解，则直线 ，与 的图象没有交点，
即 即可．
故答案为：1， ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解
题关键．
20．小慧根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质进行了探究，下面是小慧的探究
过程，请补充完整．
（1）函数y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取 ；
（2）列表，找出y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 4 3 2 1 2 3 …
若A（8，8），B（m，8）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函
数的图象，根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ；
②已知直线y＝ x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象交于C，D两点，当y≥y时x的取值范围是
1 1
．
【答案】（1）任意实数；（2）-6；（3）①1，②﹣ ≤x≤6．
【分析】（1）根据函数的定义可以确定y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取任意实数；（2）把y=8代入=|x-1|+1，即可求出m的值；
（3）①画出该函数的图象即可得到函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出函数y = x+3
1
与函数y=|x-1|+1的图象，根据图象即可求出y ≥y时x的取值范围．
1
【详解】（1）根据函数的定义可以确定y＝|x﹣1|+1的自变量x可以取任意实数；
（2）把y＝8代入＝|x﹣1|+1，得8＝|x﹣1|+1，
解得x＝﹣6或8，
∵A（8，8），B（m，8）为该函数图象上不同的两点，
∴m＝﹣6．
故答案为﹣6；
（3）该函数的图象如图：
①该函数的最小值为1；
故答案为1；
②在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象，
1联立方程组：
解得： 或
∴当y≥y时x的取值范围是﹣ ≤x≤6．
1
故答案为﹣ ≤x≤6．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想，
正确画出函数的图象是解题的关键．
