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跟踪训练 06 向量法求空间角和距离
一．选择题（共15小题）
1．已知 ，2， 、 ，4， 、 ，2， ，则原点 到平面 的距离是
A． B． C．2 D．
【解答】解：由已知可得 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则平面 的一个法向量为 ，
而 ，
所以原点 到平面 的距离 ．
故选： ．
2．在长方体 中， ， ， 为 的中点，则点 到平
面 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ，
轴建立空间直角坐标系，所以 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，4， ，
则 ， ，
设 ， ， 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，又 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
故选： ．
3．如图，在正三棱柱 中，若 ，则点 到直线 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：取 的中点 ， 为等边三角形，则 ，
以 为原点， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，
则 ，
则 在 上的投影的长度为 ，
故点 到直线 的距离 ．
故选： ．
4．如图，在长方体 中， ， ，点 在侧面 上．
若点 到直线 和 的距离相等，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
【解答】解：过点 作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，
过点 作 于 ，连接 ， ，
因为 ，面 面 ，面 面 ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 面 ，
又 面 ，
所以 ，
在平面 上，以 ， 为坐标轴建立平面直角坐标系 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
若点 到直线 和 得距离相等，则 ，即 ，
所以 ，
所以当 ， 时， 取得最小值为 ．
故选： ．
5．空间中有三点 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则点 到直线
的距离为A． B． C．3 D．
【解答】解：间中有三点 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，1， ，
的一个单位方向向量为 ，1， ，
， ， ， ，
，
点 到直线 的距离为 ．
故选： ．
6．如图，在正方体 中，截面 与底面 所成锐二面角
的正切值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，则 ， ， 为二面角 的平面角，
设 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
7．已知直线 ，且向量 是直线 的一个方向向量，则实数 的值为
A． B．1 C．2 D． 或2
【解答】解： 向量 是直线 的一个方向向量，直线 的斜率 ，
，解得： 或 ．
故选： ．
8 ． 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， ， ， ，
， 与 的交点为 ，则A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ， ， ， ，
，
．
故选： ．
9．直线 的方向向量为
A． B． C． D．
【解答】解：根据直线方程 ，可得直线的斜率为 ，
所以直线的一个方向向量为 ，
又 ， ， ，
所以 也是直线的一个方向向量．
故选： ．
10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学
用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底
面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．
现有一如图所示的“堑堵” ，其中 ，若 ，则
到平面 的距离为A． B． C． D．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则 ，4， ， ，0， ， ，4， ， ，0， ，
所以 ，4， ， ，0， ， ，4， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，0， ，
所以 到平面 的距离为 ．
故选： ．11．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 ，底面 是正方形，
， ，且 ．则向量 的模长为
A． B．34 C．52 D．
【解答】解：设 ，则 ，
所以
．
故选： ．
12．如图所示，在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上，且 ，
则点 ， 到平面 的距离之和为
A． B． C． D．【解答】解：在棱长为2的正方体 中， 平面 ， 平面
，
则 ，由 ，得 ，
在 △ 中， ，则 ，即点 为 中点，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，
于是点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
同理点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
连接 ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，
如图，由 ，得 ，解得 ，
在 △ 中， ，
则 ，
所以点 ， 到平面 的距离之和为 ．
故选： ．13．如图，在平行六面体 中，底面 是菱形，侧面 是正方形，
且 ， ， ，若 是 与 的交点，则
A．9 B．7 C．3 D．
【解答】解：在平行六面体 中，底面 是菱形，侧面 是正方
形，且 ， ， ， 是 与 的交点，
四边形 是平行四边形， 是 的中点，
，
， ， ，
，
则 ．
故选： ．
14．如图，设正方体 的棱长为 ．则顶点 到面 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得： 平面 ，
则 为三棱锥 的高，
由题意得： ，
设 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，则 ，解得： ，
故 到平面 的距离为 ．
故选： ．
15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述
的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”
中， 平面 ， ，则直线 与面 所成角的正弦值
为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 平面 ， ， 面 ，底面 为矩形，
所以 ， ， 两两互相垂直，设 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如
图所示，
则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ， ，所以取 ，
设直线 与面 所成角为 ，所以 ，
所以直线 与面 所成角的正弦值为 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知平面 内有一点 ， ， ，平面 的一个法向量为 ，则下列点
中不在平面 内的是
A． ，3， B． ，0， C． ，4， D． ， ，
【解答】解：对于 ， ， ，所以
，又因为 平面 ，所以 平面 ；
对于 ， ， ，所以 与 不垂直，又因
为 平面 ，所以 平面 ；
对于 ， ， ，所以 与 不垂直，又因
为 平面 ，所以 平面 ；
对于 ， ， ，所以 与 不垂直，又因为 平面 ，所以 平面 ．
故选： ．
17．在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，则下列结论中正确
的是
A． 平面 B． 与 所成的角为
C．平面 平面 D． 与平面 所成角为
【解答】解：对于选项 ，因为底面 是正方形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即选项 正确；
对于选项 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又底面 是正方形，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，即 与 所成的角为 ，故选项 错误；
对于选项 ，因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，即
选项 正确；
对于选项 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角，而 ，故选项 正确．
故选： ．
18．如图，矩形 中， ，边 ， 的中点分别为 ， ，直线
交 于点 ，直线 交 于点 ．现分别将 ， 沿 ， 折起，
点 ， 在平面 同侧，则A．当平面 平面 时， 平面
B．当平面 平面 时，
C．当 ， 重合于点 时，二面角 的大小等于
D．当 重合于点 时，三棱锥 与三棱锥 外接球的公共圆的周长为
【解答】解：对于 ，在矩形 中， ， 是 的中点，
所以 ， ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，故 ，
当平面 平面 时，如图1，
又因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 正确．
对于 ，当平面 平面 ，如图1，
由选项 易知在矩形 中， ， ，则 ，
所以在 中， ， ，
同理 ，则 ， ，
又 ， ， ， ， 面 ，
所以 面 ，同理 平面 ，又因为 ，所以平面 与平面 重合，即四边形 为平面四边形，
又 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， 平 面 平 面
，
所以 ，又 ，所以四边形 是平行四边形，则 ，
假设 ，则四边形 为平面图形，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，即 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，而 ，显然矛盾，故 错误；
对于 ，如图2，
由选项 易得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理： ，
所以二面角 的平面角为 ，
在 中，由选项 知 ，
所以 是正三角形，故 ，即二面角 的大小等于 ，故 正
确；
对于 ，如图2，三棱锥 与三棱锥 的公共面为面 ，
所以三棱锥 与三棱锥 外接球的公共圆为 的外接圆，
易知 ， ， ，
所以 ，所以 ，即 为直角三角形，所以 为 的外接圆的直径，即 ，
所以所求公共圆的周长为 ，故 正确，
故选： ．
19．已知空间中三点 ，1， ， ，2， ， ，1， ，则下列说法正确的是
A． 与 是共线向量
B．与 同向的单位向量是
C． 和 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是 ， ，
【解答】解：空间中三点 ，1， ， ，2， ， ，1， ，
，1， ， ，2， ， ，1， ，
， ， ，
对于 ：若存在实数 使得 ，则 ，该方程组无解， 不存在 使得
，
与 不共线，故 错误；
对于 ， 与 同向的单位向量 ，故 正确；
对于 ，故 错误；对于 ：设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 的一个法向量是 ， ， ，故 正确．
故选： ．
20．如图，在棱长为1的正方体 中，则
A． 平面
B．平面 平面
C． 与平面 所成角大小为
D．平面 与平面 所成二面角的余弦值为
【解答】解：对于 ：由正方体的几何特征可得 ，
因为 面 ，
所以 面 ，故 正确；
对于 ：如图建立空间直角坐标系：则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
设面 的法向量 ， ， ，
，0， ， ， ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，1， ，
设面 的法向量 ， ， ，
，1， ， ，1， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，1， ， ， ，
所以 ，所以平面 平面 ，故 正确；
对于 ，0， ，
， ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 与平面 所成角大小为 ，故 错误；
对于 ：设面 的法向量 ， ， ，
，1， ， ，0， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，1， ，
所以 ， ，
所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，故 正确，
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行
六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中 ， ， ， ，
，则该晶胞的体对角线 的长为 ．【解答】解：将晶胞各顶点标上字母，如图所示，
则 ．
由 题 可 知 ， ， ， ，
，
所以 ，
所以
，
故 ，即 的长为 ．
故答案为： ．
22．已知直线 的方向向量为 ， ， ，平面 的法向量为 ，3， ，且 ，则
．
【解答】解：设平面的法向量 ，3， 为 ，
因为 ，
所以 ，所以有 ．
故答案为： ．
23．在三棱锥 中， ，则直线 与平面 所成角
的正弦值为 ．
【解答】解：如图，在射线 上截取 ，在射线 截取 ，得到如下图
所示的几何体．
因为 ， ，故△ 为等边三角形，
故 ，同理 ，而 ，
故△ 为等边三角形，故 ，
故几何体 为正四面体．过 作平面 的垂线，垂足为 ，则 为△ 的
中心，
连接 ，则 为 与平面 （即平面 所成的角，
设 ，则 ，故 ，
故 ．
所以线 与平面 所成角的正弦值为 ．故答案为： ．
24．三棱锥 中， ，底面 是边长为3的正三角形， ， 分别
是 ， 的中点，且 ，若 为三棱锥 外接球上的动点，则点 到平
面 距离的最大值为 ．
【解答】解： 三棱锥 中， ，底面 是边长为3的正三角形，
是正三棱锥， ，
， 分别是 ， 的中点，且
， ，
， 平面 ， 平面 ，
， ，
是正方体的一部分， ， ，
为三棱锥 外接球上的动点，
当 位于正方体的如图所示的顶点外，点 到平面 的距离最大，设最大距离为 ，
，
，解得 ．
故答案为： ．
25．在长方体 中， ， ， ， 为 上一动点，
为 上一动点，则 的最小值为 3 ．
【解答】解：如图 1，过 点作 面 于 ，过 点作 ，垂足为
，
则 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
根据长方体的性质可得 ，
所以， ，
同理可得， ， ，
所以， ，
又 ，所以 ，△ 为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
如图2，将△ ，△ 沿 翻折至同一平面，
则 ，
易知 ， ， ，
所以 ，则△ 为等边三角形，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以， ，
当且仅当 ， ， 共线时等号成立．
故答案为：3．
四．解答题（共3小题）
26．如图，在多面体 中，四边形 是边长为3的正方形，平面 平面
， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明；
若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面 平面 ，平面 平面
， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为四边形 是正方形，
所以 ，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因为 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴、
轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
因为 ， ，
所以 ， ．
则 ，0， ， ， ，
，3， ， ，3， ，
所以 ， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量， ， ， ，所以 ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ， ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ．
（Ⅲ）线段 上存在点 ，点 为 中点，满足 平面 ，证明如下：
设 ，
因为 ， ， ， ，3， ，
所以 ， ， ，
所以 ，3， ， ， ， ， ，
由（Ⅱ）知平面 的一个法向量为 ，2， ，
因为 平面 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以线段 上存在点 ，点 为 中点，满足 平面 ．
27．如图，在长方体 中， ， ，点 在 上，且
．
（Ⅰ）求直线 与 所成角的大小；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建
立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，3， ， ，3， ， ，3， ， ，1， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故直线 与 所成角为 ．
（Ⅱ）因为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，于是 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．28．已知空间中三点 ， ， ， ，1， ， ， ， ．设 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 与 互相垂直，求实数 的值．
【解答】解：（1）因为 ， ， ， ，1， ， ， ， ，
所以 ，2， ， ， ， ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，
，
且 与 互相垂直，所以 ，
即 ，
化简得 ，解得 ．
