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第 5 章 一元一次方程 知识清单
★知识点1：方程
准确把握方程的两个条件：一、必须含有未知数，二、必须是等式，两者缺一不可．
★知识点2：一元一次方程
从三个方面理解一元一次方程的概念：一、一元一次方程首先属于整式方程，即方程两边不含分母，或虽
含分母，但分母中不能有未知数.二、一元，即方程中只含有一个未知数，此未知数可以出现多次，但只
能是同一未知数，同一个方程中不能出现两个不同的未知数.三、一次，未知数的次数是一次，指的是化
为一般形式ax+b=0（a≠0）后,未知数的次数是一次.★知识点3：方程的解和解方程
这是两个不同的概念,方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性.而解方程是求方程解的过
程，具有动词性.
1. 叫方程.
2. 列方程时，要首先 ，然后根据问题中的 列出方程.
3. 什么是一元一次方程？
4. 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的 ，求方程解的过程叫 .
★知识点4：对等式两个性质得理解和把握
理解等式性质是对等式进行变形的重要理论依据，应用时需要把握两点：①等式两边变形做到两个“同”，
即同加、同减、同乘或同除以，这是第一个“同”，另一个是同一个数（或式子）；②等式性质2中，当
两边除以某一个数时，次数不能为0，这一点容易忽略，需特别注意．
★知识点5：依据等式性质解简单的方程
要使方程逐渐化为“a=b”的形式，关键是判断，需使方程两边做怎样的变形，弄清这种变化依据的是等
式的哪一个性质.
5. 等式的性质1： ；
用式子表示： .
6. 等式的性质2： ；
用式子表示： .
★知识点6：合并的思想在解方程中的应用
在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边按合并同类项的方法合并为一项，即(a+b)x=c，使方程逐渐
化为ax=b的形式体现化归思想．
★知识点7：找数学规律找数学规律的题目，都会涉及一个或几个变化的量．而找规律，多数情况下，是指变量的变化规律．所以，
抓住了变量就等于抓住了解决问题的关键．而这些变量通常按照一定的顺序给出，观察这些序列号与变量
的关系是关键．
★知识点8：利用方程这个工具解应用问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
7. 合并同类项是指 .
8. 列方程的基本相等关系：总量= .
9. 工作总量= × ，它也是列方程时常用的基本等量关系.
10. 观察以下数列，指出该数列的特征：2，－4，6，－8，10，－12，…
特征： .
11. 0，1，1，2，3，5，8，13，21，…
特征： .
12. 观察下面两列数：
①2，－4，8，－16，32，… ②－6，12，－24，48，－96，…
这两列数之间有什么联系？
★知识点9：用移项的方法解一元一次方程
移项是解一元一次方程步骤中重要的一步，注意两点：形式上是把方程中的某一项改变符号后从方程的某
一边移到另一边，本质上是依据等式的性质1，应用时，要让学生理解这样做的依据，从而确信它的正确
性，熟练掌握移项的方法和目的．
★知识点10：利用方程这个工具解应用问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
★知识点11：题目中含有比的应用题
题目中含有比的应用题在设未知数时，一般根据比去设，如果题目已知的比是a：b，一般设为ax和bx两
部分，如果比是a：b：c，一般设为ax, bx,cx在计算时较简单．
13. 移项：把等式一边的某项 移到 叫做移项.
14. 在列方程解应用题中：表示 是一个基本的相等关系.
15. 路程= × ，这是行程问题中常用的基本等量关系.
16. 两个数a与b（b≠0）相除，叫做a与b的比，记作 或者 .其中a叫做比的
，b叫做比的 .
17. 七年一班有学生42人，如果男、女生人数的比是4:3，求该班的男女生人数.在设未知数时，一般设男
生为 人，女生为 人.★知识点12：去括号法则
把握去括号法则的理论依据是乘法分配律，用这一点去理解去括号的法则，特别注意括号前的系数为
“－”时，去括号后，里面各项都改变符号．
★知识点13：利用方程这个工具解应用问题
通过实际问题，重点让学生经历和感受方程较算式的优越性，突出数学模型的广泛性和有效性.
18. 方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤，去括号的法则是：
（1） .
（2） .
19. 去括号：（1）a－(b－c)＝ .
（2）a＋(b－c)＝ .
★知识点14：去分母解一元一次方程
通过去分母使方程的系数化为整数，减少分数参与计算，降低计算的难度，另外把握去分母的理论依据是
等式的性质2，两边同乘以的数应为所有分母的最小公倍数．
注意：①去分母时要注意分数线的括号作用；②去分母时不要漏乘不含分母的项．
★知识点15：解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a转化.
20. 解一元一次方程的过程中，去分母的具体做法是： ，依据是
.
21. 解一元一次方程的一般步骤是：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ .
★知识点16：找出相等关系列方程
首先恰当设元，并用未知数表示相关的量。其次，找等量关系是关键，善于分析问题中的不变量，利用不
变量列方程；善于利用“总量等于各个分量之和”列方程；善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相
等关系列方程. 另外，熟练掌握各类实际问题中的基本关系式，也能为正确列方程打下基础.
★知识点17：利用方程解决实际问题的基本思路
①首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后，
用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．②对于各种
各样类型的实际问题，掌握其基本关系式是关键.③用“x”表示某些量作为已知量参与运算，使关系更简
洁、明朗，随着问题的复杂化更显示出比算术方法的优越性.
22. 工作量、工作效率和工作时间之间的关系： .23. 人均效率是个平均值，它表示平均每人每单位时间的工作量，如一件工作m人n小时完成，那么人均
效率为 .
24. 解一元一次方程的一般步骤是 .
25. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ，
， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.
★知识点18：盈亏问题
商品经营中的盈利与亏损，是生活中经常遇到的问题，它不是依靠直觉进行判断，必须依据各个量之间的
关系进行计算才能得出正确结果．
26. 在销售问题中，主要有以下几个量：进价、售价、利润、利润率，它们具体的关系是什么？
27. 观察你所得到的答案，看一看，这四个量中，知道其中两个量，是否能够求得其余两个量？
28.用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ，
， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.
★知识点19：球赛积分表问题
积分多少与比赛的胜负场次、积分规则有关，弄清实际问题中所包含的数学问题是关键.通过积分表来了解
胜负的场次，这样的形式在生活中很普遍，要善于观察分析，学习读懂表格.
29. 足球赛的规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某球队比赛3场得了3分，则该球队
的胜负场次可能是： .
30. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ，
， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.
★知识点20：解决优化方案问题的一般步骤
①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；②用特殊值试探法选择方案，取小于
（或大于）一元一次方程解的比值，比较两种方案的优劣后下结论．
★知识点21：方法指导
了解实际背景，创设具体情境，有助于理解问题本身的意义，也是解决这类问题的捷径.
31.用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即 ，
， ， ， . 正确分析问题中的 关系是列方程的基础.
【参考答案】1. 含有未知数的等式；
2. 设字母表示未知数；相等关系；
3. 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程；
4. 解；解方程.
5. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c；
6. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等；如果 a=b，那么ac=bc；如果a=b
（c≠0），那么 ．
7. 把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变.
8. 各部分量的和；
9. 工作时间；工作效率；
10. 绝对值为连续偶数，奇数位置为正，偶数位置为负；
11. 从第3个数开始，后一个数是前两个数的和；
12. 第二列数是第一列数所对应的数的－3倍.
13. 变号后；另一边；
14. 同一个量的两个不同的式子相等；
15. 速度；时间；
16. a：b； ；前项；后项；
17. 4x；3x.
18. （1）括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；
（2）括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反；
19. （1）a－b＋c；
（2）a＋b－c.
20. 方程各项都乘所有分母的最小公倍数；等式的性质2；
21. 去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
22. 工作量＝工作效率×工作时间；
23. ；24. 去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
25. 设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
26. 利润＝售价－进价；利润率＝ ·100%；
27. 能；
28. 设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
29. 胜1场、负2场或平3场.
30. 设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
31.设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.
