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必考点 11 整式的乘法
●题型一 幂的运算性质运用
【例题1】下列计算正确的是（ ）
A．（3a）2＝3a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
2 4
C．（ab2）3＝a3b5 D．（ a）2= a2
3 3
【例题2】（2022秋•渝北区校级期中）已知3m+2n﹣3＝0，则23m×4n的值是（ ）
1 1
A．− B． C．﹣8 D．8
8 8
【例题3】（2021秋•松北区期中）如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值等于（ ）
A．m＝9，n＝4 B．m＝3，n＝4 C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6
【例题4】（2021秋•南开区校级期中）已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【例题5】计算；
（1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2；
（3）（﹣2anb3n）2+（a2b6）n； （4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3．
【解题技巧提炼】
1．同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）
2．幂的乘方
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数）
3．积的乘方
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
●题型二 幂的运算性质的逆用
【例题6】（2022•云安区模拟）已知4n＝3，8m＝5，则22n+3m＝（ ）A．1 B．2 C．8 D．15
【例题7】（2021春•上城区校级期中）若5m＝3，5n＝4，则53m﹣2n的值是（ ）
9 27 5
A． B．11 C． D．
16 16 16
【例题8】（2022春•江阴市校级月考）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值；
（2）已知9a×5×15b＝35×52，求a、b的值．
【例题9】（2021秋•巴林左旗期末）（1）若3×27m+9m＝316，求m的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．
【解题技巧提炼】
1.同底数幂的乘法的逆用：am+n＝am•an（m，n是正整数）
2.幂的乘方的逆用： amn＝（am）n＝（an）m（m，n是正整数）
3.积的乘方的逆用：anbn＝（ab）n（n是正整数）
4.同底数幂的除法的逆用：am﹣n＝am÷an（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
●题型三 整式的混合运算
【例题10】计算下列各题：
3 6 9 5
（1）(− x3y3+ x3y2− xy3 )⋅ x y3 ． （2）（2x2﹣3）（1﹣2x）；
4 5 10 3
（3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）；（5）2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）． （6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣
9）．
（7）（3x2y2﹣xy2）÷xy•（3x+1）． （8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b．
【解题技巧提炼】
1．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
3．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4．整式的除法
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．●题型四 整式的化简求值
★★★1、先化简，再将字母的值代入求值
【例题11】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【例题12】（2021秋•克东县期末）先化简，再求值：
1 1 1 1
[（− x3y4）3+（− xy2）2•3xy2]÷（− xy2）3，其中x＝﹣2，y= ．
2 6 2 2
★★★2、整体代入求值
【例题13】（2022春•淮阴区期中）已知x2+x＝5，则代数式（x+5）（x﹣4）的值为 ．
【例题14】（2021秋•仁寿县校级月考）先化简，再求值．2x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2，其
中（x﹣1）2+|y+2|＝0．
【解题技巧提炼】
整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
●题型五 整式乘法的几何表示
【例题15】通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）A．a（b﹣x）＝ab﹣ax
B．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2
C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx
D．b（a﹣x）＝ab﹣bx
【例题16】如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方
形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片 张．
【解题技巧提炼】
验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表
示图形的面积，再整理验证.
●题型六 整式的乘除的应用
★★★1、多项式不含某项时求字母系数的值
【例题17】如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（ ）
1 1
A．2 B． C．﹣2 D．−
2 2
【例题18】（2021秋•璧山区校级期中）已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项．
（m，n为常数）
（1）求m、n的值；（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【解题技巧提炼】
若所求多项式中不含某一项（或某几项），则这一项（或这几项）的系数为0，据此可构造方程（组）确定
未知字母的值，从而解决其它问题；当一个整式的取值与某个字母无关时，说明该整式化简后不含该字母.
★★★2、确定多项式中的未知项
【例题19】（2021春•普宁市期中）某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂
笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣ +7x2y2）÷
（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y、被除式的第二项中被钢笔水弄污了，你能算出被污染的内容是 ．
【例题20】某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课
堂上讲的内容，他突然发现一道题：
1 1 5 1
（﹣x2+3yx− y2）﹣（− x2+■xy− y2）=− x2﹣xy+■y2，其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，
2 2 2 2
那么这两处地方的数字之积应是 ．
★★★3、看错某项求字母系数的值
【例题21】（2021春•神木市期末）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇
将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．【例题22】（2021春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）
（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
●题型七 整式的乘除在实际问题中的应用
3
【例题23】一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为 a3
2
m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．
【例题24】（2021秋•抚远市期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，
规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝
3，b＝2时的绿化面积．【解题技巧提炼】
整式的乘除在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即
可.
●题型八 整式乘除法中的规律探索问题
【例题25】观察下列格式：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；
（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）＝a5﹣1；
…
根据前面的规律解答下列问题：
（1）（a﹣1） ＝a10﹣1；
（2）（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣2+…+a+1）＝ ．
【例题26】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3．
【解题技巧提炼】
整式乘除法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.
◆◆◆题型一 幂的运算性质运用
1．（2022春•岳麓区校级期末）计算（2x3y）2的结果是（ ）
A．8x6y2 B．4x6y2 C．4x5y2 D．8x5y2
2．（2022•江岸区校级模拟）计算x2•x4﹣（3x3）2的结果是（ ）A．﹣5x5 B．﹣8x6 C．7x6 D．﹣8x5
3．（2022春•长安区期中）若3n+3n+3n＝36，则n＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022春•无锡期中）计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（ ）
A．﹣（b﹣a）10 B．（b﹣a）30 C．（b﹣a）10 D．﹣（b﹣a）30
5．（2022春•海曙区校级期中）若m，n均是正整数，且2m+1×4n＝128，则m+n的所有可能值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．5或4 D．6或5
6．（2022春•宝应县校级月考）计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3； （2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4．
◆◆◆题型二 幂的运算性质的逆用
7．（2021秋•盐池县期末）10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝（ ）
A．2ab B．a+b C．a+b+2 D．100ab
8．若4m＝a，8n＝b，则22m+6n的值是（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
9．（2021秋•惠民县期末）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
10．（2022春•滨海县月考）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示22m+3n的值；
（2）已知3×27x×81＝323，求x的值．
◆◆◆题型三 整式的混合运算
11．（1）（2022春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．（2）（2021春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．
12．计算：
（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）； （2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）；
（3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． （4）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）．
（5）（﹣a2）3÷a3+（a+2）（a2﹣2a+4）． （6）[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
◆◆◆题型四 整式的化简求值
13．先化简，再求值：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2），其中x＝﹣1．
14．已知2a﹣b＝5，求[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b的值．◆◆◆题型五 整式乘法的几何表示
15．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
16．（2022春•保定期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，
你认为其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
◆◆◆题型六 整式的乘除的应用
17．点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被钢笔水弄污了．具体情况如下：
（15x3y5﹣★﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）＝▲+2xy2+4，被除式的第二项被钢笔水弄污成★，商的第一项也被
钢笔水弄污成▲，请你求出这两处被弄污了的内容★，▲．
18．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的
结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出
a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．◆◆◆题型七 整式的乘除在实际问题中的应用
1
19．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高 a米．
2
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
20．如图，要设计一幅长为（6x+4y）厘米，宽为（4x+2y）厘米的长方形图案，其中两横两竖涂上阴影，阴
影部分的宽均为x厘米．
（1）阴影部分的面积是多少平方厘米？
（2）空白区域的面积是多少平方厘米？
◆◆◆题型八 整式乘除法中的规律探索问题
21．计算下列各式，然后回答问题．
（a+4）（a+3）＝ ；（a+4）（a﹣3）＝ ；
（a﹣4）（a+3）＝ ；（a﹣4）（a﹣3）＝ ．
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果．（x+a）（x+b）＝ ．
（2）运用上述结果，写出下列各题结果．
①（x+2008）（x﹣1000）＝ ；
②（x﹣2005）（x﹣2000）＝ ．
22．观察下列式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．
（1）（x7﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
（2）根据（1）的结果，求1+2+22+23+24+25+26+27的值．
1．（2022春•漳州期中）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c的关系为①b＝a+1；②c＝a+2；
③a+c＝2b；④b+c＝2a+3，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
2．（2022秋•原阳县月考）计算（ ）2017×（﹣2.5）2016×（﹣1）2017的结果是（ ）
5
2 5 2 5
A． B． C．− D．−
5 2 5 2
3．（2022春•莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022
4．如果单项式﹣3ma﹣2bn2a+b与m3n8b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A．﹣3m6n16 B．﹣3m6n32 C．﹣3m3n8 D．﹣9m6n16
|a b| |1 0 |
5．（2021秋•丰南区期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算 = ad﹣bc，如 = 1×（﹣
c d 2 (−2)
|(x+1) (x+2)|
2）﹣0×2＝﹣2，那么当 = 27时，则x＝ ．
(x−3) (x−1)
6．（2022春•高淳区校级期中）若P＝（x﹣3）（x﹣4），Q＝（x﹣2）（x﹣5），则P与Q的大小关系
是（ ）A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．由x的取值而定
7．（2022秋•仁寿县校级月考）若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a+2）（b﹣2）的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
8．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为 3a+2b，宽为a+b的长
方形，需要B类卡片（ ）张．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
10．（2022春•江都区校级月考）（1）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
（2）已知2a×3b×37c＝3996，其中a、b、c为正整数，求（a﹣b﹣c）10的值．
11．计算：
（1）[（﹣3a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；
2 3
（3）（﹣0.5×3 ）199×（2× ）200； （4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）．
3 11
12 ． （ 2021 秋 • 邻 水 县 期 末 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： 若 （ a﹣2 ） 2+|b+1| ＝ 0 ， 求
2
3(3a2+ ab−b2 )−2(4a2+ab−2b2
)的值．
313．若（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3﹣6x2+11x﹣6，求m，n的值．
14．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，
那么正确的计算结果是多少？
15．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区
域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
16．若（3x2﹣2x+1）（x+b）中不含x2项，求b的值，并求（3x2﹣2x+1）（x+b）的值．
17．如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）
米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化4b平方米，每小时收费300元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
18．阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y
＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y
＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试!
（1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；
（2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2018的值．
19．（2021春•秦都区月考）如图，甲长方形的长为 m+7，宽为m+1，面积为S ；乙长方形的长为m+4，
1
宽为m+2，面积为S ．（m为正整数）
2
（1）试比较S ，S 的大小；
1 2
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积 S与图中的甲长方形
面积S 的差（即S﹣S ）是一个常数，求出这个常数．
1 120．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
