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期末检测卷（培优卷）
一．选择题（每小题2分，共16分）
1.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、 ，故选项错误，不符合题意；
B、 ，故选项错误，不符合题意；
C、 ，故选项错误，不符合题意；
D、 ，故选项正确，符合题意，
故选：D．
2.若 则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．∵ 不等式两边同时加2，不等号方向不变，∴ ，故A不符合题意
B．∵ 不等式两边同时乘以-2，-2＜0，不等号方向改变，∴ ，故B不符合题意
C．∵ 不等式两边同时乘以 ， ＞0，不等号方向不变，∴ ，故C不符合题意
D．若 不一定成立，如m=-1，n=-2，得 ，故D符合题意
故选：D
3.已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足 ，则该长方形
的面积为（ ）cm2
A． B． C．15 D．16
【答案】A【解析】解：∵长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，
∴ ，∴ ①，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ②，
联立①②解得 ，
∴长方形的面积 ，
故选A．
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A
1
的坐标为（4，2），则点C 的坐标为（ ）
1
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（3，3）
【答案】B
【解析】解：∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝DC＝2，
∴ 点C的坐标是（-2-2,1+2），即（-4，3），
∵点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A 的坐标为（4，2），
1
∴ 点A是向右平移6个单位，向上平移1个单位得到点A，
1
∵点C（-4，3）的平移规律和点A的平移规律相同，
∴点C 的坐标是（-4＋6，3+1），即点C 的坐标是（2，4）．
1 1
故选：B．
5.为了解某市七年级20000名学生的身高，从中抽取了500名学生，对其身高进行统计分析，以下说法正
确的是 （ ）
A．每个学生是个体 B．20000名学生是总体C．500名学生是抽取的一个样本 D．每个学生的身高是个体
【答案】D
【解析】解：A．每个学生的身高是个体，故本选项不合题意；
B．20000名学生的身高是总体，故本选项不合题意；
C．500名学生的身高是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D．每个学生的身高是个体，故本选项符合题意．
故选：D．
6.若方程组 的解 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵0＜x+y＜1，
观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4，
两边都除以4得，x+y= ，所以 ＞0，解得k＞-4；
＜1，解得k＜0．所以-4＜k＜0．
故选B．
7.如图，已知 ， 平分 ， ， ．若 ，给出下列结论：①
；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】 （已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ 平分 （已知）∴ （角平分线的定义）
∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∴
∴ 即 平分
∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∴ ，
∴
， ，所以④错误；
故答案为：C．
8.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”
的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 ，第二次移动到
点 第n次移动到点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），A（2，1），A（3，1），…，
1 2 3 4 5 6
2022÷4=505…2，
∴点A 的坐标为（505×2+1，1），
2022
∴A （1011，1），
2022
故选：D．
二．填空题（每小题2分，共16分）9.计算： ＝_____．
【答案】2
【解析】 － ＝5-3=2
故答案为2
10.若不等式组 无解，则 的取值范围是________
【答案】a≥2
【解析】不等式组 无解，
根据大大小小找不到（无解）可知：2a-1≥a+1，
解得a≥2．
故答案为a≥2．
11.若实数m的平方根是 和 ，则m的值为___________．
【答案】9
【解析】解：由题意可得a+1＋a−5=0
解得：a=2
∴m=(2+1)2=9
故答案为：9．
12.如图，周长为34cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积
为 ______cm2
【答案】70
【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm.则
13.第一象限内有两点 ，将线段 平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平
移后的对应点的坐标是________________．【答案】 或
【解析】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0-（n-2）=-n+2，
∴n-n+2=2，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m，
∴m-3-m=-3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（-3，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-3，0）．
故答案为（0，2）或（-3，0）．
14.将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD=90°，∠BDC=30°，若
∠1=78°，则∠2的度数为________．
【答案】18°
【解析】解： ， ，
∵ ，
∴四边形AEGH为矩形，
∵ ，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴故答案为： ．
15.若关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：对于 ，
由①得： ，
由②得： ，
∵原不等式组恰有3个整数解，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
16.如图，长方形ABCD的边AB＝6，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为________．
【答案】28
【解析】由图可知五个小长方形的周长之和即为长方形ABCD的周长=2×（6+8）=28.
故答案为28.
三．解答题（共68分）
17.（6分）解方程组：
【答案】
【解析】解：由 得：
将 代入 并化简得：
解得：
将 代入 得
故方程的解为
18.（6分）解不等式组： ．
【答案】
【解析】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
19.（6分）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2) 的平方根又是多少？
【答案】（1）49；（2）± .
【解析】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）=0
解得m=4．
则这个正数是（m+3）2=49．
（2） =3，则它的平方根是± ．
20.（6分）如图，在一个 的正方形 网格中有一个格点三角形 （三个顶点在小正方形的顶
点上），每个小正方形的边长均为 ．(1)在网格中画出三角形 向下平移 个单位长度得到的三角形 ；
(2)若以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，点 为原点，建立平面直角坐标系，写出 ， 两点
的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)图见解析， ，
【解析】（1）解：如图，三角形 即为所求；
（2）平面直角坐标系如图所示 ， ．
21.（6分）如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求
画图并猜想证明：（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；
（2）过点E画EF∥OC，交CD于点F．请你猜想∠OAB与∠CEF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）画图见解析；（2）∠OAB=∠CEF，证明见解析．
【解析】解：(1)按要求画图如下图：
(2)∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
证明：∵AB⊥ON，CE⊥ON（已知），
∴∠OBA=∠OEC=90°（垂直定义）．
∴AB∥CE（同位角相等，两条直线平行）．
∴∠OAB=∠OCE（两直线平行，同位角相等）．
∵EF∥OC，
∴∠OCE=∠CEF（两直线平行，内错角相等）．
∴∠OAB=∠CEF（等量代换）．
22.（7分）为了解某校学生在五一假期阅读的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们的阅读时
间（单位： ），并对数据（时间）进行整理、描述．给出了部分信息：
图1是阅读时间频数分布直方图（数据分成5组： ，图2是阅读时间扇形统计图，根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是 ；
(2)补全图1；
(3)图2中， 所在的扇形的圆心角的度数是 ；
(4)已知该校共有1200名学生，估计该校学生在五一假期阅读时间不少于 的人数．
【答案】(1)96；(2)见解析；(3) ；(4)800人
【解析】（1）解： 人，
∴这次参与调查的学生人数为96人，即样本容量为96；
（2）解：由题意得， 这一组的人数为 人，
补全统计图如下所示：
（3）解： ，
∴ 所在的扇形的圆心角的度数是 ，
故答案为： ；
（4）1200× ＝800（人），
答：估计该校学生在五一假期阅读时间不少于 的人数大约有800人．
23.（7分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准
备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和
200张宣纸需要260元．(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)计划用不多于360元的资金购买毛笔，宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
【答案】(1)毛笔单价6元，宣纸单价0.4元；(2)50支
【解析】（1）解：设毛笔单价x元，宣纸单价y元，根据题意，得
，解得 ，
∴毛笔单价6元，宣纸单价0.4元；
（2）设可以购进毛笔m支，则购进宣纸 张，依题意，得
解得： ，
∴学校最多可以购买50支毛笔．
24.（7分）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地把C看错了，得 ，试求出
a，b，c的值．
【答案】a＝3，b＝﹣1，c＝3．
【解析】根据题意得： ，
解得： ，
把 代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，
解得：c＝3．
故a＝3，b＝﹣1，c＝3．
25.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a－1，a＋2）位于第一象限，将点A向下平移一定单
位长度得到点B（1，0），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．
（1） 求a的值及点D的坐标；
（2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点M（－5，0），N（0，5），将正方形ABCD向左平移
m（m＞0）个单位长度，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′ 和△OMN重叠的区域（不含边界）为
W．① 当m＝3时，区域W内的整点个数为 ；
② 若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）a＝2，点D的坐标为(5，4)；（2）①3；②2＜ ≤3或6≤ ＜7
【解析】解：（1）∵点A(a－1，a＋2)向下平移得到点B(1，0)，
∴a－1＝1，
∴a＝2，
∴点A坐标为(1，4)，
∴正方形ABCD的边长AB＝AD＝4．
∵AD∥ 轴，
∴点D的坐标为(5，4)．
（2）①如图；
当m＝3时，区域W内的整点个数为3个，
故答案为： 3；
②如图；
当区域W内的整点为 三点时，
则m的取值为：6≤ ＜7；当区域W内的整点为 三点时，
则m的取值为：2＜ ≤3，
综上：6≤ ＜7或2＜ ≤3．
26.（9分）阅读理解：如图1，已知点 是 外一点，连接 ， .求 的度数.
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点 作 ，
所以 ＝ ， ＝ .
又因为 ，
所以 。.
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 ， ，
“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
方法运用：（2）如图2，已知 ，求 的度数.
深化拓展：（3）已知 ，点 在点 的右侧， ， 平分 ， 平分 ，
所在直线交于点 ，且点 在 与 两条平行线之间.①如图3，点 在点 的左侧，若 ，则 的度数为 °；
②如图4，点 在点 的右侧，且 ，若 ，则 的度数为 °.（用含n的代
数式表示）
【答案】（1）∠EAB， ∠DAC；（2） ；（3） ①65°② ．
【解析】解：（1）∠EAB， ∠DAC
（2）解：过点 作 .
∵AB∥ED，∴CF∥ED. ∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF.
∵∠BCD＋∠BCF＋∠DCF＝360°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
（３） ①65°，理由如下：
∵∠ABC＝60°，∴∠MBC＝180°－∠ABC＝120°，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝ ∠ABC＝30°，∴∠MBE＝∠MBC＋∠CBE＝150°，
同理，得：∠ADN＝110°，∠ADE＝35°，∠NDE＝145°，根据（2）的结论可知：∠MBE＋∠BED＋∠NDE＝360°，
∴∠BED＝360°－∠MBE－∠NDE＝65°；
②由①可知：∠NDE＝145°，∠MBE＝ ，
∵∠MBE＋∠BED＋∠NDE＝360°，
∴∠BED＝360°－∠MBE－∠NDE＝（215－ ）°，
故填：65°，（215－ ）°．
