文档内容
2022-2023 学年八年级下学期数学
期末质量检测 A 卷
（测试范围：八下全部内容）
（考试时间:120分钟 满分:120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题（共8题，每小题3分，共24分）
1．（2023春•岳麓区期中）函数y=√x−2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＜0 D．x＞2
【分析】根据二次根式有意义的条件成立不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关
键．
2．（2021春•惠州期末）下列各式计算错误的是（ ）
A．4√3−√3=3√3 B．√2×√3=√6
C．(√3+√2)(√3−√2)=5 D．√18÷√2=3
【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法、平方差公式及二次根式的除法分别计算可
得．
【解答】解：A、4√3−√3=3√3，此选项计算正确；
B、√2×√3=√6，此选项计算正确；C、(√3+√2)(√3−√2)=（√3）2﹣（√2）2＝3﹣2＝1，此选项计算错误；
D、√18÷√2=√9=3，此选项计算正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法
则．
3．（2022秋•晋中期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱
形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即∠ABC＝90°或AC＝BD，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
4．（2023春•即墨区期中）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，1）两点，则不等式﹣
kx﹣b＜0的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0，即﹣kx﹣b＜0，
所以不等式﹣kx﹣b＜0的解集为x＞﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y＝kx+b在x轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（2023•鹤壁一模）为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结
果如表所示：
月用水量/吨 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是5 B．平均数是7 C．众数是5 D．方差是1
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
4+5
【解答】解：将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 =4.5，因此选项
2
A不符合题意；
3×4+4×6+5×8+6×2
这组数据的平均数为 =4.4（吨），因此选项B不符合题意；
4+6+8+2
这组数据出现次数最多的是5，共出现8次，所以用水量的众数是5，因此选项C符合题意；
1
这组数据的方差为 ×[（3﹣4.4）2×4+（4﹣4.4）2×6+（5﹣4.4）2×8+（6﹣4.4）2×2]≈0.84，因此选项D
20
不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正
确解答的前提．
6．（2023春•金湖县期中）如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，
则∠BAC是（ ） ▱
A．25° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据平行四边形的性质，得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，进而得到CB＝BE，∠BCE＝
∠BEC，设∠EAB的度数为x，列式计算即可．
【解答】解：∵ ABCD，∠D＝105°，
▱∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，CB＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
设∠EAB的度数为x，则：∠EBA＝x，∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝2x，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝
75°﹣x，
∴2x＝75°﹣x，
∴x＝25°，
∴∠BAC＝25°；
故选A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练
掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．
7．若2、5、n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
√(3−n) 2+√(8−n) 2
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简
即可求出答案．
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）
＝﹣3+n+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
8．（2022秋•东明县校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB，AB
=4√5，CB＝4，则△ABD的面积为（ ）A．6 B．7 C．10 D．9
【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，再根据DA＝DB，△BCD是直角三角形，由勾股定理即可求得
BD的长，即可得到AD的长，然后即可计算出△ABD的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB=4√5，CB＝4，
∴AC 8，
=√AB2−CB2=√(4√5) 2−42=
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
AD⋅BC 5×4
∴S△ABD = = =10，
2 2
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2022秋•阜阳期中）甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之
间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．开工第2天时，甲队比乙队多维修200m
B．开工第6天时，甲队比乙队多维修200m
C．甲队维修道路长度为550m时，乙队所维修的道路长度为650m
14
D．开工第2天或第 天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为100m
3
【分析】根据图象数据直接分析B选项错误，进而求得甲队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系
式是y＝75x+250；乙队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝150x；得出甲队维修道路长
度为550m时，乙队所维修的道路长度为600m，判断C选项，当x＝2时，求得甲、乙两队所维修道路长14
度的差为100m，即可判断A选项，当x＞2时，150x﹣（75x+250）＝100，即可求得x= ，继而判断D
3
选项，即可求解．
【解答】解：由图象可得，
甲队开挖到400m时，用了2天，开挖6天时，甲队比乙队少挖了900﹣700＝200（m），故B选项错误；
甲队在2≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（2，400），（6，700））在该函数图象上，
{2k+b=400
；
6k+b=700
{k=75
解得 ，
b=250
即甲队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝75x+250；
乙队在0≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式为y＝ax，
∵点（6，900）在该函数图象上，
∴6a＝900，
解得a＝150，
即乙队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝150x；
∴当75x+250＝550，解得x＝4，
在y＝150x中，当x＝4时，y＝150×4＝600
∴甲队维修道路长度为550m时，乙队所维修的道路长度为600m，故C选项错误；
当x＝2时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差400﹣150×2＝100（m）；故A选项错误
当x＞2时，150x﹣（75x+250）＝100，
14
解得x= ；
3
即开工第2天或第..天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为100m．故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式结合图象分析是解题的关键．
10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，
DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA
＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得
∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是
菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得 AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝
∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；
{
BD=EF
在△DBF和△EFA中， ∠DBF=∠EFA，
BF=FA
∴△DBF≌△EFA（SAS）；
综上所述：①③④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分
线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难
度．
第Ⅱ卷
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围
是 ．
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
12．（2022秋•沙河市期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负
半轴交于一点E，则点E表示的数为 ．
【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为﹣1，可
得该点表示的数．
【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1，
∴AC=√AD2+CD2=√32+12=√10，
则点A到该交点的距离为√10，
∵点A表示的数为﹣1，
∴该点表示的数为：−1−√10，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形
中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
1
13．（2023春•通州区期中）如图，点A（0，4），B（2，4），点P在直线 y= x+1上，当PA＝PB
2
时，点P的坐标是 ．
1
【分析】设点P的坐标为（m， m+1），利用两点间的距离结合PA＝PB，即可得出关于m的一元一次
2
方程，解之即可得出结论．
1
【解答】解：∵点P在直线y= x+1上，
2
1
∴设点P的坐标为（m， m+1）．
2
∵PA＝PB，1 1
∴（m﹣0）2+（ m+1﹣4）2＝（m﹣2）2+（ m+1﹣4）2，
2 2
即4m﹣4＝0，
解得：m＝1，
3
∴点P的坐标为（1， ）．
2
3
故答案为：（1， ）．
2
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及解一元一次方程，利用一次函数
图象上点的坐标特征及两点间的距离，找出关于m的方程是解题的关键．
14．（2022•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大
1
于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点
2
F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ．
【分析】根据勾股定理得到BC=√AB2+AC2=5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC
1
＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE= BC＝2.5，根据平行四边形的性质得到 AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
2
∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，于是得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC=√AB2+AC2=5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
1
∴AE＝CE= BC＝2.5，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾
股定理列出方程是解题的关键．
15．（2022春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（﹣1，0），以OA 为直
1 1
角边作等腰Rt△OA A ，再以OA 为直角边作等腰Rt△OA A ，…，按此规律进行下去，则点A 的
2 3 3 3 4 2022
坐标为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA ＝1，OA =√2，OA ＝（√2）2，…，OA ＝（√2）2019，
1 2 3 2020
再利用A 、A 、A 、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A 在第一象限，即可确
1 2 3 2020
定点A 的坐标．
2020
【解答】解：∵等腰直角三角形OA A 的直角边OA 在x轴的负半轴上，且OA ＝A A ＝1，以OA 为直
1 2 1 1 1 2 2
角边作第二个等腰直角三角形OA A ，以OA 为直角边作第三个等腰直角三角形OA A ，…，
2 3 3 3 4
∴OA ＝1，OA =√2，OA ＝（√2）2，…，OA ＝（√2）2019，
1 2 3 2020
∵A 、A 、A 、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，
1 2 3
2022＝8×252+6，
∴点A 在第四象限，
2022
∵OA ＝（√2）2021，
2022√2
∴点A 的横坐标为： ×（√2）2021＝21010，纵坐标为﹣21010，
2022 2
故答案为：（21010，﹣21010）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于 45°；
斜边等于直角边的√2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
4
16．（2020秋•双流区期末）如图，一次函数y=− x+8的图象与x，y轴交于点A，B，点B关于x轴的
3
对称点为C，动点P，Q分别在线段BC，AB上（P不与B，C重合），且∠APQ＝∠ABO，当△APQ
是以AQ为底边的等腰三角形时，点P的坐标是 ．
【分析】利用坐标轴上点的坐标特征可求出A、B点的坐标，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，
PA＝PQ，根据等腰三角形的性质得∠PQA＝∠PAQ，利用三角形外角性质和等量代换可得∠PQA＝
∠BPA，则BP＝BA＝10，所以OP＝BP﹣OB＝2，于是可得到此时P点坐标为（0，﹣2）．
4
【解答】解：当y＝0时，− x+8＝0，解得x＝6，则A（6，0），
3
4
当x＝0时，y=− x+8＝8，则B（0，8），
3
∴AB=√62+82=10，
当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，PA＝PQ，
∴∠PQA＝∠PAQ，
∵∠PQA＝∠ABO+∠BPQ，∠APQ＝∠ABO，
∴∠PQA＝∠ABO+∠BPQ＝∠APQ+∠BPQ＝∠BPA，
∴∠PAQ＝∠BPA，
∴BP＝BA＝10，
∴OP＝BP﹣OB＝2，
∴P（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练
掌握等腰三角形的性质．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17.（每小题4分，共8分）（2022秋•泉州期末）计算：
1
（1）√3 8+(− ) −1+(−1) 2018+(√3+2) 0−|2−√3|；
2
√4
（2）√8×√6−3 +(√3+2)(√3−2)．
3
【分析】（1）根据立方根、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算．
【解答】计算：（1）原式＝2﹣2+1+1﹣2+√3=√3；
（2）原式=√48−2√3+3﹣4
＝4√3−2√3+3﹣4
＝2√3−1．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18．（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形 ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，
延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
【分析】（1）证明△DAE≌△BCF，可得AD＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即
可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明BG＝BC，然后根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
{∠DEA=∠BFC=90°
AE=CF ，
∠DAE=∠BCF
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAH＝∠BCG，
AB∥CD，
∴∠CGB＝∠GBA，
∵∠DAH＝∠GBA，
∴∠CGB＝∠BCG，
∴BG＝BC，
在Rt△CFB中，
∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，
∴BC2＝BF2+CF2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
∴BC＝5．
∴AD＝BC＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键
是得到△DAE≌△BCF．
19．（每小题4分，共8分）（1）先化简，再求值：x(√6−x)+(x+√5)(x−√5)，其中x=√6−√2．
【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x=√6−√2代入化简后的结果，即可求解．
【解答】解：原式=√6x−x2+x2−5=√6x−5，
当x=√6−√2时，
原式=√6(√6−√2)−5=6−2√3−5=1−2√3．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
（2）已知x=√3+√5，y=√3−√5，试求代数式2x2﹣5xy+2y2的值．
【分析】先利用x、y的值计算出x﹣y＝2√5，xy＝﹣2，再利用完全平方公式得到2x2﹣5xy+2y2＝2（x﹣
y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=√3+√5，y=√3−√5，
∴x﹣y＝2√5，xy＝3﹣5＝﹣2，
∴2x2﹣5xy+2y2＝2x2﹣4xy+2y2﹣xy＝2（x﹣y）2﹣xy＝2×（2√5）2﹣（﹣2）＝42．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体
代入的方法可简化计算．
20．（8分）（2023•玉林一模）收集数据：4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，抽
样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于
课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）
30ㅤ60ㅤ81ㅤ50ㅤ40ㅤ110ㅤ130ㅤ146ㅤ90ㅤ100
60ㅤ81ㅤ120ㅤ140ㅤ70ㅤ81ㅤ10ㅤ20ㅤ100ㅤ81
整理数据：
课外阅读时间 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
x
人数 3 a 8 b
分析数据：
平均数 中位数 众数
80 m 81
解决问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）样本中的中位数和众数落在哪个范围内？
（3）该校现有学生1600人，估计课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生有多少名？
【分析】（1）根据题干提供数据和中位数的定义求解即可；
（2）根据表中提供的数据求解即可；
（3）用总人数乘以样本中课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意知，a＝5，b＝4，81+81
中位数m= =81；
2
（2）根据上表统计显示，样本中的中位数和众数都是81，都落在“80≤x＜120”内；
8
（3） ×1600＝640（名），
20
答：估计课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生有640名．
【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本
和总体的关系是关键．
21．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD
＝80m，CD＝80√3m，且∠ABC＝90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄
像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m，求被监控到的道路长度为多少m？
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC，进而利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝AD＝80m，∠ABC＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=√AB2+BC2=√802+802=80√2（m），∠CAB＝45°，
∵CD＝80√3m，
在△ACD中，AD2+AC2＝802+（80√2）2＝（80√3）2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝90°+45°＝135°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF，
由轴对称的性质，得：DF＝DA＝80m，AE＝EF，
由（1）知，∠BAD＝135°，∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
√2
∴AE＝DE= AD＝40√2（m），
2
∴AF＝2AE＝80√2（m），
∴被监控到的道路长度为80√2m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与
性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．（10分）（2023•冷水滩区校级模拟）为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数
学
魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买 A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知
购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元．
（1）每件A、B奖品的价格各是多少元？
（2）根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共80件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求
w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小
值．
【分析】（1）设每件A种奖品的价格各是x元，每件B种奖品的价格各是y元，得出方程组，解方程组
即可解得答案；
（2）根据甲的费用+乙的费用＝总费用，列出函数关系式即可；
（3）由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，可得a≤60，根据一次函数性质即可答案．
【解答】解：（1）设每件A奖品的价格各是x元，每B奖品的价格各是y元，
{x+2y=64
根据题意得： ，
2x+ y=56
{x=16
解得 ，
y=24
答：每件A奖品的价格是16元，每件B奖品的价格是24元；（2）根据题意得：w＝16a+24（80﹣a）＝﹣8a+1920，
∴w与a的函数关系式为w＝﹣8a+1920（0＜a＜80）；
（3）∵购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，
∴a≤3（80﹣a），
解得a≤60，
在w＝﹣8a+1920中，﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝75时，w最小，最小值为﹣8×60+1920＝1440（元），
答：所需总费用的最小值是1440元．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系
式．
23．（10分）（2023春•连山区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M在DA的延长线上，点
E是直线BD上的动点，连接ME，将线段ME绕点M逆时针旋转60°得到线段MF，连接EF，DF．
（1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段AM与DF的数量关系；
（2）如图②，当点E在BD上时，请写出线段BE，AM，DF之间的数量关系，并给出证明；
（3）当点E在直线BD上时，若AB＝6，AD＝3AM，BD＝2BE，请直接写出线段DF的长．
【分析】（1）连接BD，由旋转的性质得出MB＝MF，∠BMF＝60°，得出△BCD为等边三角形，由等边
三角形的性质得出∠CBD＝60°，BC＝BD，证明△CBF≌△DBM（SAS），由全等三角形的性质得出CF
＝DM，则可得出结论；
（2）过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N，证明△MND是等边三角形，由等三角形的性质得出MN
＝MD＝DN，得出△MEF是等边三角形，可证明△MNE≌△MDF（SAS），由全等三角形的性质得出EN
＝DF，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）DF＝AM，证明，连接BD，
∵将线段ME绕点M逆时针60°得到线段MF，点E与点B重合，
∴MB＝MF，∠BMF＝60°，
∴△BMF为等边三角形，
∴∠FBM＝60°，BM＝BF，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴BC＝CD，∠BCD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，BC＝BD，
∴∠CBF＝∠DBM，
∴△CBF≌△DBM（SAS），
∴CF＝DM，
∵CD＝AD，
∴DF＝AM；
（2）结论：BE+AM＝DF．
证明：如图2，过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABD＝60°，
∵MN∥AB，
∴∠N＝∠ABD＝60°，∠NMD＝∠BAD＝60°，
∴△MND是等边三角形，
∴MN＝MD＝DN，
∵ME＝MF，∠MEF＝60°，
∴△MEF是等边三角形，
∴ME＝MF，∠EMF＝60°，
∴∠NME＝∠DMF，
∴△MNE≌△MDF（SAS），
∴EN＝DF，
即BE+BN＝DF，
∵MD＝DN，AD＝BD，
∴AM＝BN，
∴BE+AM＝DF．
（3）如图3，当点E在线段BD上时，
由（2）可知BE+AM＝DF．
∵AB＝6，
∴AB＝BD＝6，
∵AD＝3AM，BD＝2BE，
∴AM＝2，BE＝3，
∴DF＝2+3＝5；
如图4，当点E在DB的延长线上时，则△DMN和△EFM都是等边三角形，
同（2）可证△MNE≌△MDF（SAS），
∴EN＝DF，
∵MN＝DM＝DN，
∴AM＝BN，
∴AM+DF＝BE，
∵AM＝2，BE＝3，
∴DF＝3﹣2＝1．
综合以上可得DF的长为5或1．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角
形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，3），一
1
次函数y=− x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD＝BE．点M是直线DE上的一个动
2
点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标．【分析】（1）根据矩形的性质，用b表示E点坐标，待定系数法可解；
（2）求出四边形OAED的面积，分两种情况求△ODM的面积；
（3）以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以OD，OM，DM为对角线，分别
求出N点坐标．
1
【解答】解：（1）当x＝0时，代入y=− x+b得，y＝b，D点坐标（0，b），OD＝b，
2
∵OD＝BE，
∴BE＝b，
1
点E的坐标为（2，3﹣b），代入y=− x+b得：3﹣b＝﹣1+b，
2
解得：b＝2；
1 1
（2）∵S四边形OAED =
2
×(OD+AE)×OA=
2
×3×2= 3，
三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，设点M的横坐标为m，
①当点M在线段DE上时，
3 1 3 3
S△ODM =
4
，则
2
×2a=
4
m =
4
，
3 1 13 3 13
解得m= ，代入y=− x+2得，y= ，此时点M（ ， ），
4 2 8 4 8
②当点M在线段ED的延长线上时，
3 1 3
S△ODB =
2
，则
2
×2×(−m)=
2
，
3 1 11 3 11
解得m=− ，代入y=− x+2得，y= ，此时点M（− ， ），
2 2 4 2 4
3 13 3 11
∴M（ ， ）或（− ， ）；
4 8 2 4
（3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1，1
当y＝1时，代入y=− x+2得，x＝2，
2
则点M的坐标是（2，1），
∵四边形OMDN是菱形，
∴点M，N关于y轴对称，
∴点N的坐标为（﹣2，1）；
②当OM为菱形对角线时，如图，则DM＝DO＝2，
1
设M（m，− m+2），由两点间距离公式可得，
2
1
∴（m﹣0）2+（− m+2﹣2）2＝22，
2
4 4
解得：m= √5或m=− √5，
5 5
4 2√5 4 2√5
∴M（− √5， +2）或M（ √5，− +2），
5 5 5 5
∵MN＝OD＝2，
4 2√5 4 2√5
∴N（− √5， ）或N（ √5，− ）；
5 5 5 5③当DM为菱形对角线时，如图，则MO＝DO＝2，
1
同理：（m﹣0）2+（− m+2）2＝22，
2
8
解得：m＝0（舍去）或m= ，
5
8 6
∴M（ ， ），
5 5
∵MN＝OD＝2，
8 16
∴N（ ， ），
5 5
4 2√5 4 2√5 8 16
综上所述：点N的坐标为（﹣2，1）或（− √5， ）或（ √5，− ）或（ ， ）．
5 5 5 5 5 5
【点评】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键
是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段
长．
