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数学试卷
选择题
一、选择题
1. 在0，1， ， 中最小的实数是（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数 负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．
【详解】解：∵ ，
∴最小的实数是 ，
故选：B．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
故选：D．
3. 函数 自变量的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解
题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．
【详解】解：由题知， ，
解得 ，
故答案为：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除
法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．
【详解】解： 和 不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
，故B选项符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：B．
5. 实数 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数 ， 在数轴上对应点的位置可知， ，，由此即可求解．
【详解】解：由题意得， ， ，则 ，
∴ ， ， ，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
6. 如图，直线 ，一块含有 的直角三角板按如图所示放置．若 ，则 的大小为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得 的度数，再利用三角形
的外角性质求得 的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．7. 如图， 的对角线 相交于点 ，点 是 的中点， ．若 的周长
为12，则 的周长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线
的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴O是 中点，
又∵E是 中点，
∴OE是 的中位线，
∴ ， ，
∵ 的周长为12， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故选：B.
8. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校 60km，一部分学生乘慢车先行 ，另一部分
学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快 20km，求慢车的速度？设慢车的速度为 ，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为 ，则快车的速度是 ，
再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为 ，则快车的速度为 ，根据题意可得：
．
故选：A．
9. 一组数据 ，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的
平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案．
【详解】解：∵一组数据 ，
∴平均数为： ，中位数为 ，
众数为 ，极差为： ，
去掉数据11为 ，
∴平均数为： ，中位数为 ，众数为 ，极差为： ，
∴中位数发生变化，
故选：B．
10. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史
上的“葭生池中”问题．即 ， ， ，则 （ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设 ，则 ，由勾股定理列出方程进行求
解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
由题意，得： ，
解得： ，即 ，
故选：C．
11. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规 律探究；先求解
，可得 ，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故选C
12. 如图，在 中， 是 的中点， ， 与 交于点 ，且 ．下列说法错
误的是（ ）A. 的垂直平分线一定与 相交于点
B.
C. 当 为 中点时， 是等边三角形
D. 当 为 中点时，
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，根据 ，点 是 的中点得 ，则 ，进
而得点 在线段 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设 ，根据 得
， 的 ， 再 根 据 得 ， 则
，由此可对选项Ｂ进行判断；当 为 中点时，则 ， 是线段
的垂直平分线，由此得 ，然后根据 ， ， 得 ，
由 此 可 对 选 项 Ｃ 进 行 判 断 ； 连 接 并 延 长 交 于 ， 根 据 是 等 边 三 角 形 得
，则 ，进而得 ， ，由此得 ，
，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：连接 ，如图1所示：
，点 是 的中点，
为 斜边上的中线，
，
，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
即线段 的垂直平分线一定与 相交于点 ，故选项A正确，不符合题意；
设 ，
，
，
，
，
，
，
即 ，故选B正确，不符合题意；
当 为 中点时，则 ，
，
是线段 的垂直平分线，，
， ， ，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接 ，并延长交 于 ，如图2所示：
当 为 中点时，
点 为 的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点 为 的中点，
当 为 中点时， 是等边三角形，
， ， 平分 ， 平分 ，
，
，
在 中， ，
，，
， ，
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，
等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形
的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
非选择题
二、填空题
13. 27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
14. 过五边形的一个顶点有__________条对角线．
【答案】2
【解析】
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出
n边形从一个顶点出发可引出 条对角线．
【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，
故答案为：2．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出 条对角线．
15. 已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程 有一个根为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4．
16. 如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则 的度数是______．
【答案】60°
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝ ∠AOC，根据圆内接四边
形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可．
【详解】解：∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC＝∠ABC，
由圆周角定理得：∠ADC＝ ∠AOC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是
解题的关键．
17. 如图，矩形 的对角线 与 交于点 ， 于点 ，延长 与 交于点 ．若， ，则点 到 的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作 ，垂足为
H，利用勾股定理求出 的长，利用角的余弦值求出 的长，再利用勾股定理求出 ，从而得出
，利用三角形面积求出 即可．
【详解】解：如图，过点F作 ，垂足为H，
四边形 为矩形，
， ，
， ，
，
，即 ，
解得： ，，即 ，
解得： ，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
18. 若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于 轴对称．则下列说法正确的
序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当 时，代数式 的最小值为3
③对于任意实数 ，不等式 一定成立
④ ， 为该二次函数图象上任意两点，且 ．当 时，一定有
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次
函数的性质是解本题的关键．由二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于 轴对称．可得 ，可
得①符合题意；由 ，可得 ，结合 ，可得②不符合题意；
由对称轴为直线 ，结合 ，可得③符合题意；分三种情况分析④当 时，当
时，满足 ，当 时，不满足 ，不符合题意，舍去，可
得④符合题意；
【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
而二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于 轴对称．
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，
∴
，
，
∵ ，
∴当 时， 取最小值 ，故②不符合题意；∵ ，
为
∴对称轴 直线 ，
∵ ，
当 时，函数取最小值 ，
当 时，函数值为 ，
∴ ，
∴对于任意实数 ，不等式 一定成立，故③符合题意；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，满足 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，不满足 ，不符合题意，舍去，故④符合题意；
综上：符合题意的有①③；
故答案为：①③．
三、解答题
19. （1）计算：（2）求不等式组 的解集．
（3）先化简，再求值： ，其中
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再
合并即可；
（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；
（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
由不等式①得： ；
由不等式②得： ；
∴原不等式组的解集为： ；
（3）；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数
值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键．
20. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了 名学
生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中
所提供的信息解答下列问题．
（1）求 ______，并补全条形统计图．
的
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动 学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方
法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）200，图见详解
（2）312名 （3）
【解析】
【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出 ，然后求出喜欢乒乓球的人数即可；
（2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图即可解决问题．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大
小．同时考查了概率公式．
【小问1详解】
解： （名 ，
喜欢乒乓球的人数； （名 ，
补全统计图：
故答案为：200；
【小问2详解】
解： （名 ，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
【小问3详解】
解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ．
21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 的坡度 ， ，在处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ．
（1）求点 离水平地面的高度 ．
（2）求电线塔 的高度（结果保留根号）．
【答案】（1） ；
（2）电线塔 的高度 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡 的坡度 ，求得 ，利用正切函数的定义得到 ，据此
求解即可；
（2）作 于点 ，设 ，先解 得到 ，解 得到
米，进而得到方程 ，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵斜坡 的坡度 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：作 于点 ，则四边形 是矩形， ， ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：电线塔 的高度 ．22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点
的横坐标为1．
（1）求 的值及点 的坐标．
（2）点 是线段 上一点，点 在直线 上运动，当 时，求 的最小值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由 ，证明 ，可得 ，求解 ,证明 ，如图，
当 时， 最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【小问1详解】
解：∵直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点 的横坐标为1．
∴ ，
∴ ,∴ ，
∴反比例函数为： ；
∴ ，
解得： ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ,
∴ ，
∴ ， ，
如图，当 时， 最短；
∴ ；【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理
的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
23. 如图， 内接于 ，点 为 的中点，连接 ， 平分 交 于点 ，过
点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）求证： ．
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，结合 ，可得 ，从而可得结论；
（2）证明 ， ，结合 ，
，再进一步可得结论；
（3）如图，连接 ，证明 ，再证明 ，可得 ，结合 ，
从而可得答案；
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且OD是 的半径，
∴DF是 的切线；
【小问2详解】
证明：∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
的
∵四边形 为 内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，经检验，符合题意；
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性
质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
24. 综合与实践
（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四
边形 为梯形， ， 是 边上的点．经过剪拼，四边形 为矩形．则
______．（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在
的
图5中， 是四边形 边上 点． 是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出： 与 的比值为______．
②证明：四边形 为平行四边形．
（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形 剪成4块，按图
5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①1；②见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】（1）由“角角边”即可证明；
（2）①由操作知，将四边形 绕点E旋转 得到四边形 ，故 ，因此 ；
②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）取 为中点为 ，连接 ，过点 ，点 分别作 ， ，
垂足为点 ，将四边形 绕点 旋转 至四边形 ，将四边形 绕点 旋转
至四边形 ，将四边形 放置左上方空出，使得点C与点A重合， 与 重合，与 重合，点N的对应点为点 ，则四边形 即为所求矩形．
【小问1详解】
解：如图，
∵ ，
∴ ，
由题意得 为 中点，‘
∴ ’，
∵ ，
∴
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①如图，由操作知，点E为 中点，将四边形 绕点E旋转 得到四边形 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
②如图，由题意得， 是 的中点，操作为将四边形 绕点E旋转 得到四边形
，将四边形 绕点H旋转 得到四边形 ，将四边形 放在左上方空出，
则 ， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 三点共线，同理 三点共线，
由操作得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问3详解】
解：如图，如图，取 为中点为 ，连接 ，过点 ，点 分别作 ， ，
垂足为点 ，将四边形 绕点 旋转 至四边形 ，将四边形 绕点 旋转
至四边形 ，将四边形 放置左上方空出，使得点C与点A重合， 与 重合，
与 重合，点N的对应点为点 ，则四边形 即为所求矩形．
由题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，
由操作得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
同理 三点共线，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
如图，连接 ，∵ 为 中点，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由操作得， ，而 ，
∴ ，
同理， ，
∵ ， ，，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 能放置左上方空出，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解
题意是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
（3）如图2，连接 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记 、、 的面积分别为 ．当 取得最大值时，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令 时， ，求出 ，进一步求出直线 的解析式为 ，设
，则 ，表示出 ， ，利用 ，可
得 ，可得 ；
（3）由 得到 ，进而得到 ，作 交y轴于N，作
轴交 于Q，求出直线 的解析式为 ，进而得到 ，求出 ，再证明
，设 ，则 ，得到 ，得到
，即可得到此时，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
求出 ， ，证明 ，得到
，由 即可求出答案．【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为． ；
【小问2详解】
解：∵当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∵ 轴于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ， （此时 ， 重合，不合题意舍去），
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
，
∴ ，
，
作 交y轴于N，作 轴交 于Q，
直线 的解析式为 ， ，
直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，∴ , ，
， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
设 ，则 ，
∴ ，
，
∴当 时， 有最大值 ，
此时 ， ，
， ，
，
，
，
，， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和
性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
