文档内容
2024 年兰州市初中学业水平考试
数学
注意事项：
1.全卷共120分，考试时间120分钟．
2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
的
2. 已知∠A＝80°，则∠A 补角是（ ）
A. 100° B. 80° C. 40° D. 10°
3. 2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区
生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 计算： （ ）
A. a B. C. D.
5. 一次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，小明在地图上量得 ，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（
）A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等
7. 如图，小张想估测被池塘隔开的 A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一点C，然后步测出
的中点D，E，并步测出 的长约为 ，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
8. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容
道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从
这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A. B. C. D.
的
9. 关于 一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A. B. C. D.
10. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意
是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买
了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在 中， ， ， ，则 （ ）A. B. C. D.
12. 如图1，在菱形 中， ，连接 ，点M从B出发沿 方向以 的速度运
动至D，同时点N从B出发沿 方向以 的速度运动至C，设运动时间为 ， 的面积为
，y与x的函数图象如图2所示，则菱形 的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解 ______．
14. 如图，四边形 为正方形， 为等边三角形， 于点F，若 ，则
______．
15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图 1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中 ， 的半径分别是1cm和10cm，当 顺时针转动
3周时， 上的点P随之旋转 ，则 ______．
16. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 计算： ．
18. 解不等式组：
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
20. 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，点B是反比例函数图象上一点， 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 ．
（1）求反比例函数 与一次函数 的表达式；
（2）当 时，求 的面积．
21. 如图，在 中， ，D是 的中点， ， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图 1是某型号水火箭的实物图，水火
箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2
建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面 A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从
发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平距离 的几组关系数
据如下：
水平距离
0 3 4 10 15 20 22 27
.
竖直高度
41
0 3.24 8 9 8 7.04 3.24
6（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
23. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条
画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置
记为点B，连接 ；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，
B，C不在同一条直线上）；
③连接 并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在 延长线上的
落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接 ， ，则画出的 是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图 2， ，请画出以点A为顶
点的直角，记作 ；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明： ，
与 是等腰三角形．
．（依据1______）
．
，（依据2______）
，．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方
法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直
角，记作 ，使得直角边 （或 ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
24. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，
现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量
化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好： ；合
格： ；待提高： ）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组
人数 m 7 2 7
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）下列结论正确的是______；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的 ；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
的
③在信息三中，相比于点A所代表 学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存
在一定差距，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
的
25. 单摆是一种能够产生往复摆动 装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰
写实验报告如下．
实
验
探究摆球运动过程中高度的变化
主
题
实
验
摆球，摆线，支架，摄像机等
用
具
实 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开
验
始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
说如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处， ，
明 ， ； 当 摆 球 运 动 至 点 C 时 ， ，
．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实
验
图
示
解决问题：根据以上信息，求 的长．（结果精确到 ）
参考数据： ， ．
26. 如图， 内接于 ， 为 的直径，点D为 上一点， ，延长 至E，使
得 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
27. 综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 得到
，连接 ，则 ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图 2，在 中， ，， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ，
．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连
接 ， ，请直接写出 的最小值．
28. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 的延长线上，使得
，如果点 Q 在图形 W 上，则称点 P 是图形 W 的“延长 2 分点”，例如：如图 1，
是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线
段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，
______是图形 的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为
顶点的等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范
围．
