文档内容
第 14 章 整式的乘法与因式分解过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算．直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【详解】解： ．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项的计算错误；
B、 ，故本选项的计算错误；
C、 ，故本选项的计算错误；
D、 ，故本选项的计算正确．
故选：D
3．下列各式中，不能用平方差公式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解∶A． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意；
B． ， 两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，符合题意；
C． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意；
D． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意；
故选∶B．
4．多项式 是完全平方式，那么 的值是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．根据完全平方
式的结构特征： ，即可获得答案．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
5．若有理数 ， 满足 ，则 的值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键．
利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果．
【详解】解： ，
化简得， ，
，．
故选：C．
6．如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，
若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积
表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【详解】解：根据题意，得：
故选：C．
7．把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法
将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
8．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后
再运用幂的乘方的运算法则将 化成含有 和 的形式，然后代入即可解答．
【详解】解： ，
故选：B．
9．若 ， ，则 （ ）
A．184 B．196 C．208 D．212
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式和代数式求值．将 两边平方，即可得出 ，
再根据 ，即可求出 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
10．设有边长分别为a和 的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图
所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个
长为 、宽为 的长方形，则需要C类纸片的张数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形
的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中 项的系数即为答案．
【详解】解： ，即 ，
要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2张 类纸片．
，即 ，
若要拼一个长为 ，宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为8张，
故选：C．
11．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了 展开式的系数规律，称
为“杨辉三角”．如第5行的5个数是 ，恰好对应着 展
开式中的各项系数．利用上述规律计算关于 的多项式（ 中 项的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】C
【分析】此题主要多项式乘以多项式，理解题目中给出的“杨辉三角”的规律，由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出 项的系数即可．
【详解】根据“杨辉三角”的规律得：
，
，
， ，
项的系数为： ．
故答案为：C．
12．已知多项式 与 的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了整式的有关计算．熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
先根据多项式乘多项式法则计算多项式 与 的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一
次项，列出关于 的方程，解方程即可．
【详解】解：
多项式 与 的乘积展开式中不含x的一次项，
，
．
故选C．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
14．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂和乘方，利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为：12．
15．若 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值和多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关
键．先计算 ，再代入求值即可．
【详解】 ， ，
∵
，
∴
故答案为： ．
16．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查的是应用平方差公式简便运算，先将后面的式子 转化为
，再利用平方差公式计算即可
【详解】解：
．
17．因式分解： ．【答案】
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．先提取
公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
故答案为： ．
18．关于 的多项式乘多项式 ，若结果中不含有 的一次项，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不
含有x的一次项得出 ，求出结果即可．
【详解】解：
，
∵关于x的多项式乘多项式 的结果中不含有x的一次项，
，
解得， ，
故答案为： ．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算
(1) ．(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则和同底数幂运算法则进行运算，然后合
并同类项即可；
（2）首先根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则进行计算，然后相加减即可．
【详解】（1）解：
（2）
20．（8分）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】题考查了提公因式法与公式法的综合运用；（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
21．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，8
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的
计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
22．（8分）已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行变形即可；
（2）利用完全平方公式进行变形即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）解： ， ，
．．
23．（10分）我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自
己吗？
阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶ ，记为 ，如∶ ，此时，3叫做以
2为底的8的对数，记为 ，（即 ）．
(1)计算∶ _____； _____； _____．
(2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出 ， ， 之间的关系式
____________________________．
(3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且 ，
）；
(4)根据上述结论解决下列问题∶已知 ，求 和 的值( 且 )．
【答案】(1)2；4；6
(2)
(3)
(4) ，
【分析】（1）根据题目给出的定义，即可求解，
（2）根据题意，找到规律，即可求解，
（3）根据（2）中的规律，即可求解，
（4）根据题目给出的运算法则，即可求解，
本题考查了新定义运算，解题的关键是：理解题意，找到规律．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：2；4；6，
（2）∵ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ，
（3）解： ，
故答案为： ，
（4）解： ，
．
24．（10分）如图，某广场是一块长为 ，宽为 的长方形地块，广场中心有一个雕像，
现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，已知雕像所占地块是一个边长为
的正方形，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 时的绿化面积．
【答案】绿化的面积是 ，当 时的绿化面积为 ．【分析】本题考查了整式的混合运算以及列代数式、求代数式的值，表示出长方形的面积，再表示出
正方形的面积，两个面积相减即可得出绿化的面积，再把a，b的值代入即可得出绿化面积，熟记正方
形面积和长方形面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意，得绿化的面积为
当 时，
，
答：绿化的面积是 ，当 时的绿化面积为 ．
25．（10分）如图1是一个长为 、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用
四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)．
(1)观察图2，写出 ， ， 之间的等量关系是 ；
(2)根据(1)中的结论，若 ， ，则
(3)拓展应用：若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算 化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式
是解题的关键．
（1）根据面积法进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据已知条件利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：
提示：由图可知，图1的面积为 ，图2中白色部分的面积为：
因为图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
所以 ．
（2）解：根据(1)中的结论，可知
∵
∴
∴
∴ ．
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
26．（10分）阅读下列材料：
我们把多项式 及 叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我
们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值
不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如，求代数式 的最小值．
，可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
再例如：求代数式 的最大值．
，可知当 时， 有最大值，最大值是
．
(1)【直接应用】代数式 的最小值为______；
(2)【类比应用】若多项式 ，求 的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长 米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够
长），求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)
(2)
(3) 平方米
【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负性，列代数式等知识点，熟练掌握配方法的一
般步骤是解题的关键．
（1）仿照阅读材料，利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性
解答即可；
（2）利用配方法把原式进行变形，含 、 的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为 米，则另一边长为 米，于是菜地的面积为 ，再
利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可．
【详解】（1）解： ，
当 时，代数式 有最小值，最小值为 ；故答案为： ；
（2）解：
，
当 且 时， 有最小值， 的最小值为 ；
（3）解：设垂直于墙的一边长为 米，则另一边长为 米，
菜地的面积为：
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
围成的菜地的最大面积为 平方米．
