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专题十六 线段上的动点问题
1．如图，A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，点O表示的数是0，
且|a+8)+(b−12) 2=0．
(1)直接写出：a=___________，b=___________，线段AB中点对应的数为__________；
(2)点P、Q分别从O、B出发同时向左匀速运动，P的速度为1个单位长度每秒，Q的速度
1
为3个单位长度每秒，设运动时间为t秒，当PQ= AB时，求t的值；
2
(3)在（2）的条件下，M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，P、Q在运动的过程中，
1
当t为何值时 PQ+MN有最小值，最小值是多少？
22．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a和b满足|a+12)+(b−4) 2=0，点O
是数轴原点．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段AB的长为______．
(2)若点P从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B出
发，以2个单位长度每秒的速度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运
3
动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得PQ= AB？若存在，请求出此时点Q表
8
示的数；若不存在，请说明理由．
(3)若数轴上表示−10和10的两点之间有一条可移动的线段CD（C，D均不与A，B重合），
点C在点D左侧，且CD=4，点M为线段AC中点，点N为线段BD中点，试探究线段
MN的长度．3．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，
且a，b满足（a﹣120）2+|4b﹣a|＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；
(3)线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以3cm/s的速度沿射线BA的方
向运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，
点P原路返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P
同时停止运动，设运动时间为ts，在此运动过程中，当t为多少s时线段PC＝10cm？4．如图（1）所示，已知直线l上有E，F两点，EF=15cm，有一根木棒AB放在直线l上，
将木棒沿直线l左右水平移动．当点B与F重合时，点A刚好落在点B移动前的位置，当点A
与E重合时，点B刚好落在点A移动前的位置．
(1)直接写出木棒AB的长；
(2)木棒AB在射线EF上移动的过程中，当AE=4BF时，求AE的长；
(3)另一根木棒CD长为3cm，AB和CD在直线l上的位置如图（2）所示，其中点D与E重
合，点B与F重合．木棒AB以3个单位长度/秒的速度向左移动，木棒CD以2个单位长度/秒
的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为t秒，若式子AD+BC的值为定值，请直接
写出此时t的取值范围，并写出这个定值．
5．已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB=12，点C是数轴上原点左侧一点．
(1)若BC=2OA．
①则点B表示的数是______，点C表示的数是______；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单
位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度．
(2)点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点
Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达
2
原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时5 秒，请直接写出C点表示的数．
3
6．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”
表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b)．
【理解应用】如图1，已知数轴上的点A,B,C分别表示有理数a,b,c，其中b是最大的负
整数，且a,b,c满足(a−4b) 2+|c−11)=0．
（1）请你直接写出a,b,c的值，a=______，b=______，c=______．
（2）若D为数轴上的一个动点，且DC=3DB，求点D在数轴上表示的数．
【拓展延伸】（3）若点P,R,Q分别从点A,B,C同时出发在数轴上运动，点P每秒4个单
位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某
个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值．
7．A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+(n−15) 2=0．(1)直接写出m的值是_______，n的值是_______，线段AB的长度是________；
(2)如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，
在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4
秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为
20秒．
①求线段PQ的长；
②直接写出线段PQ运动的速度为______个单位长度/秒；
③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段
PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点
运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时
间为t秒（0≤t≤20），当4PC−QB=4时，求t的值．
8．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且(a+36) 2+|b+20)=0．我们将A，B两点间的距离记为AB．
(1)a=______，b=______，AB=______；
(2)若点C在数轴上，且AC+BC=35，求点C表示的有理数；
(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两
点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位
长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后
的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当OP=QM时，求t的值．
9．如图，A，B，C，D四点在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为16，BC=14
，AC:CD=3:2．(1)点A与点B的距离是_________，点C与点D的距离是_________，点D在数轴上表示的
数是_________．
(2)线段CD以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，线段AB以每秒1个单位
长度的速度在数轴上运动，运动时间为t秒，
①若线段AB沿数轴负方向运动，当t满足_________时，点A，B同时在线段CD上；
②若线段AB沿数轴正方向运动，当t满足_________时，点A，B．同时在线段CD上．
(3)一条4个单位长度的大毛毛虫的头从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方
向运动，9秒后，一条2个单位长度的小毛毛虫的头从点B出发，以每秒2个单位长度的速
度沿数轴负方向运动到点C时，立即调头改变方向保持原速度沿着数轴正方向运动．设大
毛毛虫运动的时间为t秒．
①当两条毛毛虫头和头相遇时，求t的值；
②当两条毛毛虫尾和尾相遇时，直接写出t的值．
10．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n(m0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的
速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过
程中，MN的长度始终为1，求a的值；
(2)若n−m>2，点D是AC的中点，若AD+3BD=4，试求线段AB的长．
11．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．(1)若AB=24，DE=16，线段DE在线段AB上移动，
①当点E是线段BC的中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
AD+EC 3 CD
(2)若AB=2DE，点E在线段AB上移动，且满足关系式 = ，则 = （直接
BE 2 AB
写出结果）．
12．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表
示−12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记
为L =32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C
AC
出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
(1)当t=4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点
M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
13．已知AB=24，DE=10，点C为线段AB的三等分点（BC>AC），点A在点B左侧，
点D在点E左侧．(1)若线段DE在线段AB上运动．
① 如图1，当点C为线段DE的中点时，BE= ；（直接写出结果）
1
② M为线段AB上一点，且BM=2BE，CE+DM＝ AE，求线段CE的长；
2
(2)若线段DE在射线BA上运动，且2AD+CE=BD，求线段CD的长．
14．如图1，已知直线l上线段AB=6，线段CD=2（点A在点B的左侧，点C在点D的
右侧），BD=15．(1)求图1中所有线段的条数为______条：
(2)若线段AB从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD从点D开始以1个
单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段CD所有的点都在线段AB上？（含
端点）
(3)若线段AB从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段CD从点C开始
以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段DC立即以原来速度的2
1
倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段CD的速度变为初始速度的 方向继续向
2
左，问在整个运动过程中，时间t为何值时AC=1．
15．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于A点左侧一点，且AB＝14．动
点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．(1)写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发．
①问点P运动多少秒时，BQ＝BP？
QP+QA
②若M为AP的中点，在点P，Q运动的过程中， 的值在某一个时间段t内为定值．
QM
求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
16．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是
8x yb−10+(a+8)xy−1关于x、y的三次二项式．解答下列问题：(1)a=________，b=________；
(2)若数轴上有一点C，且3AC=BC，求点C对应的数；
(3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，
点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点.设运动时间为
t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及
PQ+MN的长度．
17．数轴上A，B三个点表示的数分别是a，b，且满足|a+6)+(b−2) 2=0，动点P从点A
出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动t秒．(1)直接写出a=______，b=______；
(2)如图1，若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的
长度是否发生变化，请说明理由；
(3)对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到点A的距离为m，点Q到P的距离为
n，如果n−m=2，那么称点Q是点P的“关联点”．
①若m=1，直接写出点P的“关联点”Q在数轴上对应的数为_____；
②若BQ=2BP，试求t的值．
18．（1）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的四个点．
①直线l上以A，B，C，D为端点的射线共有______条；
②若AC=4，BD=6，BC=1，点P为直线l上一点，则PA−PD的最大值为______；（2）从图1的位置开始，点A在直线l上向左运动，点B，D在直线l上向右与A点同时开
始运动，运动过程中BD的长度保持不变，M，N分别为AC，BD的中点（如图2）．在
此过程中，请指出三条线段AB，CD，MN之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理
由；
（3）如图3，点A，B，C为数轴上从左到右顺次的三个点，点A，B表示的数分别为m，
n(m3，AD+3BD=7，求线段AB的长．
19．问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关
联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式ax3+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式ax3+bx+2021的
值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB
向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终
AC
满足CE＝3CD，求 的值；
AB
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动
过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时
AD
的值．
AB
20．O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，
且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0．（1）写出a、b的值；
（2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的
距离；
（3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单
位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到
C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？参考答案
1．(1)−8，12，2
(2)t的值为1或者11
1
(3)当6≤t≤16时， PQ+MN有最小值，最小值是10
2
【分析】（1）根据绝对值和平方的值非负可求出a=−8，b=12，则问题随之得解；
（2）先求出AB=12−(−8)=20，OB=12，根据题意有：OP=t，BQ=3t，即有
BP=BO+OP=12+t，分当点P在点Q的左侧时和当点Q在点P的左侧时两种情况讨论，
即可作答；
（3）根据题意可知点A表示的数是−8，点B表示的数是12，点P表示的数是−t，点Q表
示的数是12−3t，再根据M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，可得点M表示的数
−8−t 12+12−3t 24−3t
是 ，点N表示的数是 = ，即有
2 2 2
|24−3t −8−t)
MN= − =|16−t)，PQ=|12−3t−(−t))=|12−2t)，则有
2 2
1
PQ+MN=|6−t)+|16−t)，再分类讨论去绝对值即可作答．
2
【详解】（1）∵|a+8)+(b−12) 2=0，|a+8)≥0，(b−12) 2≥0，
∴|a+8)=0，(b−12) 2=0，
∴a+8=0，b−12=0，
∴a=−8，b=12，
−8+12
∴线段AB中点对应的数 =2，
2
故答案为：−8，12，2；
（2）∵点A表示的数是a，点B表示的数是b，点O表示的数是0，且a=−8，b=12，
∴AB=12−(−8)=20，OB=12，
根据题意有：OP=t，BQ=3t，
∴BP=BO+OP=12+t，
分情况讨论：当点P在点Q的左侧时，PQ=BP−BQ=12+t−3t=12−2t，
1
∵PQ= AB，
2
1
∴12−2t=20× ，
2
解得：t=1；
当点Q在点P的左侧时，PQ=BQ−BP=3t−(12+t)=2t−12，
1
∵PQ= AB，
2
1
∴2t−12=20× ，
2
解得：t=11，
综上：t的值为1或者11；
（3）根据题意可知点A表示的数是−8，点B表示的数是12，点P表示的数是−t，点Q表
示的数是12−3t，
∵M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，
−8−t 12+12−3t 24−3t
∴点M表示的数是 ，点N表示的数是 = ，
2 2 2
|24−3t −8−t)
∴MN= − =|16−t)，PQ=|12−3t−(−t))=|12−2t)，
2 2
1 1
∴ PQ+MN= |12−2t)+|16−t)=|6−t)+|16−t)，
2 2
1
当0≤t＜6时， PQ+MN=6−t+16−t=22−2t，
2
∴10＜22−2t≤22，
1
∴10＜ PQ+MN≤22；
2
1
当6≤t≤16时， PQ+MN=t−6+16−t=10，
2
1
∴ PQ+MN为定值10；
2
1
当t＞16时， PQ+MN=t−6+t−16=2t−22，
2
∴2t−22＞32−22=10，1
∴ PQ+MN＞10；
2
1
综上： PQ+MN的最小值为10．
2
1
即：当6≤t≤16时， PQ+MN有最小值，最小值是10．
2
【点睛】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、根据数轴上的点求解距离
以及数轴上中点的求解方法等知识，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解答本题
的关键．解答本题时，要注意分类讨论的思想．
2．(1)−12，4，16
3 22
(2)当运动时间为2秒时，PQ= AB，此时点Q表示的数为0；当运动时间为 秒时，
8 5
3 24
PQ= AB，此时点Q表示的数为−
8 5
(3)MN=10
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点距离公式求出AB的长
即可；
（2）设运动时间为t，则点P表示的数为−12+3t，点Q表示的数为4−2t，然后分当
3 3
P、Q两点相遇前，PQ= AB时，当P、Q两点相遇后，PQ= AB时，利用数轴上两点
8 8
距离公式列出方程求解即可；
（3）设点C表示的数为m，则点D表示的数为m+4，根据数轴上两点中点公式得到点M
m−12 m+4+4
表示的数为 ，点N表示的数为 ，再根据数轴上两点距离公式求解即可．
2 2
【详解】（1）解：∵|a+12)+(b−4) 2=0，|a+12)≥0，(b−4) 2≥0，
∴|a+12)=0，(b−4) 2=0，
∴a+12=0，b−4=0，
∴a=−12，b=4，
∴点A表示的数为−12，点B表示的数为4，
∴AB=4−(−12)=4+12=16，故答案为：−12，4，16；
（2）解：设运动时间为t，
∴点P表示的数为−12+3t，点Q表示的数为4−2t，
3
当P、Q两点相遇前，PQ= AB时，
8
3
∴4−2t−(−12+3t)=16× ，
8
解得t=2，
∴此时点Q表示的数为0；
3
当P、Q两点相遇后，PQ= AB时，
8
3
∴−12+3t−(4−2t)=16× ，
8
22
解得t= ，
5
24
∴此时点Q表示的数为− ；
5
22 16 16
∵2< < < ，
5 3 2
3 22
∴当运动时间为2秒时，PQ= AB，此时点Q表示的数为0；当运动时间为 秒时，
8 5
3 24
PQ= AB，此时点Q表示的数为− ；
8 5
（3）解：∵CD=4，
∴设点C表示的数为m，则点D表示的数为m+4，
∵点M为线段AC中点，点N为线段BD中点，
m−12 m+4+4
∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
2 2
|m−12 m+4+4) |m−12−m−4−4)
∴MN= − = =10．
2 2 2
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点距离公式，非负数的性质等等，
熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
3．(1)120；30；
(2)4540 50 80
(3) ， ，
3 3 3
【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出a，b的值；
1 1 1 1 1
（2）由中点的定义得AM＝ AD＝ （AC＋CD）＝ （AC＋30）＝ AC＋15、CN＝ BC
2 2 2 2 2
1 1 1
＝ （AB−AC）＝ （120−AC）＝60− AC，由MN＝CN−CM即可求解；
2 2 2
（3）分两种情况：①点P与点D相遇前，②点P与点D相遇后，每种情况再分点P在点
C左边，点P在点C右边解答即可．
【详解】（1）解：∵a，b满足（a−120）2＋|4b−a|＝0，
∴a−120＝0，4b−a＝0，
∴a＝120，b＝30．
故答案为：120；30；
（2）∵M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
1 1 1 1
∴AM＝ AD＝ （AC＋CD）＝ （AC＋30）＝ AC＋15，
2 2 2 2
1 1 1 1
CN＝ BC＝ （AB−AC）＝ （120−AC）＝60− AC，
2 2 2 2
1 1
∴CM＝AM−AC＝ AC＋15−AC＝15− AC，
2 2
1 1 1 1
∴MN＝CN−CM）＝60− AC−（15− AC）＝−60− AC−15＋ AC＝45（cm）；
2 2 2 2
（3）由题意得：点P与点D相遇的时间为120÷（3＋3）＝20（s），
点C到达点A的时间为（120−30）÷3＝30（s），
①点P与点D相遇前，即t＜20时，
Ⅰ）点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC＋CD＝10＋30＝40（cm），
由题意得：（3＋3）t＝120−40，
40
解得：t＝ ，
3
Ⅱ）点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD−PC＝30−10＝20（cm），由题意得：（3＋3）t＝120−20，
50
解得：t＝ ，
3
②点P与点D相遇后，即20≤t≤30时，
Ⅰ）点P在点C左边，线段PC＝10cm，
∴PD＝PC＋CD＝10＋30＝40（cm），
由题意得：（3×2−3）（t−20）＝40，
100
解得：t＝ ＞30（不合题意，舍去），
3
Ⅱ）点P在点C右边，线段PC＝10cm，
∴PD＝CD−PC＝30−10＝20（cm），
由题意得：（3×2−3）（t−20）＝20，
80
解得：t＝ ，
3
40 50 80
综上，当t为 ， ， 时线段PC＝10cm．
3 3 3
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、数轴、列代数式、两点间的距离
以及一元一次方程的应用，解（3）时注意分类思想的运用．
4．(1)5cm；
40
(2)8cm或 cm；
3
18
(3)2≤t≤ ，定值为8cm．
5
【分析】（1）根据题意可得AB的长等于EF的三分之一，即可求解；
（2）设AE=xcm，分点B在点F左侧和右侧两种情况列方程求解即可；
（3）由式子AD+BC的值为定值可判断出木棒CD和木棒AB重叠，分别求出点E与点A
重合和点E与点F重合的时间，即可求出t的取值范围，由木棒CD和木棒AB重叠可得
AD+BC的值为定值即为AB+CD的值；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别
列出方程是解题的关键．
1 1
【详解】（1）解：由题意可得，AB= EF= ×15=5cm；
3 3（2）解：设AE=xcm，
当点B在点F左侧时，BF=15−x−5=10−x，
∵AE=4BF，
∴x=4(10−x)，
解得x=8，
∴AE=8cm；
当点B在点F右侧时，BF=5−(15−x)=x−10，
∵AE=4BF，
∴x=4(x−10)，
40
解得x= ，
3
40
∴AE= cm；
3
40
∴AE的长为8cm或 cm；
3
（3）解：由题意可得，当木棒CD和木棒AB重叠时，式子AD+BC的值为定值，
定值即为AB+CD=5+3=8cm，
当点E与点A重合时，2t+3t=15−5，
解得t=2；
当点E与点F重合时，2t+3t=15+3，
18
解得t= ；
5
18
∴当2≤t≤ 时，式子AD+BC的值为定值，定值为8cm．
5
7
5．(1)①−2，−22②点P的速度是 个单位长度/秒
3
16
(2)点C表示的数是−
3
【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，正确
理解题意是解题关键，
（1）①根据数轴上两点间的距离可分别表示两点表示的数，②设点P的速度是每秒v个单
位长度，根据题意列方程解决即可；
（2）根据题意求出从开始运动到结束总时间，再列出方程解决．【详解】（1）解：①点A表示的数为10，AB=12，
∴点B表示的数是−2，
∵BC=2OA=2×10=20，点C是数轴上原点左侧一点，
∴点C表示的数是−2−20=−22，
故答案为：−2，−22；
②设点P的速度是每秒v个单位长度，则点Q的速度是每秒(2v−3)个单位长度，
∴运动3秒时，点P表示的数是−22+3v，点Q表示的数是10+3(2v−3)=6v+1，
∵点O是线段PQ的中点，
(−22+3v)+(6v+1)
∴ =0，
2
7
解得：v= ，
3
7
所以点P的速度是 个单位长度/秒；
3
（2）解：设点C表示的数是x，由题意得：若从线段QR的右端点到达原点O起，即运动
2
=2秒起，线段QR的左端点与点P重叠即点R追上点P止，
1
2 2 23
∴从开始运动到追上总运动时间为2+5 =7 = 秒，
3 3 3
23 23
∴x+3× =10+1× ，
3 3
16
解得：x=− ，
3
16
故点C表示的数是− ．
3
9 9
6．（1）−4，−1，11 （2）2或−7 （3）− 或−
8 2
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程；
（1）根据题意求出b=−1，a−4b=0，c−11=0，解题即可；
（2）分点D在线段BC上和点D在线段CB的延长线上两种情况列方程，解方程可得答案；
（3）分R向左或向右两种情况分别用t表示点P,R,Q表示的数，然后根据PQ+nRQ为定
值计算即可．
【详解】（1）解：∵b是最大的负整数，
∴b=−1，∵(a−4b) 2+|c−11)=0，
∴a−4b=0，c−11=0，
解得：a=−4，c=11，
故答案为：−4，−1，11；
（2）设点D表示的数为d，
当点D在线段BC上时，则CD=11−d，DB=d−(−1)=d+1，
∵DC=3DB，
∴11−d=3(d+1)，
解得：d=2；
当点D在线段CB的延长线上时，则CD=11−d，DB=−1−d，
∵DC=3DB，
∴11−d=3(−1−d)，
解得：d=−7；
综上，点D表示的数为2或−7；
（3）当R以每秒3个单位的速度向左运动时，
点P表示的数为−4−4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为−1−3t，
∴PQ=11+5t−(−4−4t)=9t+15，RQ=11+5t−(−1−3t)=8t+12，
∴PQ+nRQ=9t+15+n(8t+12)=(9+8n)t+(15+12n)
又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，
∴9+8n=0，
9
解得n=− ；
8
当R以每秒3个单位的速度向右运动时，
点P表示的数为−4−4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为−1+3t，
∴PQ=11+5t−(−4−4t)=9t+15，RQ=11+5t−(−1+3t)=2t+12，
∴PQ+nRQ=9t+15+n(2t+12)=(9+2n)t+(15+12n)
又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，
∴9+2n=0，
9
解得n=− ；
2
9 9
综上所述，n的值为− 或− ．
8 27．(1)−17，15，32
(2)①线段PQ的长是8个单位长度；②2；③ t的值是6，14，18
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得m和n的值，即可得线段AB的长度；
m 32+m
（2）①根据线段PQ的速度相等，得方程 = ，解答即可；②将线段PQ的长除以
4 20
时间即可；③先求出当t=0时，点P对应的数是−25，分三种情况讨论：当0≤t≤8时，当
8−20，
∴c−(−36)+c−(−20)=35，21
解得：c=− ；
2
91 21
综上，点C表示的有理数为− 或− ；
2 2
（3）解：由（1）得，a=−36，b=−20，
∵36÷4=9，20÷2=10，
∴当t=9时，点P到达点O，当t=10时，点Q到达点O，
由题意得：OP=QM，
当点P、Q都在点O左侧时，013，
OP=2(t−9)，QM=4(t−10)−12=4t−52，
∴2(t−9)=4t−52，
解得：t=17；
当点P点O重合时，t=9，
OP=0，QM=14，不合题意；
当点Q点O重合时，t=10，
OP=2，QM=12，不合题意；
当点Q点M重合时，t=13，
OP=8，QM=0，不合题意；
35
综上，t的值为2或 或17．
3【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键
是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系
列出方程，进而求解．
9．(1)4；12；−10
26
(2)①6≤t≤ ②18≤t≤26
3
(3)20或18
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）分两种不同的位置得出不等式组求解即可；
（3）根据题意列出方程，求解方程即可．
【详解】（1）∵点A表示的数为20，点B表示的数为16，
∴AB=20−16=4，
∵BC=14，
∴AC=AB+BC=4+14=18
又AC:CD=3:2
∴18:CD=3:2
∴CD=12．
又16−14−12=−10
∴点D在数轴上表示的数为：−10
故答案为：4；12；−10
（2）根据题意得AB=lm/s,CD=2m/s，要使A，B同时在线段CD上，则有：
{−10+2t≤16−t≤2+2t(B点在CD上))
①
−10+2t≤20−t≤2+2t(A点在CD上)
26
解得，6≤t≤
3
26
帮答案为：6≤t≤
3
{−10+2t≤16+t≤2+2t(B点在CD上))
②
−10+2t≤20+t≤2+2t(A点在CD上)
解得，18≤t≤26
故答案为：18≤t≤26（3）①9秒后，4个单位长度的大毛毛虫头在−10+9=−1处，尾在(−10−4)+9=−5处，
则小毛毛虫从B到C需用时：14÷2=7s，此时大毛毛虫在−1+1×7=6处，则有：
6+t =2+2t
1 1
解得，t =4
1
∴t=4+7+9=20s；
②小毛毛虫即从C点调头时，小毛毛虫的尾在O处，大毛毛虫尾在−5+1×7=2处，要使
尾与尾相遇，则0+2t =2+t ，
2 2
解得：t =2
2
∴t=2+7+9=18(s)
综上，t的值为：20或18
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据定义列出方程是解题的关键．
10．(1)①−2，②4
(2)3
【分析】（1）①设C表示的数为x ，D表示的数为x ，根据点A、B表示的数分别为
C D
x +x
m、n(m0，
∴a=4．
（2）设C表示的数为x ，D表示的数为x ，根据点A、B表示的数分别为m、n(m2，∴(n−m)+2+3(n−m)−6=8，
解得n−m=3，
故线段AB的长3．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上线段中点的表
示，绝对值的化简，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式是解题的关键．
32
11．(1)①4，②
3
17
(2)
42
【分析】（1）根据已知条件得到BC=8，AC=16，①由线段中点的定义得到CE=4，求
得CD=12，由线段的和差得到AD=AC−CD=16−12=4；②当点C线段DE的三等分
1 3 2 32 32
点时，可求得CE= DE= 或CE= DE= >8=BC（舍去），则CD= ，由线段
3 16 3 3 3
的和差即可得到结论；
（2）①当点E在线段BC之间时，设BC=x，CE= y，则AC=2BC=2x，求得AB=3x、
AD+EC 3
DE=1．5x、AE=2x+ y、BE=x−y、AD=0.5x+ y，然后根据 = 可得
BE 2
2 2 17 CD
y= x，CD=1.5x− x= x，再代入 即可解答；②当点E在线段AC上时，设
7 7 14 AB
BC=x>0，CE= y>0，则AC=2BC=2x，求得AB=3x、DE=1．5x、
AD+EC 3 3
AE=2x−y、BE=x+ y、AD=0.5x−y，然后根据 = 可得y=− x<0不符
BE 2 2
题意．
【详解】（1）解：∵AC=2BC，AB=24，
∴BC=8，AC=16，
①∵E为BC中点，
∴CE=4，
∵DE=16，
∴CD=12，
∴AD=AC−CD=16−12=4；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝16，
1 16 2 32
∴CE= DE= 或CE= DE= >8=BC（不合题意，舍去），
3 3 3 3
32 16
∴CD=DE−CE=16− = ，
3 3
16 32
∴AD=AC−CD=16− = ；
3 3
（2）解：①当点E在线段BC上，如图，
设BC=x，CE= y，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，
∴DE=1．5x，
∴AE=2x+ y，BE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+ y−1.5x=0.5x+ y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x+ y+ y 3
∴ = ，
x−y 2
2 2 17
∴y= x，CD=1.5x− x= x，
7 7 14
17
x
∴CD 14 17；
= =
AB 3x 42
如图：当点E在线段AC上时，
设BC=x>0，CE= y>0，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x，
∵AB=2DE，
∴DE=1．5x，
∴AE=2x−y，BE=x+ y，
∴AD=AC−DE−EC=2x−1.5x−y=0.5x−y，AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x−y+ y 3
∴ = ，
x+ y 2
3
∴y=− x<0不符题意，
2
∴点E不可能在线段AC上．
CD 17
综上所述 的值为 ．
AB 42
【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，
准确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键．
12．(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度
(2)t=8.5
(3)t=3或t=10
【分析】（1）先计算出AO，BC的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，
即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
AO=0−(−12)=12，BC=20−12=8，
当t=4秒时，点M的运动路程：2t=8<12，点N的运动路程：2t=8，
∴经过4秒，点M在AO上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：−12+8=−4，点N表示的数为：20−8=12，
∴M、N两点距离为：12−(−4)=16．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：AO=12，BC=8，
12 8
∴点M到点O需要时间： =6秒，点N到点B需要时间： =4秒，
2 2
当相遇时：12+3(t−6)+8+(t−4)=32，
解得：t=8.5．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，∴点A与点P距离为6−(−12)=18，点C与点P距离为20−6=14，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在OB上，
①当点M在OP上，点N在BP上时：
∵PM=18−12−3(t−6)，PN=14−8−(t−4)，
∴18−12−3(t−6)+14−8−(t−4)=6，
解得：t=3，
②当点M在PB上，点N在BP上时：
∵PM=12+3(t−6)−18，PN=14−8−(t−4)，
∴12+3(t−6)−18+14−8−(t−4)=6，
解得：t=10；
综上：t=3或t=10．
【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找
出等量关系并列出方程求解．
20
13．(1)① 11；②线段CE的长为4或 ；
3
5
(2)线段CD的长为 或21．
2
【分析】（1）①利用三等分点的定义求出AC、BC，利用中点定义求出CE，再根据线
段的和差关系即可求出BE；②分当点D、M在点C的右侧和点D在点C的右侧，点M在
点C的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；
（2）分当线段DE在线段AB上、点D在BA的延长线上，点E在线段AB上和线段DE在线
段BA的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；
本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画
出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．
【详解】（1）解：①如图1，∵点C为线段AB的三等分点（BC>AC），
1 1 2 2
∴AC= AB= ×24=8，BC= AB= ×24=16，
3 3 3 3
∵点C为线段DE的中点，
1 1
∴CE= DE= ×10=5，
2 2
∴BE=BC−CE=16−5=11，故答案为：11；
②如图，当点D、M在点C的右侧时，
设BE=x，则BE=ME=x，BM=2x，CE=16−x，DM=10−x，AE=24−x，
1
∵CE+DM＝ AE，
2
1
∴16−x+10−x= (24−x)，
2
28
解得x= ，
3
28
∴BE= ，
3
28 20
∴CE=BC−BE=16− = ；
3 3
如图，当点D在点C的右侧，点M在点C的左侧时，
设BE=x，则BE=ME=x，BM=2x，CE=16−x，DM=x−10，AE=24−x，
1
∵CE+DM＝ AE，
2
1
∴16−x+x−10= (24−x)，
2
解得x=12，
∴BE=12，
∴CE=BC−BE=16−12=4；
20
∴线段CE的长为4或 ；
3
（2）解：如图，当线段DE在线段AB上时，
设AD=x，则CD=8−x，BD=24−x，
∴CE=10−(8−x)=2+x，
∵2AD+CE=BD，
∴2x+2+x=24−x，11
解得x= ，
2
11 5
∴CD=8−x=8− = ；
2 2
如图，当点D在BA的延长线上，点E在线段AB上时，
设AD=x，则CD=8+x，BD=24+x，
∴CE=8+x−10=x−2，
∵2AD+CE=BD，
∴2x+x−2=24+x，
解得x=13>10，不合，舍去；
如图，当线段DE在线段BA的延长线上时，
设AE=x，则AD=10+x，BD=10+x+24=34+x，CE=8+x，
∵2AD+CE=BD，
∴2(10+x)+8+x=34+x，
解得x=3，
∴CD=10+3+8=21；
5
综上，线段CD的长为 或21．
2
14．(1)6
17
(2) ≤t≤7
3
67 87
(3)t= 或t=
4 5
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，线段的条数问题：
（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；
（2）当点B恰好与点C重合时，线段CD所有的点开始都在线段AB上，当点A恰好与点
D重合时，线段CD所有的点最后都在线段AB上，据此求解即可；
（3）以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，
23，21，设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则6+2t=21+t，解得t=15，当点C与点A初次相遇时，30+2(t−15)=38−2(t−15)，解得t=17，再分当A、C相遇前，
当A、C相遇后，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有线段AB，BD，CD，AD，BC，AC共
6条线段，
故答案为：6；
17
（2）解：当点B恰好与点C重合时，则2t+t=15+2，解得t= ；
3
当点A恰好与点D重合时，则2t+t=6+15，解得t=7，
17
∴当 ≤t≤7时，线段CD所有的点都在线段AB上；
3
（3）解：以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，
6，23，21，
设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则6+2t=21+t，解得t=15，
∴当端点B与D初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为30，36，38，36，此后线段
CD以2个单位长度每秒的速度向左运动，
当点C与点A初次相遇时，30+2(t−15)=38−2(t−15)，解得t=17，
∴当点C与点A初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为34，40，34，32，此后线段
1
CD以 个单位长度每秒的速度向左运动，
2
当A、C相遇前，AC=1时，则38−2(t−15)−[30+2(t−15))=1，
67
解得t= ；
4
1
当A、C相遇后，AC=1时，则2(t−17)+ (t−17)=1，
2
87
解得t= ；
5
67 87
综上所述，t= 或t= ．
4 5
15．(1)-6，8-5t
7 QP+QA
(2)①点P运动时间为 秒或7秒时，BQ＝BP；②当0
