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期末真题必刷压轴 60 题（17 个考点专练）
一．正数和负数（共2小题）
1．（2023春•南岗区期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：
元）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
﹣27.8 ﹣70.3 200 138.1 ﹣8 188 458
表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？
盈亏是多少？
【分析】设星期六为x元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和＝458，根据等
量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解一：458﹣（﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+188），
＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，
＝38，
因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，
答：星期六是盈利38元．
解二：设星期六为x元，则：﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+x+188＝458，
x＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，
x＝38，
因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，
答：星期六是盈利38元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．正确理解正负数的意义．
2．（2022秋•长寿区期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，
由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正，
减产为负，单位：辆）
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆；
（2）该厂实行计件工资制，一周结算一次，每辆车 60元，超额完成任务每辆再奖15元，少生产一辆倒扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【分析】（1）根据表格及题意求出七天的生产情况，即可求出产量最多的一天比产量
最少的一天多生产的；
（2）求出七天共生产的辆数，与1400比较，判断是超额还是没有完成任务，即可得到
结果．
【解答】解：（1）根据题意得：星期一到星期日生产的辆数分别为：205；198；196；
213；190；216；191，
则产量最多的一天比产量最少的一天多生产216﹣190＝26（辆）；
（2）根据题意得：一周总产量为205+198+196+213+190+216+191＝1409（辆），
∵1409＞1400，
∴超额完成9辆，
则该厂工人这一周的工资总额是1409×60+9×15＝84540+135＝84675（元）．
【点评】此题考查了正数与负数，属于应用题，弄清题意是解本题的关键．
二．数轴（共5小题）
3．（2022秋•鼓楼区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|
+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】理解绝对值的定义，如|a﹣2|表示数轴上点a到2的距离；|a|＝|a﹣0|表示a到
原点的距离；
【解答】解：∵比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∴|a|+|b|
＝|a﹣0|+|a﹣2|，
那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当a在区间0与2之间时，
|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，
∴|a|+|b|的最小值为2，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于|a﹣0|+|a﹣2|对这个式子的理解并用绝对值
意义来解答．4．（2022秋•黄埔区校级期末）已知 a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|
b+c|+|c﹣a|＝ 2 b + 2 c ﹣ 2 a ．
【分析】去绝对值符号的关键是判断绝对值符号里面的数的符号，根据题意确定了符号，
容易去绝对值符号．
【解答】解：根据图形，a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，所以|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝b﹣
a+b+c+c﹣a＝2b+2c﹣2a．
故答案为：2b+2c﹣2a．
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常
直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
5．（2021秋•佳木斯期末）已知，A，B在数轴上对应的数分别用 a，b表示，且（
ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应
的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，
第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或
B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重
合．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a，b的值，在数轴上表示出A、B的位置，再
根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；
（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB＝2PC时，分三种情况讨论，根据PB＝2PC
求出x的值即可；
（3）根据第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为﹣3，4，﹣5，
6…，找出规律即可得出结论．
【解答】解：（1）∵（ ab+100）2+|a﹣20|＝0，
∴ ab+100＝0，a﹣20＝0，∴a＝20，b＝﹣10，
∴AB＝20﹣（﹣10）＝30，
数轴上标出A、B的位置，如图：
（2）∵|BC|＝6且C在线段OB上，
∴x ﹣（﹣10）＝6，
C
∴x ＝﹣4，
C
∵PB＝2PC，
当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，
当P在线段BC上时，
x ﹣x ＝2（x ﹣x ），
P B c p
∴x +10＝2（﹣4﹣x ），
p p
解得：x ＝﹣6，
p
当P在点C右侧时，
x ﹣x ＝2（x ﹣x ），
p B p c
x +10＝2x +8，
p p
x ＝2，
p
综上所述P点对应的数为﹣6或2．
（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…
则第n次为（﹣1）n•n，
点A表示20，则第20次P与A重合；
点B表示﹣10，点P与点B不重合．
【点评】本题考查的是数轴，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合
应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．
6．（2022秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的
“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在
数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度
沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着
“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过
O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 19 秒，动点Q从点C运动至点A需要 23
秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B
在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，动点 P 从点 A 运动至点 C 需要的时间是：
10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷2+10÷1＝
23（s）；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q
点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），则t﹣5＝10﹣2（t﹣8），求出t的值，再
求M点表示的数即可；
（3）分7种情况讨论：①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示
的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝ ；②当5
＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18
﹣t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝ （舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO
上，此时PQ＜10，此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝
19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣
20，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝ ；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝ （舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在
A点左侧，PQ＞20，不符合题意．
【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，
∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，
∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），
动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷210÷1＝23（s），
故答案为：19，23；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，
P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），
∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），
解得t＝ ，
∴M点表示的数是 ﹣5＝ ；
（3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在
“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：
∵点A表示﹣10，点B表示10，
∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，
①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，
由题意可得，28﹣3t＝20，
解得t＝ ；
②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，
由题意可得，23﹣2t＝20，
解得t＝ （舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，
∴此情况不符合题意；
④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+13﹣t＝8（舍）；
⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为13﹣t+2t﹣20＝t﹣7，
由题意可得，t﹣7＝20，
解得t＝27；
⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为13﹣t+2t﹣20＝t﹣7，
由题意可得，t﹣7＝20，
解得t＝27；
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；
综上所述：t的值为27或 ．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数上点与数轴的对应关系，弄清“友好函
数”的定义是解题的关键．
7．（2022秋•石门县期末）附加题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P
为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的
值；若不存在，说明理由；
（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P
以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右
运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程
是多少？
【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出
a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）＝2，2的绝对值是2，1﹣3＝﹣2，﹣2的绝对值是
2，
∴点P对应的数是1．
（2）当P在AB之间，PA+PB＝4（不可能有）
当P在A的左侧，PA+PB＝﹣1﹣x+3﹣x＝6，得x＝﹣2
当P在B的右侧，PA+PB＝x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，得x＝4
故点P对应的数为﹣2或4；
（3）解：设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：
2a＝4+a，
解得a＝4．
则6a＝24．
答：点P所经过的总路程是24个单位长度．
【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，
学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三．有理数的乘方（共1小题）
8．（2021秋•头屯河区期末）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇
数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其
中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
【分析】根据有理数的乘方和数字的变化寻找规律即可求解．
【解答】解：23＝3+5，第一项为22﹣2+1，最后一项为3+2×1
33＝7+9+11，第一项为32﹣3+1，最后一项为7+2×2
43＝13+15+17+19，第一项为42﹣4+1，最后一项为13+2×3
…
453的第一项为452﹣45+1＝1981，最后一项为1981+2×44＝2069，1981到2069之间有奇数2019，
∴m的值为45．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是根据数字的变化情况寻找规律．
四．有理数的混合运算（共3小题）
9．（2022秋•江海区期末）计算：（﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣ ）．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣ ）
＝4﹣7+3+1
＝1．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，
通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整
数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
10．（2022秋•孝南区期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“ ”，规定：a b＝|
a+b|﹣|a﹣b| ⊕ ⊕
（1）计算2 （﹣3）的值；
（2）若a a⊕＝8，则a＝ ± 4 ．
【分析】（⊕1）根据新定义规定的运算公式列式计算可得；
（2）根据新定义规定的计算公式可得a a＝|a+a|﹣|a﹣a|＝|2a|＝2|a|，即2|a|＝8，解之
可得． ⊕
【解答】解：（1）2 （﹣3）＝|2﹣3|﹣|2+3|＝﹣4；
⊕
（2）a a＝|a+a|﹣|a﹣a|＝|2a|＝2|a|，
由条件⊕得2|a|＝8，
∴a＝±4，故答案为：±4．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义规定的运算公
式和有理数的混合运算顺序及运算法则．
11．（2022秋•安顺期末）若a，b是有理数，定义一种新运算 ：a b＝2ab+1．
计算：例如：（﹣3） 4＝2×（﹣3）×4+1＝﹣23． ⊕ ⊕
试计算： ⊕
（1）3 （﹣5）．
（2）[3⊕ （﹣5）] （﹣6）．
【分析】⊕直接套用公⊕式列出算式，根据实数的混合运算即可得出结果．
【解答】解：（1）根据题意可得：原式＝2×3×（﹣5）+1＝﹣30+1＝﹣29；
（2）根据题意可得：2×（﹣29）×（﹣6）+1＝348+1＝349．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式是解题的关
键．
五．列代数式（共2小题）
12．（2022秋•闽侯县校级期末）某农户承包果树若干亩，今年投资 24400元，收获水果
总产量为20000千克．此水果在市场上每千克售a元，在果园直接销售每千克售b元（b
＜a）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天付
工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元．
（1）分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入．
（2）若a＝4.5元，b＝4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请
你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了（2）
中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入＝总收入﹣总支出）？
【分析】（1）市场出售收入＝水果的总收入﹣额外支出．而水果直接在果园的出售收
入为：20000b元．
（2）根据（1）中得到的代数式，将a＝4.5，b＝4，代入代数式计算即可．
（3）根据（2）的数据，首先确定今年的最高收入，然后计算增长率即可．
【解答】解：（1）将这批水果拉到市场上出售收入为：
20000a﹣ ×2×100﹣ ×200＝20000a﹣4000﹣4000＝（20000a﹣8000）
（元）在果园直接出售收入为20000b（元）；
（2）当a＝4.5时，市场收入为20000a﹣8000＝20000×4.5﹣8000＝82000（元）．
当b＝4时，果园收入为20000b＝20000×4＝80000（元）．
因为82000＞80000，所以应选择在市场出售；
（3）因为今年的纯收入为82000﹣24400＝57600， ×100%＝25%，
所以增长率为25%．
【点评】本题考查了根据实际问题列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、
字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键是读懂题意，正确表达．
13．（2022秋•沁县期末）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算
每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2元/m3计算；月用水量超过20m3时，其
中的20m3仍按2元/m3计算，超过部分按2.6元/m3计算．设某户家庭月用水量xm3．
月份 4月 5月 6月
用水量 15 17 21
（1）用含x的式子表示：
当0≤x≤20时，水费为 2 x 元；
当x＞20时，水费为 2. 6 x ﹣ 1 2 元．
（2）小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费多少元？
【分析】（1）分类讨论：当x≤20时，水费为2x元；当x＞20时，水费为[20×2+2.6（x
﹣20）]元；
（2）由（1）得到四月份和五月份的用水量按2元/立方米计费、六月份的用水量按方式
二计费，然后把三个月的水费相加即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，水费为2x元；当x＞20时，水费为20×2+2.6（x﹣
20）＝2.6x﹣12元．
故答案为：2x、2.6x﹣12；
（2）15×2+17×2+2.6×21﹣12
＝30+34+54.6﹣12
＝106.6，答：小花家这个季度共缴纳水费106.6元．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算
符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是水费要分段付费．
六．代数式求值（共3小题）
14．（2022秋•罗湖区校级期末）若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是
（ ）
A．ax+by+cz B．ax+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az
【分析】要比较两个多项式的大小，只需采用作差法，将它们的差因式分解就可解决问
题．
【解答】解：∵b＜c，y＜z，
∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，
∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b
﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．
同理：A＞C，B＞D，
∴A式最大．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减、因式分解、不等式的性质、不等式的传递性等知
识，比较大小常用作差法或作商法，应熟练掌握．
15．（2022秋•衡南县期末）盱眙县防疫部门配送新冠疫情物资，甲、乙两仓库分别有防
疫物资30箱和50箱，A、B两地分别需要防疫物资20箱和60箱．已知从甲、乙仓库到
A、B两地的运价如表：
到A地 到B地
甲仓库 每箱15元 每箱12元
乙仓库 每箱10元 每箱9元
（1）若从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，则用含x的代数式表示从甲仓库运到B地
的防疫物资为 （ 30 ﹣ x ） 箱，从乙仓库将防疫物资运到 B 地的运输费用为
（ 270+ 9 x ） 元；
（2）求把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A、B两地的总运输费（用含x的代数式表
示并化简）；
（3）如果从甲仓库运到A地的防疫物资为10箱时，那么总运输费为多少元？【分析】（1）根据题意，从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，则用含x的代数式表示
从甲仓库运到 B 地的防疫物资为 （30﹣x）箱，从乙仓库运到 B 地的防疫物资为
（30+x）箱，从乙仓库将防疫物资运到B地的运输费用为（ 270+9x）元；
（2）根据总运输费＝从甲、乙两仓库运到A、B两地的费用之和列出代数式；
（3）把x＝10代入（2）中代数式即可．
【解答】解：（1）∵甲仓库有防疫物资30箱，从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，
∴从甲仓库运到B地的防疫物资为（30﹣x）箱；
∵B地需要防疫物资60箱，从甲仓库运到B地的防疫物资为（30﹣x）箱；
∴从乙仓库运到B地的防疫物资为：60﹣30+x＝（30+x）箱，
∴从乙仓库将防疫物资运到B地的运输费用为：9×（30+x）＝（270+9x）元，
故答案为：（30﹣x），（270+9x）；
（2）总运费：15x+12（30﹣x）+10（20﹣x）+9（30+x）＝（2x+830）元，
∴全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A、B两地的总运输费（2x+830）元；
（3）当x＝10时，2x+830＝2×10+830＝850，
∴总运输费为850元．
【点评】本题考查列代数式和代数式求值，关键是根据题意列出代数式．
16．（2022秋•阜平县期末）若“ ”是新规定的某种运算符号，设a b＝3a﹣2b．
（1）计算：（x2+y） （x2﹣y）ω；
ω
（2）若x＝﹣2，y＝2ω，求出（x2+y） （x2﹣y）的值．
【分析】（1）先依据定理列出代数式ω，然后依据整式的运算法则进行计算即可；
（2）将x＝﹣2，y＝2代入（1）的化简结果进行计算即可．
【解答】解：（x2+y） （x2﹣y）＝3（x2+y）﹣2（x2﹣y）＝3x2+3y﹣2x2+2y＝x2+5y；
（2）将x＝﹣2，y＝2ω代入得：原式＝（﹣2）2+5×2＝2+20＝14．
【点评】本题主要考查的是整式的加减和求代数式的值，掌握整式的加减法则是解题的
关键．
七．整式的加减（共2小题）
17．（2022秋•深圳校级期末）数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式x3y
﹣2xy+5的二次项系数为a，常数项为b．
（1）直接写出：a＝ ﹣ 2 ，b＝ 5 ．
（2）数轴上点A、B之间有一动点P，若点P对应的数为x，试化简|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣
x|；（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点
B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续
移动，请直接写出经过 2 或 或 6 或 8 秒后，M、N两点相距1个单位长度，并选
择一种情况计算说明．
【分析】（1）根据多项式中二次项系数与常数项的定义即可求解；
（2）由题意可得﹣2＜x＜5，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再化简即可；
（3）设经过t秒M，N两点相距一个单位长度．分四种情况进行讨论：①点M、点N
没有相遇之前；②点M、点N相遇后，但是点N没有到达A点；③点N到达A点后返
回，但是没有追上点M；④点N到达A点后返回，追上了点M．
【解答】解：（1）∵多项式x3y﹣2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，
∴a＝﹣2，b＝5．
故答案为﹣2，5；
（2）依题意，得﹣2＜x＜5，
则|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|＝2x+4+2（5﹣x）﹣（6﹣x）
＝2x+4+10﹣2x﹣6+x
＝x+8；
（3）设经过t秒M，N两点相距一个单位长度．
①M，N第一次相距一个单位长度时，t+1+2t＝7，解得t＝2；
②M，N第二次相距一个单位长度时，t+2t＝7+1，解得t＝ ；
③当M，N第三次相距一个单位长度时，t﹣2（t﹣3.5）＝1，解得t＝6；
④当M，N第四次相距一个单位长度时，2（t﹣3.5）﹣t＝1，解得t＝8．
故答案为2或 或6或8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减以及数轴，解题关键是要读懂题
目的意思，根据题目给出的条件，分类讨论并且找出合适的等量关系列出方程，再求解．
18．（2022秋•阜平县期末）佳佳做一道题“已知两个多项式A，B，计算A﹣B”．佳佳误
将A﹣B看作A+B，求得结果是9x2﹣2x+7．若B＝x2+3x﹣2，请解决下列问题：
（1）求出A；（2）求A﹣B的正确答案．
【分析】（1）先根据题意列出关于A的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）先根据题意列出关于A﹣B的式子，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵A+B＝9x2﹣2x+7，B＝x2+3x﹣2
∴A＝9x2﹣2x+7﹣（x2+3x﹣2）
＝9x2﹣2x+7﹣x2﹣3x+2
＝8x2﹣5x+9；
（2）A﹣B＝8x2﹣5x+9﹣（x2+3x﹣2）
＝8x2﹣5x+9﹣x2﹣3x+2
＝7x2﹣8x+11．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的
关键．
八．整式的加减—化简求值（共5小题）
19．（2022秋•宁明县期末）先化简再求值：求5xy2﹣[2x2y﹣（2x2y﹣3xy2）]的值．（其中
x，y两数在数轴上对应的点如图所示）．
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后代入x、y的值即可．
【解答】解：原式＝5xy2﹣[2x2y﹣2x2y+3xy2]
＝5xy2﹣2x2y+2x2y﹣3xy2
＝2xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝4．
【点评】此题考查了数轴，整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项
法则是解本题的关键．
20．（2022秋•岳普湖县校级期末）先化简，再求值
2x3+4x﹣ ﹣（x+3x2﹣2x3），其中x＝﹣3．
【分析】先去括号、合并同类项化简，再代入计算即可；
【解答】解：原式＝2x3+4x﹣ ﹣x﹣3x2+2x3，＝4x3+3x﹣ x2，
当x＝﹣3时，原式＝﹣108﹣9﹣30＝﹣147．
【点评】本题考查的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并
同类项法在等知识，属于中考常考题型．
21．（2022秋•仓山区期末）先化简，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣x2y+3xy3），其中x
＝﹣2，y＝3．
【分析】根据单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，把x y的值代入求出即可．
【解答】解：原式＝15x2y﹣5xy2+4x2y﹣12xy3
＝19x2y﹣5xy2﹣12xy3，
当x＝﹣2、y＝3时，
原式＝19×（﹣2）2×3﹣5×（﹣2）×32﹣12×（﹣2）×33
＝228+90+648
＝966．
【点评】本题考查了对整式的加减，合并同类项，单项式乘多项式等知识点的理解和掌
握，注意展开时不要漏乘，同时要注意结果的符号，代入﹣2时应用括号．
22．（2022秋•淮滨县期末）先化简，再求值：（3x2+5x﹣2）﹣2（2x2+2x﹣1）+2x2﹣5，
其中x2+x﹣3＝0．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3x2+5x﹣2﹣4x2﹣4x+2+2x2﹣5＝x2+x﹣5，
由x2+x﹣3＝0，得到x2+x＝3，
则原式＝3﹣5＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2022秋•新都区期末）先化简，再求值：（5a2﹣3b2）+（a2+b2）﹣（5a2+3b2），其
中a＝﹣1，b＝1．
【分析】先去括号、合并同类项化简原式，再将a、b的值代入计算即可得．
【解答】解：原式＝5a2﹣3b2+a2+b2﹣5a2﹣3b2
＝a2﹣5b2，
当a＝﹣1、b＝1时，
原式＝（﹣1）2﹣5×12
＝1﹣5＝﹣4
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和
法则．
九．解一元一次方程（共1小题）
24．（2022秋•六盘水期末）解下列方程：
（1）4﹣x＝7x+6
（2） ﹣ ＝4．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得：﹣x﹣7x＝6﹣4，
合并得：﹣8x＝2，
解得：x＝﹣ ；
（2）去分母得：4（2x﹣1）﹣3（x+1）＝48，
去括号得：8x﹣4﹣3x﹣3＝48，
移项合并得：5x＝55，
解得：x＝11．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知
数系数化为1，求出解．
一十．一元一次方程的应用（共24小题）
25．（2022秋•广阳区期末）为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校
今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领
取全部的 ，第二班领取100棵和余下的 ，第三班领取200棵和余下的 ，第四
班领取300棵和余下的 …，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗
总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的
树苗数相等，由此可得出方程．
【解答】解：设树苗总数x棵，根据题意得：x＝100+ （x﹣ x﹣100），
解得：x＝9000，
答：树苗总数是9000棵．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，
这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量
关系．
26．（2022秋•南开区校级期末）某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上
两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共
实际买了多少元，第一次购物显然没有超过 200，即是168元．第二次就有两种情况，
一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两
种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，
他的实质购物价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣
率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．
①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性
购买可以按照8折付款：
638×0.8＝510.4（元）综上所述，她应付款510.4元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是第二次购物的432元可能有两种
情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉
任何一种．
27．（2022秋•岳麓区校级期末）随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店
购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟
瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的
冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了 ，销售爆炸瓜的利润率比第一周下
降了 ，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量
之比是 6 ： 7 ．（利润率＝ ×100%）
【分析】设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟
瓜销量为2x，根据第一周这两种西瓜的总利润率是35%，可以得到m＝2n，设第四周麒
麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，根据第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，列出方程
可求四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比．
【解答】解：设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则
麒麟瓜销量为2x，依题意有：
（1+30%）m×2x+（1+40%）×nx＝（1+35%）（m×2x+nx），
整理得：n＝2m，
设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，依题意有：
[1+（1﹣ ）×30%]ma+[1+（1﹣ ）×40%]×nb＝（1+27%）（ma+nb），
∴1.2ma+2.6mb＝1.27ma+2.54mb，
1.2a+2.6b＝1.27a+2.54b，
0.07a＝0.06b，
∴a：b＝6：7．
故第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比是6：7．故答案为：6：7．
【点评】本题考查了应用类问题，所以成本利润问题中的应用，理清题中的数量关系，
是解题的关键．
28．（2022秋•南山区校级期末）一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面
上，乘客发现后，轮船立即掉头去追（轮船掉头时间不计），已知轮船从掉头到追上共
用9分钟，则乘客丢失了物品后 9 分钟后发现的？
【分析】设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V ，水速为V ，根据等量关系：轮船顺
1 2
水9分钟走的路程＝物品（x+9）分漂流的路程+轮船逆水x分走的路程，把相关数值代
入即可求解．
【解答】解：设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V ，水速为V ，
1 2
由题意得：（x+9）V +x（V ﹣V ）＝9（V +V ），
2 1 2 1 2
xV +9V +xV ﹣xV ＝9V +9V ，
2 2 1 2 1 2
xV ＝9V ，
1 1
∵V ≠0，
1
∴x＝9．
答：乘客丢失了物品，是9分钟后发现的．
故答案为：9．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到相应的等量关系；行
程问题画出示意图容易得到相应的等量关系．
29．（2022秋•沙坪坝区校级期末）某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种
进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙
三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果
的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了
50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．
其中甲、乙两种品种水果的产量之比为 3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为 6：
5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的 ，则三种水果去年的种植总面积与今
年的种植总面积之比为 5 ： 7 ．
【分析】根据可得去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为
2a．去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b，再根据今年水果总产量的关系可得今年种植面积的比为 6：5：3，最后
根据丙种水果的总产量与今年水果总产量的关系可得答案．
【解答】解：∵去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种
水果的平均亩产量之比为6：3：5．
∴设去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．
设去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均
亩产量为5b．
∴今年甲种水果的平均亩产量为 6b（1+50%）＝9b，则乙种水果的平均亩产量为 3b
（1+20%）＝3.6b，丙种水果的平均亩产量为5b．
设今年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为x：y：z，
∴今年甲种水果的总产量为9bx，乙种水果的总产量为3.6by，丙种水果的总产量为
5bz，
依题意得，9bx＝3×3.6by①，5×3.6by＝6×5bz②，
分别整理①、②得，x＝1.2y，z＝0.6y，
∴x：y：z＝6：5：3，
∴可设今年甲的种植面积为6c，乙的种植面积为5c，丙的种植面积为3c，
今年水果总产量为54bc+18bbc+15bc，丙水果增加的总产量为（54bc+18bbc+15bc）×
＝5bc，
依题意得，5b•2a+5bc＝5b•3c，
整理得，a＝c，
∴三种水果去年的种植总面积5a+3a+2a＝10a，今年的种植总面积为6c+5c+3c＝14c＝
14a，
10a：14a＝5：7．
故答案为：5：7．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系整理出去年三种水果的总面积和
今年三种水果的总面积是解题关键．
30．（2022秋•黔江区期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别
是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速
度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为
“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 或
30 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分
四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q
两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣
6），解得t＝ ，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在
P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2
（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．
【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距
离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣
6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝ ，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的
距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示
的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为 秒或30秒，
故答案为： 或30．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等
知识，解题的关键是分类讨论．
31．（2022秋•沙坪坝区校级期末）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人
民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办
了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色
回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如
沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；
用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，
且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒
“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某
周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，
且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼
盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总
利润的比值为 ．
【分析】设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，根据每盒“如沐春
风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的 2 倍，可得 2y+4×4x+10x＝2
（2y+2×4x+4x），即y＝x，从而A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，
设这两种礼盒都销售了a盒，粉色回忆”礼盒销售了b盒，根据三种礼盒的总成本恰好
为总利润的4倍可得28x•a+14x•a+20x•b＝4[（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x
﹣20x）•b]，即b＝ a，即可得该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利
润的比值为 ．
【解答】解：设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，
∵每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，
∴2y+4×4x+10x＝2（2y+2×4x+4x），
化简整理得y＝x，
∴A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，
∴“如沐春风”礼盒每盒成本为2x+4×4x+10x＝28x（元），以利润率50%定价为28x×
（1+50%）＝42x（元），打八折销售售价是42x×0.8＝33.6x（元），
“懵懂少女”礼盒每盒成本为 2x+2×4x+4x＝14x（元），以利润率 50%定价为 14x×（1+50%）＝21x（元），打八折销售售价是21x×0.8＝16.8x（元），
“粉色回忆”礼盒每盒成本为 2x+3×4x+6x＝20x（元），以利润率 50%定价为 20x×
（1+50%）＝30x（元），打九折销售售价是30x×0.9＝27x（元），
由某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行
销售，且两种礼盒的销量相同，设这两种礼盒都销售了 a盒，粉色回忆”礼盒销售了b
盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：
28x•a+14x•a+20x•b＝4[（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x﹣20x）•b]，
化简整理得：b＝ a，
∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润为（27x﹣20x）•b＝7x• a＝7.35xa，
该周末三种礼盒的总利润为（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x﹣20x）•b＝
5.6xa+2.8xa+7.35xa＝15.75xa，
∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查一次方程（组）的应用，解题的关键是读清题意，用含未知数的式子
表示题中的量，再根据已知列方程解决问题．
32．（2022秋•九龙坡区校级期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商
出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3：5：3，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3：3：
2．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣
传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的
，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的 ．若腊舌今年1月份增加
的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比
是 2 0 ： 2 1 ．
【分析】设去年12月份腊肠、腊舌、腊肉销售的数量为3a、5a、3a，单价为3b、3b、
2b；今年1月份腊肉的销售量为x，可得今年1月份腊肉的营业额为2bx，今年1月份总
营业额为 bx，根据腊肉增加的营业额占总增加营业额的 ，即得2bx﹣6ab＝ （bx﹣30ab），解得x＝ a，故今年1月份总营业额90ab，腊肉的营业额为21ab，又腊
舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，可得腊舌今年1月份的
营业额是33ab，腊舌今年1月份的销售的数量为11a，而腊肠今年1月份的营业额是
90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，故腊肠今年1月份的销售的数量为 ＝10a，即
得今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是（10a）：（ a）＝20：21．
【解答】解：由题意可设去年12月份腊肠、腊舌、腊肉销售的数量为3a、5a、3a，单
价为3b、3b、2b；
∴去年12月份腊肠、腊舌、腊肉营业额分别是9ab、15ab、6ab，总营业额是30ab，
设今年1月份腊肉的销售量为x，因腊肉的单价不变，
∴今年1月份腊肉的营业额为2bx，
而今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的 ，
∴今年1月份总营业额为2bx÷ ＝ bx，
∵腊肉增加的营业额占总增加营业额的 ，
∴2bx﹣6ab＝ （ bx﹣30ab），
解得x＝ a，
∴今年1月份总营业额为 bx＝ b• a＝90ab，腊肉的营业额为2bx＝2b• a＝
21ab，
∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，
∴腊舌今年1月份的营业额是15ab+90ab× ＝33ab，
∴腊舌今年1月份的销售的数量为 ＝11a，
∴腊肠今年1月份的营业额是90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，而今年1月份，该销售商将腊
肠单价上调20%，∴腊肠今年1月份的销售的数量为 ＝10a，
∴今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是（10a）：（ a）＝20：21．
故答案为：20：21．
【点评】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示题中的量，并根据已知
找等量列方程是解题的关键．
33．（2022秋•渭滨区期末）世界杯期间，有甲、乙两种价格的门票，甲种门票价格为
4000元人民币/张，乙种门票价格为3000元人民币/张，牛老师购买这两种价格的门票共
6张，花了20000元人民币，求甲、乙两种门票各购买多少张？
【分析】先设甲种门票x张，则乙种门票（6﹣x）张，根据甲种门票价格为4000元人民
币/张，乙种门票价格为3000元人民币/张，花了20000元人民币，列出方程，求出x的
值即可．
【解答】解：设甲种门票x张，
根据题意得：4000x+3000（6﹣x）＝20000，
解得x＝2，
6﹣2＝4（张）
答：甲、乙两种门票各2张和4张．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，
根据等量关系列出方程．
34．（2022秋•武汉期末）旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人
数为120人，其中甲团人数不超过50人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队
票．门票价格如下：
门票类别 散客票 团队票A 团队票B
购票要求 超过50人但不超过 超过100人
100人
票价（元/人） 80元/人 70元/人 60元/人
旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约300
元．
（1）求甲、乙两团的报名人数；
（2）当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票 A每张降价a元，团队
票B每张降价2a元，同时乙团队因故缺席了30人，此时甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约225元，求a的值．
【分析】（1）根据乙团队人数为x人，甲团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种
情况：①当70≤x≤100时，分开购票﹣甲、乙两团合并成一个团队购票＝300元，②
当x＞100时，分开购票﹣甲、乙两团合并成一个团队购票＝300元，分别列出方程，即
可解答；
（2）根据每张门票降价a元，利用甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节
约225元，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙团x人，则甲团（120﹣x）人，
①当70≤x≤100时，两团队门票款之和为：70x+80（120﹣x）﹣60×120＝300，
解得：x＝210（舍去）；
②当x＞100时，两团队门票款之和为：60x+80（120﹣x）﹣60×120＝300，
解得：x＝105，
答：甲团15人，乙团105人；
（2）由题意得：15×80+75×（70﹣a）＝90×（70﹣a）+225，
解得：a＝5．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，设出未知数，列出方程．
35．（2022秋•武汉期末）已知线段AB＝30cm
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B
向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着
点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A
点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
【分析】（1）设经过t秒点P、Q两点能相遇，由题意得：P点t秒的运动距离+Q点t秒的运动距离＝30cm，根据题意可得方程；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解
即可；
（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，
所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t＝30，
解得：t＝6．
答：经过6秒钟后，点P、Q相遇；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，
解得：x＝4或x＝8．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P、Q两点相距10cm；
（3）点P，Q只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为： ＝4（s）或 ＝10（s），
设点Q的速度为ycm/s，则有4y＝30﹣2，
解得：y＝7；
或10y＝30﹣6，
解得y＝2.4，
答：点Q的速度为7cm/s或2.4cm/s．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，熟练掌握速
度、路程、时间的关系．
36．（2022秋•磁县期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为
了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超
出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5
折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）．
（1）当x＝400时，顾客到哪家超市购物优惠．
（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．【分析】（1）根据超市的销售方式先用x式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市
购物所付的费用，然后将x＝400代入确定到哪家超市购物优惠；
（2）由（1）得到的购物所付的费用使其相等，求出x，使两家超市购物所花实际钱数
相同．
【解答】解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元，
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元；
当x＝400时，在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60＝380，
在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30＝370，
所以到乙超市购物优惠；
（2）根据题意由（1）得：300+0.8（x﹣300）＝200+0.85（x﹣200），
解得：x＝600，
答：当x＝600时，两家超市所花实际钱数相同．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物
所需的费用．
37．（2022秋•建平县期末）甲、乙两站相距510千米，一列慢车从甲站开往乙站，速度
为45千米/时，慢车行驶两小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，速度为60千米/时，
（1）快车开出几小时后与慢车相遇？
（2）相遇时快车距离甲站多少千米？
【分析】（1）设快车开出x小时后与慢车相遇，等量关系为：慢车（x+2）小时的路程
+快车x小时的路程＝510，把相关数值代入求值即可；
（2）总路程﹣快车行驶的路程即为相遇时快车距离甲站路程．
【解答】解：（1）设快车开出x小时后与慢车相遇，则
45（x+2）+60x＝510，
解得x＝4，
（2）510﹣60×4＝270（千米）．
答：4小时后快车与慢车相遇；相遇时快车距离甲站270千米．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到相遇问题中的路程的等量关系是解决本题的关
键．
38．（2022秋•盘山县期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利
润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬
菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方
式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完
毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【分析】方案一：直接用算术方法计算：粗加工的利润×吨数；方案二：首先根据每天
精加工的吨数以及天数的限制，知精加工了15×6＝90吨，还有50吨直接销售；方案三：
设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得x的值，
然后可求得获得的利润．
【解答】解：方案一：∵4500×140＝630000（元），
∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元
方案二：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元），
∴将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润
725000元；
方案三：设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天．
根据题意得：6x+16（15﹣x）＝140，
解得：x＝10，
所以精加工的吨数＝6×10＝60，16×5＝80吨．
这时利润为：80×4500+60×7500＝810000（元）
答：该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为
810000元．
【点评】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关
键．
39．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在数轴上点 A表示的数为﹣20，点B表示的数为
40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒
4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运
动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是 2 1 单位．（2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶
向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B
码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船
在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B
码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船
之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可求解；
（2）Q、N相遇的时间为 秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B
的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的
数为40﹣8t．分三种情况：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N
相遇后，N到O后．分别根据QN＝8列出方程；
（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为
40．分四种情况：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲
丙相遇后，丙到C后．根据这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相
等列出方程．
【解答】解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示
的三个数分别为﹣20+5t，4t，40﹣8t，
当t＝3时，P、N两点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16，
∴PN＝16﹣（﹣5）＝21，
故答案为：21；
（2）Q、N相遇的时间为 秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B
的时间为10秒．
N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t＝ ，
②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4，
③Q、N相遇后，N到O后：
P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t﹣5），
4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8，
综上所述：当QN＝8个单位时，三个点的运动时间t＝ 或4或8；
（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为
40．
甲到C的时间为 秒，甲到B的时间为 秒，乙到B的时间为 秒，
丙到C的时间为 秒，丙到B的时间为 秒，甲遇丙的时间为 秒，乙遇丙的时间
为 秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到C前，甲所表示的
数为﹣20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40﹣6t
①乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）＝40﹣6t﹣6t，解得t＝ ，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）＝ （海里）；
②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）＝6t﹣（40﹣6t），解得t＝4，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×4）＝32（海里）；
③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t＝ ，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）＝20（海里）；
④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t﹣ ）．
40﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣10（t﹣ ），解得t＝ ＜ （舍）．
综上所述，在整个运动过程中，分别在 小时、4小时、 小时时，这三艘船中的一
艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为 海
里，32海里，20海里．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是
解题的关键也是本题的难点．
40．（2022秋•北塔区期末）为了打造铁力旅游景点，市旅游局打算将依吉密河中一段长
1800米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队来
完成．已知，甲工程队每天整治60米，乙工程队每天整治40米．
（1）若甲、乙两个工程队接龙来完成，共用时35天，求甲、乙两个工程队分别整治多
长的河道？
（2）若乙工程队先整治河道10天，甲工程队再参加两个工程队一起来完成剩余河道整
治任务，求整段河道整治任务共用是多少天？
【分析】（1）设甲工程队整治河道x米，则乙工程队整治河道（1800﹣x）米，然后由
已知表示出甲、乙两工程队的天数，根据共用时35天列方程求解；
（2）设整段河道整治任务共用时a天，则甲工程队整治用时（a﹣10）天，根据完成任
务为1800米列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设甲工程队整治河道x米，则乙工程队整治河道（1800﹣x）米，根
据题意得：
+ ＝35，
解得：x＝1200．
1800﹣x＝600．
答：甲工程队整治河道1200米，乙工程队整治河道600米．
（2）设整段河道整治任务共用时a天，则甲工程队整治用时（a﹣10）天，由题意得60（a﹣10）+40a＝1800
解得：a＝24
答：整段河道整治任务共用时24天．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率三者
之间的关系是解决问题的关键．
41．（2022秋•宁明县期末）某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文
教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两
岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河
堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天
整治8米，共用时20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙： + ＝20．
根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义．
甲：x表示 A 工程队用的时间 ，20﹣x表示 2 0 ﹣ x 表示 B 工程队用的时间 ；
乙：x表示 A 工程队整治河堤的米数 ，180﹣x表示 B 工程队整治河堤的米数 ．
（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求 A、B两工程队
分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．
【分析】（1）根据所列方程可得第一个方程为12x+8（20﹣x）＝180，x表示A工程队
用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；
第二个方程为 + ＝20，x表示A工程队整治河堤的米数，表示B工程队整治河
堤的米数；
（2）求解第一个方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，第一个方程为12x+8（20﹣x）＝180，x表示A工程队用
的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；
第二个方程为 + ＝20，x表示A工程队整治河堤的米数，180﹣x表示B工程队整治河堤的米数；
故答案为：A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；A工程队整治河堤的米
数，B工程队整治河堤的米数；
（2）设A工程队用的时间为x天，
根据题意，得12x+8（20﹣x）＝180，
解得：x＝5，
12x＝12×5＝60，8（20﹣x）＝8×（20﹣5）＝120，
答：A工程队整治河堤60数，B工程队整治河堤120米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程求解．
42．（2022秋•广水市期末）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、
乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球
每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的 9折
优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．问：
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？
【分析】（1）设该班购买乒乓球x盒，根据乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价
25元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的 9折优惠．可列
方程求解．
（2）根据各商店优惠条件计算出所需款数确定去哪家商店购买合算．
【解答】解：（1）设该班购买乒乓球x盒，则
甲：100×5+（x﹣5）×25＝25x+375，
乙：0.9×100×5+0.9x×25＝22.5x+450，
当甲＝乙，25x+375＝22.5x+450，解得x＝30．
答：当购买乒乓球30盒时，两种优惠办法付款一样；
（2）买20盒时：甲25×20+375＝875元，乙22.5×20+450＝900元，选甲；
买40盒时：甲25×40+375＝1375元，乙22.5×40+450＝1350元，选乙．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的
优惠条件，能用代数式表示甲店的费用即乙店的费用．
43．（2022秋•天山区校级期末）如图，数轴上点 A表示数a，点B表示数b，且a、b满
足|a+2|+（b﹣8）2＝0．（1）点A表示的数为 ﹣ 2 ；点B表示的数为 8 ；
（2）若数轴上有两动点M，N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单
位/秒从点B向左运动，问经过几秒M，N相遇？
（3）在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使MA＝3NO？
【分析】（1）根据偶次方及绝对值的非负数可求解a，b的值，即可求得A，B表示的
数；
（2）由（1）可求解A、B之间的距离，再设经过x秒M、N相遇，列方程计算可求解；
（3）设动点M、N出发经过x秒，能使MA＝3NO，根据MA＝3NO列方程计算可求解．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣8）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣8＝0，
解得a＝﹣2，b＝8，
∴点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，
故答案为：﹣2；8；
（2）∵点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
设经过x秒M、N相遇，
2x+3x＝10，
解得x＝2，
故经过2秒M、N相遇；
（3）设动点M、N出发经过y秒，能使MA＝3NO，
由题意得：2y＝3|8﹣3y|，2y＝9y﹣24，
解得y＝ 或 ，
故动点M、N出发经过 或 秒，能使MA＝3NO．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，偶次方及绝对值的非负性，理解题意是解
题的关键．
44．（2022秋•铁锋区期末）A，B两点在同一条数轴上运动，点A从原点出发向数轴负方
向运动，同时点B也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点A、B的速度比为1：3（速度单位：1个单位长度/秒）．
（1）求A、B两点运动的速度；
（2）画出数轴并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；
（3）若表示数0的点记为O，A、B两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运
动，再经过多长时间，满足OB＝2OA？
【分析】（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，那么动点B的速度是3x单位长度/秒，
然后根据2秒后，两点相距16个单位长度即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果和已知条件即可得出．
（3）此问分两种情况讨论：设经过时间为x后，当B在O的右侧，若当B在O的左侧，
列出等式解出x即可；
【解答】（10分）解：（1）设点A的速度为x个单位长度/秒，则2（x+3x）＝16，得x
＝2，3x＝6．
即点A的速度是2个单位长度/秒，点B的速度是6个单位长度/秒；
（2）数轴与A，B点的位置如图所示：
（3）设t秒时，OB＝2OA，
当B在A的右边时，根据题意有12﹣6t＝2（4+2t），
解得t＝0.4；
当A在B的右边时，根据题意有6t﹣12＝2（4+2t），
解得t＝10．
所以当0.4秒和10秒时，OB＝2OA．
【点评】本题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
45．（2022秋•市中区期末）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将
数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点
所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴
上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数
轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的
速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O
后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的
一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O
两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请
直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出M表示的数是﹣3，N表示的数是12，即可得M、N两点在折线数轴
上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，当N在OB
上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，即得|（18﹣2t）﹣（6t﹣
24）|＝4，从而解得t＝ 或t＝ ；
（3）当t≤3时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴
上的和谐距离相等；当3＜t≤4时，12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，当4＜t≤6时，6
（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，当6＜t≤9时，不可能M、O两点在折线数轴上的
和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当9＜t≤10时，M在BC12+4（t
﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），当10＜t≤12时，12+4（t﹣9）＝24﹣3（t
﹣10），解得t＝11 ．
【解答】解：（1）由已知得，t＝3时，M表示的数是﹣12+3×3＝﹣3，N表示的数是24
﹣4×3＝12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；（2）由已知可得t＝4时，M运动到O，当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数
是6（t﹣4）＝6t﹣24，
t＝3时，N运动到B，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝
18﹣2t，
当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝
4，
∴42﹣8t＝4或42﹣8t＝﹣4，
解得t＝ 或t＝ ，
经检验，t＝ 或t＝ 时，M、N均在OB上，
∴t＝ 或t＝ 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
当t≤3时，M在OA上，N在BC上，M、N运动速度不同，不可能M、O两点在折线数
轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；
当3＜t≤4时，M在OA上，N在OB上，由题意得：12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，
当4＜t≤6时，M在OB上，N在OB上，由题意得：6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝
4.5，
当6＜t≤9时，M在BC上，N在OB上，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与
N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当9＜t≤10时，M在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解
得t＝18（舍去），
当10＜t≤12时，M返回在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣
10），解得t＝11 ，
t＝12时，N达到A，
综上所述，t＝3.6或4.5或11 时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在
折线数轴上的和谐距离相等．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是分类讨论不同时间段，M、N所表
示的数与t的关系，综合性较强．46．（2022秋•惠东县期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要用 20h，现先安排一部
分人用1h整理，随后又增加4人和他们一起又做了2h，恰好完成整理工作．假设每个
人的工作效率相同，那么先安排整理的人员是多少？
【分析】安排整理的人员有x人，则随后又（x+4）人，根据题意可得等量关系：开始x
人1小时的工作量+后来（x+4）人2小时的工作量＝1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设先安排x人，则 + ＝1，
解得x＝4．
答：先安排整理的人员是4人．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间＝工作量．
47．（2022秋•岳麓区校级期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的
和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例
如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝
6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所
以3252不是一个“五颜六色数”．
（1）判断2315 是 “五颜六色数”，4223 不是 “五颜六色数”（填“是”或
“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”m表示成 ，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、
十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝ ．
①若 ＝135，试求3b﹣2c+a的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b2+2的所有整数解分别为x ，
1
x ，…，x ，试求|y﹣x |+|y﹣x |+…+|y﹣x |的最小值．
2 n 1 2 n
【分析】（1）根据“五颜六色数”的定义直接判断即可；
（2）①由题意可得1000a+100b+10c+d﹣（1000a+100c+10b+d）＝270，求出b+d＝9，
则3b﹣2c+a＝2（b+d）﹣7＝11；
②由题意可得b＝c，再由a＝5﹣b，d＝6﹣b，可得3x＝b2+2，则x＝ ，根据x是整数，分别求出x＝1或x＝2或6，则|y﹣x |+|y﹣x |+…+|y﹣x |＝|y﹣1|+|y﹣2|+|y﹣6|，当
1 2 n
y＝2时，|y﹣x |+|y﹣x |+…+|y﹣x |有最小值5．
1 2 n
【解答】解：（1）∵2315的千位数字与百位数字的和为：2+3＝5，十位数字与个位数
字的和为：1+5＝6，
∴2315是一个“五颜六色数”；
∵4223的千位数字与百位数字的和为：4+2＝6，
∴4223不是一个“五颜六色数”；
故答案为：是，不是；
（2）①∵m表示成 是“五颜六色数”，
∴a+b＝5，c+d＝6，
∵ ＝135，
∴1000a+100b+10c+d﹣（1000a+100c+10b+d）＝270，
∴b﹣c＝3，
∴b+d＝9，
∵3b﹣2c+a＝3b﹣2（6﹣d）+（5﹣b）＝2（b+d）﹣7，
∴3b﹣2c+a＝18﹣7＝11；
②∵m'也是五颜六色数，
∴a+c＝5，b+d＝6，
∵a+b＝5，c+d＝6，
∴b＝c，
∴a＝5﹣b，d＝6﹣b，
∴（4﹣d+a）x＝（4﹣6+b+5﹣b）x＝3x＝b2+2，
∴x＝ ，
∵x是整数，
∴b＝1或b＝2或b＝4，
∴x＝1或x＝2或6，
∴|y﹣x |+|y﹣x |+…+|y﹣x |＝|y﹣1|+|y﹣2|+|y﹣6|，
1 2 n
当y＝2时，|y﹣x |+|y﹣x |+…+|y﹣x |有最小值5．
1 2 n【点评】本题考查一元一次方程的应用，弄清定义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题
的关键．
48．（2022秋•青川县期末）一位商人来到一个新城市，想租一套房子，A家房主的条件是：
先交2 000元，然后每月交租金380元，B家房主的条件是：每月交租金580元．
（1）这位商人想在这座城市住半年，那么租哪家的房子合算？
（2）这位商人住多长时间时，租两家房子的租金一样？
【分析】（1）根据A家的租金＝2000+380×住的月数（B家的租金＝580×住的月数）分
别算出住半年A、B两家的租金，比较后即可得出结论；
（2）设这位商人住x个月时，租两家房子的租金一样，根据A家的租金＝B家的租金即
可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）如果住半年，A家的租金：2000+380×6＝4280（元）；
如果住半年，B家的租金：580×6＝3480（元）．
∵4280＞3480，
∴这位商人想在这座城市住半年，租B家的房子合算．
（2）设这位商人住x个月时，租A家的房子合算，
根据题意得：2000+380x＝580x，
解得：x＝10．
答：这位商人住10个月时，租两家房子的租金一样．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及解一元一次方程，根据数量关系列出一元
一次方程是解题的关键．
一十一．几何体的展开图（共1小题）
49．（2022秋•垫江县期末）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（
）
A． B．C． D．
【分析】根据正方体的展开图的特征，“对面”“邻面”之间的关系进行判断即可．
【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，
正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
【点评】考查正方体的展开与折叠，掌握展开图的特征以及“正面、邻面”之间的关系
是正确判断的前提．
一十二．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
50．（2022秋•西安期末）如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个
面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 8 1 ．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：
六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为 11，12，13，14，15，16或
10，11，12，13，14，15，然后分析符合题意的一组数即可．
【解答】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，
故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15；
且每个相对面上的两个数之和相等，
11+16＝27，
10+15＝25，
故可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和为81和75（11
和14必须为对面，在本体图片中，11和14为邻面，故不合题意，应舍去）
故答案为：81．
【点评】本题主要考查整数问题的综合运用和几何体的展开图的知识点，解答本题的关键是对几何图形的观察能力和空间想象能力．
一十三．直线、射线、线段（共2小题）
51．（2022秋•市北区校级期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个
点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
【分析】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要
印制（5﹣1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，
单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，
故选：C．
【点评】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每
个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
52．（2022秋•海陵区校级期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以
B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，
∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝
DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为
15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D
为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种
情况探讨：当F在线段CD上最小，点F和E重合最大计算得出答案即可．
【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，
故①正确；
②图中互补的角就是分别以 C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故②正确；
③ 由 ∠ BAE ＝ 90° ， ∠ CAD ＝ 40° ， 根 据 图 形 可 以 求 出
∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝90°+90°+90°+40°＝310°，故③错误；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝
11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝
8+0+6+3＝17，故④错误．
故选：B．
【点评】此题分别考查了线段、角的和与差以及角度的计算，解题时注意：互为邻补角
的两个角的和为180°．
一十四．两点间的距离（共2小题）
53．（2022秋•海珠区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，
点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1
厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，
则经过 2 、 1 0 、 或 秒时线段PQ的长为6厘米．
【分析】首先根据AB＝12厘米，AC＝8厘米，求出CB的长度是多少；然后分四种情
况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q
向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6
厘米即可．
【解答】解：∵AB＝12厘米，AC＝8厘米，
∴CB＝12﹣8＝4（厘米）；
（1）点P、Q都向右运动时，
（6﹣4）÷（2﹣1）
＝2÷1
＝2（秒）
（2）点P、Q都向左运动时，
（6+4）÷（2﹣1）
＝10÷1
＝10（秒）（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
（6﹣4）÷（2+1）
＝2÷3
＝ （秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
（6+4）÷（2+1）
＝10÷3
＝ （秒）
∴经过2、10、 或 秒时线段PQ的长为6厘米．
故答案为：2、10、 或 ．
【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
54．（2022秋•岳阳县期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝
13cm，BC＝3cm．
（1）图中共有多少条线段，请写出这些线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．
【分析】（1）图中的线段有AC、AB、AD、CB、CD、BD这6条；
（2）先根据中点得出CD＝2BC＝6cm，继而由AC＝AD﹣CD可得答案；
（3）分点E在AC上和点E在CA延长线上两种情况，先求得AB＝AC+BC＝10，再分
别根据BE＝AB﹣AE、BE＝AB+AE可得答案．
【解答】解：（1）图中的线段有：AC、AB、AD、CB、CD、BD，共6条；
（2）∵点B为CD的中点，BC＝3cm，
∴CD＝2BC＝6cm，
∵AD＝13cm，
∴AC＝AD﹣CD＝7（cm）；
（3）如图1，当点E在AC上时，∵AB＝AC+BC＝10cm，EA＝4cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6（cm）；
如图2，当点E在CA延长线上时，
∵AB＝10cm，AE＝4cm，
∴BE＝AE+AB＝14cm；
综上，BE的长为6cm或14cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，根据图形，利用中点性质转化线段之间的倍分关
系是解答此题的关键．
一十五．钟面角（共1小题）
55．（2022秋•泉州期末）上午10点20分时，钟面上时针和分针的夹角为 17 0 度．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点20分时，钟面上时针和分针的夹角为30×（5+ ）＝170°，
故答案为：170．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
一十六．角的计算（共3小题）
56．（2022秋•泉州期末）如图，长方形纸片 ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD
上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将
∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．∠FEG＝20°，则∠MEN＝
100° 或 80° ．
【分析】分两种情形：当点G在点F的右侧；当点G在点F的左侧，根据∠MEN＝
∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
【解答】解：当点G在点F的右侧，
∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG，
∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB﹣
∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，
∴∠NEF+∠MEG＝ （180°﹣20°）＝80°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；
当点G在点F的左侧，
∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG，
∴ ∠ NEF+∠ MEG ＝ ∠ AEF+ ∠ BEG ＝ （ ∠ AEF+∠ BEG ） ＝
（∠AEB+∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，
∴∠NEF+∠MEG＝ （180°+20°）＝100°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，综上，∠MEN的度数为100°或80°，
故答案为：100°或80°．
【点评】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
57．（2022秋•横峰县期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，
ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB＝ ，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC＝α（ 为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）β的结β果中，你能看出什么规律？
【分析】（1）先求得∠AOC 的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC＝60°，
∠CON＝15°，最后根据∠MON＝∠MOC﹣∠CON求解即可；
（2）先求得∠AOC＝ +30°，由角平分线的定义可知∠MOC＝ +15°，∠CON＝15°，
最后根据∠MON＝∠MαOC﹣∠CON求解即可； α
（3）先求得∠AOC＝ +90°，由角平分线的定义可知∠MOC＝ +15°，∠CON＝ ，
最后根据∠MON＝∠MβOC﹣∠CON求解即可； β β
（4）根据计算结果找出其中的规律即可．
【解答】解：（1）∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°+30＝120°．
由角平分线的性质可知：∠MOC＝ ∠AOC＝60°，∠CON＝ ∠BOC＝15°．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON＝60°﹣15°＝45°；
（2）∠AOB＝ ，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝ +3α0°．
α由角平分线的性质可知：∠MOC＝ ∠AOC＝ +15°，∠CON＝ ∠BOC＝15°．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON， α
∴∠MON＝ +15°﹣15°＝ ．
（3）∠AOB＝α90°，∠BOC＝α，
∴∠AOC＝ +90°． β
β
由角平分线的性质可知：∠MOC＝ ∠AOC＝ +45°，∠CON＝ ∠BOC＝ ．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON， β β
∴∠MON＝ +45°﹣ ＝45°．
β β
（4）根据（1）、（2）、（3）可知∠MON＝ ∠BOA，与∠BOC的大小无关．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得∠MOC和∠CON的大小，
然后再依据∠MON＝∠MOC﹣∠CON求解是解题的关键．
58．（2022秋•同心县校级期末）（1）如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是
AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．
（2）如图2，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°．求∠AOB．
【分析】（1）直接利用两点之间距离分别得出CN，MC的长进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质以及结合已知角的关系求出答案．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，AC＝6cm，
∴MC＝ AC＝6× ＝3cm，
又因为CN：NB＝1：2，BC＝15cm，
∴CN＝15× ＝5cm，
∴MN＝MC+CN＝3+5＝8cm，
∴MN的长为8cm；（2）∵∠BOE＝2∠AOE，∠AOB＝∠BOE+∠AOE，
∴∠BOE＝ ∠AOB，
∵OF平分∠AOB，
∴∠BOF＝ ∠AOB，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝ ∠AOB，
∵∠EOF＝20°，
∴∠AOB＝120°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及两点之间距离，正确把握相关定义是解题
关键．
一十七．余角和补角（共2小题）
59．（2022秋•九龙坡区校级期末）如图 1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，
∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的
大小为 37.5 ° ；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝15°时，
则∠MON的大小为 37.5 ° ；
（3）在∠COD绕点O顺时针旋转到∠AOB内部时，请你画出图形，∠MON的度数是
否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出∠MON的度数．
【分析】（1）∠MON＝∠BOM+∠BON＝ ，进而得出结果；
（2）∠AOM＝ ＝ ，从而得出∠AOM的度数，∠DON＝＝ ，从而得出∠DON的度数，进一步得出结果；
（3）可推出∠MON＝∠AOB﹣ （AOC+∠BOD），进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM＝ ， ，
∴∠BOM+∠BON＝ ，
∴∠MON＝ ×（45°+30°）＝37.5°，
故答案为：37.5°；
（2）如图2，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠AOM＝ ＝ ＝ °+15°）＝30°，∠DON＝
＝ ＝ （30°+15°）＝22.5°，
∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝（∠AOB+∠BOC+∠COD）﹣30°﹣22.5°＝90°
﹣30°﹣22.5°＝37.5°，
故答案为：37.5°；
（3）如图3，∠MON＝37.5°，不发生变化，理由如下：
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠AOM＝ ， ，
∴∠MON＝∠AOB﹣ （AOC+∠BOD）＝45°﹣ （∠AOB﹣∠COD）＝45°﹣
（45°﹣30°）＝37.5°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的和差等知识，解决问题的关键是弄清角之间
的关系．
60．（2022秋•迁安市期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一
个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
（1）将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，如图1所示，则∠COE的度数为
20° ，其补角的度数为 160 ° ；
（2）将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求
∠COD的度数；
（3）如图 3，将直角三角板 DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC 的内部，试猜想
∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请
直接写出∠COE的度数．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出∠COE的度数，再利
用补角的定义可求解；
（2）根据角平分线定义求出∠BOE＝140°，代入∠BOD＝∠BOC﹣∠DOE，再利用∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相
减即可求出答案；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的外部，在备用图中画出三角
板DOE的四个位置，即可求出∠COE的度数．
【解答】解：（1）若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，
则∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°．
∴其补角为180°﹣20°＝160°，
故答案为：20；160°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°；
（4）如图，
∵∠BOC＝70°，∠BOD＝80°，
∴∠COD＝80°﹣70°＝10°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+10°＝100°；如图，
∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝150°﹣90°＝60°，
综上，∠COE的度数为100°或60°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、余角和补角、旋转作图，解决本题的关键是准确
画出旋转后的三角板的位置．
