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2024 大庆数学
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求．
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
3. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
的
4. 下列常见 几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅
游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率
是（ ）A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：
小庆把纸带①沿 折叠，量得 ；小铁把纸带②沿 折叠，发现 与 重合，
与 重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.9. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 ， ， ， ， ， 这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．
下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）
A. 小庆选出四个数字的方差等于 B. 小铁选出四个数字的方差等于
C. 小娜选出四个数字的平均数等于 D. 小萌选出四个数字的极差等于
10. 如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，点N是 边上任意一点，将
线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小值为（ ）
A. 15 B. C. D. 18
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在
答题卡相应位置上．
11. 计算： =___．
12. 已知 ，则 的值是___________．
13. 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球 体的积为 ，圆柱形盒子的容积为 ，则
______．（球体体积公式： ，其中r为球体半径）14. 请写出一个过点 且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 _____．
15. 不等式组 的整数解有______个．
16. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ；分别以
点 ， ， 为圆心，以 的长为半径作 ， ， ．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．
若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是______．
17. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由
两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作
正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉
斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为______．
18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为
“倍值点”．例如：“倍值函数” ，其“倍值点”为 ．下列说法不正确的序号为
______．
①函数 是“倍值函数”；
②函数 的图象上的“倍值点”是 和 ；③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 ；
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 时，
n的最小值为k，则k的值为 ．
三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字
说明、计算过程、证明过程．
19. 求值： ．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
21. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰
时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时
的
电价高 元/度．市民小萌 电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，
并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22. 如图， 是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路 上由北向南行驶，在 处测得桥头 在
南偏东 方向上，继续行驶 米后到达 处，测得桥头 在南偏东 方向上，桥头 在南偏东
方向上，求大桥 的长度．（结果精确到 米，参考数据： ）
23. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：
“ ”记为1分，“ ”记为2分，“ ”记为3分，“ ”记为4分，“
”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生
成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均 中位 众
数 数 数
第1小
3.9 4 a
组
第2小
b 3.5 5
组
第3小
3.25 c 3
组
请根据以上信息，完成下列问题：
的
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应 圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） ______， ______， ______；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成
绩不低于90分？
24. 如图，平行四边形 中， 、 分别是 ， 的平分线，且E、F分别在边 ，
上．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的面积．
25. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种
农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价为 (元 千克)．当 时，
；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为 ，已知该产品第
天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为 (元)．
（1） ， _____；
（2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
（3）求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
26. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形
是平行四边形，点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为
．（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是 边 中的点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；
（3）如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点P为 的中点，过点 作 于点N．请直接写出P点坐标和 的值．
27. 如图， 为 的内接三角形， 为 的直径，将 沿直线 翻折到 ，点
在 上．连接 ，交 于点 ，延长 ， ，两线相交于点 ，过点 作 的切线交 于
点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ．求 的值．
28. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为 中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（3）已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说
明理由．
