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全等三角形综合训练（一）
1．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线PQ过点A且PQ//BC，过点B
为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线PQ上（不与点A重合）．
(1)如图1，DE与AC交于点M，若DF⊥PQ于点D交AB于点F，求证：△BDF≌△MDA；
(2)在图2中，DE与CA延长线交于点M，试猜想线段BD、ED、EM的数量关系，并证明
你的猜想．
(3)在图3中，DE与AC延长线交于点M，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；
如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)BD＝ED−EM，证明见解析；
(3)成立，证明见解析．
【解析】（1）
证明：如图1，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵PQ∥CB，
∴∠DAF＝∠ABC＝45°，
∴ ，
∵DF⊥PQ，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DA＝DF， ， ，
∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，在 BDF与 MDA中， ，
△ △
∴△BDF≌△MDA（ASA）；
（2）
解：结论：BD＝ED−EM．
证明：如图2，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝
45°，则 ADF为等腰直角三角形， ，
△
∴DA＝DF， ，
∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2．
在 BDF与 MDA中， ，
△ △
∴△BDF≌△MDA（ASA），
∴BD＝DM＝ED−EM；
（3）
解：结论成立．
证明：如图3，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，
∵PQ∥CB，
∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∴ ADF为等腰直角三角形， ，
∴△DA＝DF， ，
∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，
∴ ，
在 BDF与 MDA中， ，
△ △
∴△BDF≌△MDA（ASA），
∴BD＝DM＝ED−EM．
2．已知点 为 平分线上一点， 于 ， 于 ，点 ， 分别是射
线 ， 上的点，且 ．
(1)如图①，当点 在线段 上，点 在线段 上时，易证得 ；（要证明）
(2)如图②，当点 在线段 上，点 在线段 的延长线上时，（1）中结论是否还成
立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段 ， 与 之间的数量关系______；
(4)如图③，当点 在线段 的延长线上，点 在线段 上时，若 ，且
，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 仍成立，见解析
(3)
(4)四边形 的面积为32
【解析】（1）
如图1：由 为 平分线上一点， 于 ， 于 ，
，
在 中，
，， ；
（2） 仍成立
点 为 平分线上一点，
又 于 ， 于 ，
，
又
（3） ；
,
又 点 为 平分线上一点，
即AP平分 ，
，
，
，
（4）四边形 的面积为32
点 为 平分线上一点，
又 于 ， 于 ，又
（已证）
又
，且
3．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．
CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明
ABE≌△ADG，再证明 AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写
结论，不需证明）
△ △
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成
立，请直接写出它们之间的数量关系．
【答案】(1)EF=BE+FD
(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；
(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．
【解析】（1）
解：EF=BE+FD．
延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，
∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．
∴∠GAF=∠EAF=60°．
又∵AF=AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG=EF．
∵FG=DF+DG．
∴EF=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD；
（2）
解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在 ABM与 ADF中，
△ △
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠2+∠4= ∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在 AME与 AFE中，
△ △
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，
∴EF=BE+DF；
（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．
在 ABG与 ADF中，
△ △
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，
∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．
4．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以
1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动
的时间为 （s）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 =1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与
PQ是否垂直？请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，
其他条件不变．设点Q的运动速度为 cm/s，是否存在实数 ，使得△ACP与△BPQ全等？
若存在，求出相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析
(2)存在 或 ，使得△ACP与△BPQ全等
【解析】（1）
解：当t=1时，AP=BQ=1cm，
∵AB=4cm，
∴BP=AB-AP=3cm，
又AC=3cm，
∴BP=AC又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）
存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
则 ，
解得 ；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则 ，
解得： ；
综上所述，存在 或 ，使得△ACP与△BPQ全等．
5．（1）【问题发现】如图1， ABC与 CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，
B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
△ △
（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且
CD＝AC，求 BCD的面积．
△
△（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°， ACD面积
为12且CD的长为6，求 BCD的面积．
△
△
【答案】（1）7；（2）S BCD＝8；（3）S BCD＝6．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
△ △
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在 ABC和 CED中，
△ △
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在 ABC和 CED中，
△ △，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S BCD＝ BC•DE＝8；
（3△）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴ ×6•AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在 ACE和 CBF中，
△ △
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S BCD＝ CD•BF＝6．
6．△如图（1）~（3），已知 的平分线OM上有一点P， 的两边与射线OA、
OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设 ， ．(1)如图（1），当 时，试猜想PC与PD， 与 的数量关系（不用说明
理由）；
(2)如图（2），当 ， 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直
接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见详解
(3) ，
【解析】（1）
， ，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，
∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（2）
成立，理由如下：
过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（3）
成立， ， ，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证．
7．在我们的数学课本上有这样一道练习题：
已知，如图1所示， ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，
CE⊥MN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明．
△(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍．
(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：
已知，如图2， ABC、 DEC均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、
AD，过C点作CP⊥BE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理
△ △
由．
【答案】(1)DE=BD+CE，理由见解析
(2)点Q为AD的中点，理由见解析
【解析】（1）
DE=BD+CE，
证明：∵由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在 ABD与 CEA中，
△ △
，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，DA=CE，
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE．
（2）
点Q为AD的中点．理由如下：
作AM垂直CQ的延长线于点M，作DN⊥CQ，垂足为N，∴∠ACB=90，∠BPC=90°，
∴∠ACM+∠BCP=90°，∠BCP+∠CBP=90°，
∴∠ACM=∠CBP，
在 ACM与 BCP中，
△ △
，
∴△ACM≌△CBP（AAS），
∴AM=CP，
同理可证 DCN≌△CEP，
∴DN=CP，
△
∴AM=DN，
又∵∠AMQ=∠DNQ，
∴∠AQM=∠DQN，
在 AMQ与 DNQ中，
△ △
，
∴△AMQ≌△DNQ（AAS），
∴AQ=DQ，
即Q为AD中点．
8．（1）模型的发现：
如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 、 两点在直线 的
同侧， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ， ．请直接写出 、 和 的数
量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若 ， 两点在直线 的异侧，请说明 、 和 的关系，
并证明．（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 ，其
中 ，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 、
和 的关系，并证明．
【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由
见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．
【详解】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型呈现】如图，AD为 的中线， 交AD的延长线于点E，求证：
．
(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中， ，E是BC中点，连接AE，DE，AE
平分 ，求证：DE平分 ．
(3)【拓展探索】如图，在 中， ， 于点D，过点B作 交
的平分线于点E，过点E作 交BC于点F，若 ，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）
证明：∵ ，
∴
∵AD为 的中线，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
（2）
证明：如图，过点E分别作 于点F， 于点G，交DC的延长线于点H．
又∵AE平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴DE平分 ；
（3）
证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作 交CB的延长线于点H．∵ ，AE平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ ， ，
又∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ．
10．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F， ．(1)求证 ；
(2)如图2， 与 的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，过G作
交直线MN于点H，求证 ；
(3)如图3，点P为直线AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分 和 ，探究
与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，证明见解析
【解析】（1）证明：
∵∠1+∠2=180°，
又∵ ，
∴ ，
∴AB∥CD
（2）
证明： 由（1）知， AB∥CD
∴ ．
又∵ 与 的角平分线交于点P，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
（3）
，证明如下：
如图，
∵AB∥CD，FQ平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
11．在 中， ，点 是直线 上一点，连接 ，以 为边向右作 ，
使得 ， ，连接 ．(1)如图1，当点 在 边上时，
①若 时，则 ____________°；
②若 时，则 ____________°；
③观察以上结果，猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(2)当点 在 的延长线上时，请判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①140；②100；③ ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【解析】(1)
①∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ．
故答案为：140．
②由①可得： ，
当 时， ．故答案为：100．
③ ．
方法一：
∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：
∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
即 ．(2)
．
∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
12．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，
BD⊥AC，垂足为D．(1)求证： ；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速
运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时
间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且 ，求此时
t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个
时刻，使得 APB与 BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②存在， 或
【解析】（1）证明：∵BD⊥AC，∴ ，
在Rt BDA和Rt BDC中，
△ △
∴Rt BDA≌Rt BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
△ △
∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在 AHB和 ADB中，
△ △
∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，
∵S ABP＝ S BQC，∴ ，∴ ，
△ △
∴ ，∴ ．
②存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB，
△
∴ ，∴ ；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB，
∴ ，
△
∴ ．
综上所述，当 或 时， APB和 CQB全等．
△ △
13．（1）如图1，在 中， ， ， 是 边上的中线，延长 到点
使 ，连接 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边关系可得
的取值范围是______；
（2）如图2，在 中， 是 边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，且
，求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， 为钝角， 为锐角， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ，连接 ，试探索线段 ， ，
之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1） ；（2）见详解（3） ，证明见详解
【详解】解：（1）如图1，∵ 是 边上的中线，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，∴ ．
故答案为： ；
（2）如图4，延长ED到H，使得 ，连接DH、FH，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∵在 中， ，∴ ；
（3）结论： ．证明：如图5，延长BC至H，使得 ，连接DH，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
14．在 ABC和 DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．
△ △
(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理
由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？
若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)见解析
【解析】（1）证明：如图1中，在 ACE和 BCD中，
△ △
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．
（2）
解：成立．
理由：如图2，
∵
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∵
∴∴
（3）
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S ACE=S BCD，AE=BD，
△ △
∴ ，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
