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期末检测卷 01（冲刺满分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．一组数据2，4，x，6，8的众数为2，则这组数据的中位数为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】∵数据2，4，x，6，8的众数为2，
∴ ，
则数据重新排列为2、2、4、6、8，所以中位数为4，
故选B．
4．下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A．圆锥的主视图是三角形，不合题意；
B．球的主视图是圆，符合题意；
C．正方体的主视图是正方形，不合题意；
D．圆柱的主视图是长方形，不合题意；
故选：B．
5．下列各式计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项正确，符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、 故选项错误，不符合题意；
故选：B6．在函数 ，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 且 ；
故选D．
7．如图， 是半圆 的直径， 、 是半圆上两点，且满足 ， ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是圆 的内接四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ，
故选：B．8．如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则图中
的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】∵由图可知， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
，
故选：C．
9．已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 与二次函数 在同一坐标系
内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴ ，
A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴ ， ， ，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故A错误；
B．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴ ， ， ，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，故B错误；
C．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴ ， ， ，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故C错误；
D．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴ ， ， ，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，故D正确．
故选：D．
10．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图
中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第n个图中黑色正
方形纸片的张数为（ ）
…．
A．4n+1 B．3n+1 C．3n D．2n+1
【答案】D
【详解】第1个图中有3张黑色正方形纸片，
第2个图中有5张黑色正方形纸片，
第3个图中有7张黑色正方形纸片，
…，
依次类推，第n个图中黑色正方形纸片的张数为2n+1，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．分解因式： ______．
【答案】
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若一次函数 的函数值y随自变量x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，则
m的取值范围是______．
【答案】 ##
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随自变量x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴
相交，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
13．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的
和为______．
【答案】3
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ，
又∵方程为一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的所有非负整数k： ，
∴满足条件的所有非负整数k的和为： ；故答案为： ．
14．如图，在正方形 中， ，点E为对角线 上一点， ，交 边于点F，连接
交 于点G，若 ，则 的面积为______．
【答案】
【详解】解：连接 ，作 于 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
则在四边形 中：
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，则
又∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（6分）解方程： ．
【答案】
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
∴分式方程的解为 ．
16．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【详解】解：原式= ，
；
当 时，原式= ．17．（8分）如图， ， 两村坐落在两条相交公路 ， 旁，现计划在锐角 内新建一所学校
，学校 的位置必须满足下列条件：①到两公路 ， 的距离相等；②到 ， 两村的距离也相等. 请
确定该学校 的位置（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）．
【答案】见详解
【详解】如图，作 的平分线、 的垂直平分线，两线的交点为P，
学校 的位置即为所求．
证明：∵点 在 的平分线上，
∴点 到 的两边 ， 的距离相等，即到两公路 ， 的距离相等，
∵点 在 的垂直平分线上，
∴点 到点 ， 的距离相等，即到 ， 两村的距离也相等，
∴点 满足要求．
18．（10分）列一元一次方程（组）解应用题．
入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物
资每吨 万元，B种物资每吨 万元．
(1)求A，B两种物资各购进了多少吨？
(2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资 一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资 和2
吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？
【答案】(1)购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨
(2)租用大货车5辆，租用大货车4辆
【详解】（1）解：设购进A种物资x吨，则购进B种物资 吨，
根据题意得 ，
解得 ，
则 ，即购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨，
答：购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨；
（2）设租用大货车m辆，租用大货车n辆，
根据题意得 ，
解得 ，
即租用大货车5辆，租用大货车4辆．
答：租用大货车5辆，租用大货车4辆．
19．（10分）在一次数学节活动中，学校开展了数学科普讲座、数学游园会、纪念数学家、数学园地刊物
展四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同
学进行了“你最喜欢哪一项数学活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条
形统计图和扇形统计图：
(1)请补全条形统计图．
(2)估计全体1800名学生中最喜欢数学游园会的人数约为_______人．
(3)现从喜好数学游园会的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法
求恰好甲和丙被选到的概率．
【答案】(1)见解析
(2)810
(3)
【详解】（1）解：喜欢纪念数学家的人数为： (名)，
喜欢数学游园会的人数为： (名)，
补全条形统计图如图所示：（2）解： (名)，
（3）解：画树状图为：
由图可知，所有可能结果共有12种，恰好甲和丙被选到的2种，所以恰好甲和丙被选到的概率为 ，
答：恰好甲和丙被选到的概率为 ．
20．（10分）如图， 的三个顶点都在 上， 是 的直径， 于E．
(1)求证：E为 的中点；
(2)连接 并延长，交 于点F，交 于点G，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的
长．
【答案】(1)见解析
(2) ；
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴E为 的中点；
（2）解：连接 并延长交圆于点G、 于点F，连接 ，如图：
在 中， ，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
21．（10分）如图，一次函数 的图象分别与 轴， 轴的正半轴交于点 、 ，一次函数
的图象与直线 交于点 ，且交于 轴于点 ．
(1)求 的值及点 、 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)若点 是 轴上的一个动点，当 时，求出点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ；
(2)2
(3)点 的坐标为 或
【详解】（1）解：一次函数 的图象经过点 ，
得 ，解得 ，
一次函数 的图象分别与 轴， 轴的正半轴交于点 、 ，
当 时， ，
解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
， ， ；
（2）解：把点 一次函数 ，得 ，解得 ，
，
当 时， ，即 ．
，
；
（3）解： 点 是 轴上的一个动点，设 ，
，
，
，
或 ，
点 的坐标为 或 ．
22．（12分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到
△ABC ；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△ABC，连接C B，则C B 与BC的位置关
1 1 2 1 1 1 1 1
系为 ；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C B，探究C B 与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
1 1 1 1
（3）如图3，在图2的基础上，连接BB，若C B= BC，△C BB 的面积为4，则△BBC的面积为
1 1 1 1 1 1
．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）6．
【详解】试题分析：（1）由旋转的性质可得∠C BC=∠B BC=90°，BC =BC=CB ，根据平行线的判定方法
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可得BC ∥CB ，根据平行线的判定即可判定四边形BCB C 是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到
1 1 1 1
结论；（2）C B ∥BC，过C 作C E∥B C，交BC于E，由平行线的性质可得∠C EB=∠B CB，再由旋转的
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性质可得BC =BC=B C，∠C BC=∠B CB，即可得∠C BC=∠C EB，由等腰三角形的性质可得C B=C E，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以C E=B C，即可判定四边形C ECB 是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论；（3）已知
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C B ∥BC，可得C B 与BC 之间的距离相等，设这个距离为h，则△C BB 的面积为 C B ×h，△B BC的
1 1 1 1 1 1 1 1 1
面积为 CB×h，又因C B = BC，△C BB 的面积为4，即可得△B BC的面积为10.
1 1 1 1 1
试题解析：
（1）平行.
（2）C B ∥BC；
1 1
证明：过C 作C E∥B C，交BC于E，则∠C EB=∠B CB，
1 1 1 1 1
由旋转的性质知，BC =BC=B C，∠C BC=∠B CB，
1 1 1 1
∴∠C BC=∠C EB，
1 1
∴C B=C E，
1 1
∴C E=B C，
1 1
∴四边形C ECB 是平行四边形，
1 1
∴C B ∥BC；
1 1
（3）答案为：10．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，一次函数 与 轴交于点 ，若点关于 轴的对称点 在一次函数 的图象上．
(1)求 的值；
(2)若一次函数 与一次函数 交于 ，且点 关于原点的对称点为点 ．求过 ， ， 三
点对应的二次函数表达式；
(3) 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点 ．
①当四边形 为菱形时，求点 的坐标；
②若点 的横坐标为 ，当 为何值时，四边形 的面积最大？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① 或 ；②当 时，四边形 的面积最大．理由见解析
【详解】（1）解： 一次函数 与 轴交于点 ，点 关于 轴的对称点 在一次函数
的图象上，
点 坐标为 ，
点 坐标为 ，
点 在一次函数 的图象上，
，
；
（2）解：由方程组 ，解得 ，点坐标为 ，
又 点为 点关于原点的对称点，
点坐标为 ，
一次函数 与 轴交于点 ，
点坐标为 ，
设二次函数对应的函数表达式为 ，
把 ， ， 三点的坐标分别代入，得 ，解得 ，
二次函数对应的函数表达式为 ；
（3）①当四边形 为菱形时， ，
直线 对应的函数表达式为 ，
直线 对应的函数表达式为 ．
联立方程组 ．
解得 或 ，
点坐标为 或 ；
②当 时，四边形 的面积最大．理由如下：
如图，过 作 ，垂足为 ，过 作 轴的垂线，交直线 于点 ，
易知 ，线段 的长固定不变，
当 最大时，四边形 的面积最大，
易知 （固定不变），
当 最大时， 也最大，
点在二次函数图象上， 点在一次函数 的图象上，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
，
当 时， 有最大值1，此时 有最大值，即四边形 的面积最大．
