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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十二章 二次函数·基础通关
建议用时：100分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，当 时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数 与 轴的交点个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．无法确定
5．已知 ， 两点都在抛物线 （ ）上，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 的图象经过四个象限，则 的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．8．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，下
列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象与 轴的交点的纵坐标是
C．当 时，函数值 D．当 时， 随 的增大而增大
9．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位： ）与小球运动的时间t（单位： ）之间的函数关
系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40 ；
② 与 之间的函数关系式为 ；
③小球运动的时间为6 ；
④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为 ，且隔断EF，GH分别与矩
形的两条邻边平行．设BC的长为 ，矩形ABCD的面积为 ，y关于x的函数图象如图②，则下列说
法正确的是（ ）A．矩形ABCD的最大面积为 B．当 时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线 的对称轴是直线 ．
12．已知二次函数 ，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增
大．
13．将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ．
14．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则抛物线与 轴的另一个交点坐
标为 ．
15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数
来表示，已知 米，距离 点2米处的棚高 为 米，若借助横梁 建一个
门，要求门的高度为1.5米，则横梁 的长度是 米．
16．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知关于x的函数 ．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
18．已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴是直线 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若 ， ， 是抛物线上的三个点，则 、 、 的大小关系是______．（用“
”连接）
19．在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点 ．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（ ）个单位，图象恰好经过点 ，
求n的值．
20．已知抛物线的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，交 轴于 、 两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求 、 点坐标，
(3)根据图象，当函数值 时，写出自变量 的取值范围．
21．已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)取五点，填写列表，然后在图中画出函数的图象．（要求：画出具有对称美的图象．）
x … …
y … …
(3)若 ，求y的取值范围．
22．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，顶点为 ．
且该抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的表达式和顶点 的坐标．
(2)连接 交抛物线的对称轴于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她
到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据：
花店 售价（元/盆） 日销售量（盆）A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
(1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式；
(2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中，
①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何
定价？
24．综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起
始段（ 段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（ 段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐
减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系
（如图1所示），以及路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系（如图2所示）．其中，图2中
段是抛物线 的一部分．已知小球初速度 ．
【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段 的长度为_____ ；任务2： 求小球在粗糙轨道（射线 对应部分）上运动时，速度 与时间 之间的函数关系
式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线 上）是否存在一节长为 的
轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点 之间的
距离；若不存在，请说明理由．
25．如图 ，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为点 ，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上，且位于直线 上方的一个动点，当点 在抛物线上，且横坐标为 时，
的面积为____________．
求 的面积的最大值．
(3)如图 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
若 ，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段 的长度总是定值，请你直接写出此定值．
