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第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22·23下·沧州·阶段练习）计算 得 ，则“ ”为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（22·23下·保定·模拟预测）若 ，则m的值为（ ）
A．100 B．50 C．25 D．4
3．（21·22上·乐山·期末）已知： ，则M是（ ）位正整数．
A．10 B．9 C．8 D．5
4．（22·23上·宣城·期中）x的m次方的5倍与 的7倍的积是（ ）
A． B． C． D．
5．（13·14下·青岛·课时练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22·23下·唐山·开学考试）如果 ，那么 与 的大小关系是（ ）
A．相等 B．大于 C．小于 D．不能确定
7．（22·23下·枣庄·阶段练习）计算 时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（22·23上·厦门·期中）计算 得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
9．（22·23上·威海·阶段练习）在下列多项式：（1） ；（2） ；（3）
；（4） 中，有一个相同因式的多项式是（ ）
A．（1）和（2） B．（1）和（4） C．（1）和（3） D．
（2）和（4）
10．（22·23上·万州·期末）对于两个整式， ，有下面四个结论：（1）当
时， 的值为 ；（2）当 时，则 ；（3）当 时，则
；（4）当 时，则 或 ；以上结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21·22下·浦东新·二模）计算： ＝ ．
12．（22·23下·宝山·阶段练习）如果 ，则 ．
13．（22·23上·福州·阶段练习）若 ，求 ．
14．（22·23上·宣城·期末）若 ，则 ．
15．（16·17下·揭阳·阶段练习）已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是
．
16．（21·22下·毕节·期末）请阅读以下因式分解的过程：．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式： ．
17．（20·21·广东·中考真题）若 且 ，则 ．
18．（22·23下·杭州·期中）观察“杨辉三角”给出了 展开式的系数规律，下列说法正确的是
．
①“杨辉三角”第六排数字依次是： ， ， ， ， ， ；
②当 ， 时，代数式 的值为 ；
③ 展开式第 项的系数是 ；
④ 展开式中所有系数之和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（19·20上·赣州·期末）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（22·23上·泉州·期中）计算：
（1） ； （2） ．21．（10分）（19·20下·连云港·期末）把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ．
22．（10分）（22·23下·全国·专题练习）先化简，再求值．
，其中 ．
23．（10分）（17·18上·扬州·阶段练习）阅读下列材料：
①关于x的方程 方程两边同时乘以 得： ，即 ，故
，所以 ．
② ； ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1） ，则 ______ ； ______ ； ______ ；（2） ，求 的值．
24．（12分）（22·23上·乌鲁木齐·期中）如图1，边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形，
然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是______（用 ， 表示）；
（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，则 ______；
②计算： ．
参考答案：
1．B
【分析】根据 即可求解．
解：由题意可知： ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法及幂的乘法的逆运用，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
2．C【分析】根据幂的乘方的逆用，将底数为9的幂转化为底数为3的幂，得到指数之间的关系，从而得
出结果．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了幂的乘方的逆用，正确进行幂的乘方中底数的转化是解题的关键．
3．B
【分析】利用积的乘方的法则进行求解即可．
解：M＝211×58
＝23×28×58
＝8×（2×5）8
＝8×108．
故M是9位正整数．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了积的乘方公式的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
4．C
【分析】x的m次方的5倍为 ， 的7倍是 ，据此求解即可．
解：根据题意得，x的m次方的5倍与x2的7倍的积为： ．
故选C．
【点拨】本题主要考查了单项式乘以单项式，正确理解题意是解题的关键．
5．C
【分析】由整式的乘法运算进行计算，然后进行判断，即可得到答案
解： ，故A正确；
，故B正确；，故C错误；
，故D正确；
故选：C
【点拨】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算
6．C
【分析】比较出 和 的大小关系即可．
解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点拨】本题考查利用作差法比较大小．解题的关键是掌握整式的运算法则，正确的计算．
7．D
【分析】将 看做一个整体，则 是相同项，互为相反项的是 ，对照平方差公式变形即可
求解．
解： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
8．B
【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，
列方程组求解即可得到答案．
解：=
=
展开后多项式不含x、y的一次项，
，
，
，
故选B．
【点拨】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不
含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．
9．C
【分析】根据因式分解可进行求解．
解：（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；所以有一个相同因式的多项式是（1）和
（3）；
故选C．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
10．C
【分析】将 代入代数式即可判断（1）计算 ，又 根据平方根的定义
即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．
解：
（1）当 时， ,故（1）正确；
（2）∵又当 时，
∴ ，故（2）不正确
（3）∵ ，
当 时，则 ；故（3）正确
（4）∵
当 时，
则
∴
即
∴ 或 ，故（4）正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
11．
【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．
12．
【分析】逆用幂的乘方与积的乘方进行计算即可求解．
解：∵
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了逆用幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
13． /0.4
【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解．
解： ，，
，
，
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键．
14．
【分析】令 ，求出 的值，令 ，求出 的值，然后两式相减即可得解．
解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
得， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查求代数式的值，根据系数的特点，令 取特殊值是解题的关键，本题难度不大，灵
活性较强．
15．a+b=c
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关
系；
解：∵2a=5，2b=10，
∴ ，
又∵ =50= ，
∴a+b=c．
故答案为：a+b=c．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相
加），掌握各知识的运算法则是解题的关键．
16．（x+3）（x-1）
【分析】根据题干中配方法，构造平方差公式进行因式分解．解：
=
=
=[（x+1）+2][（x+1）-2]
=（x+3）（x-1）．
故答案为：（x+3）（x-1）．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
17．
【分析】根据 ，利用完全平方公式可得 ，根据x的取值范围可得 的值，利
用平方差公式即可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
18．①③④
【分析】观察“杨辉三角”的特点，找到系数间的规律，再求解．
解：①“杨辉三角”第六排数字依次是： ， ， ， ， ， ，故①是正确的；
②当 ， 时，代数式 ，故②是错误的；
③ 展开式第 项的系数是 ，故③是正确的；④ 展开式中所有系数之和为 ，故④是正确的；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了完全平方公式，找到展开式的系数之间的关系是解题的关键．
19．（1）a4；（2） b4－9a2
【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法求解即可；
（2）根据平方差公式求解即可；
（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
【点拨】本题主要考查整式的混合运算，掌握运算的相关法则是解题的关键．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）利用单项式乘以多项式及积的乘方公式去括号即可；
（2）根据完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项即可．
（1）解：原式 ；
（2）原式
．
【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握单项式乘以多项式及积的乘方公式，完全平方公式及
平方差公式是解题的关键．
21．（1） ；（2） ．
【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式进行因式分解，解题得到答案．（2）利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
解：（1）原式= = ；
（2）原式= = ．
【点拨】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解．
22． ，
【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的运算法则去掉中括号里面的小括号，
再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值
计算即可．
解：
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
23．（1）4， 14，194；（2）
【分析】（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得 的值，然后平方即可求得 的值，然后再平方求得 的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得 的值，然后平方即可求得 的值，，然后利用题目提
供的立方差公式求解．
解：（1）∵ ，
∴ ，
，
；
故答案为：4；14；194；
（2）∵ ，
∴ ，
，
．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关
键．
24．（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，图2阴影部分是长为
，宽为 的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将 转化为 ，再根据 ，进而求出
的值；
②利用平方差公式将原式化为 ，进而得出 即可．
（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，
图2阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
由图1、图2的面积相等得， ，
故答案为： ；
（2）解：① ，
，
又 ，
，
故答案为：3；
②原式
．
【点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
