文档内容
参照秘密级管理★启用前
试卷类型：A
济宁市二○二四年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页，考试时间120分钟，共100分．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用 0.5毫米黑色墨水签
字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，如需改动，必须先用
橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的
答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一
一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查绝对值，属于简单基础题，根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解： 的绝对值是3，
故选：D．
2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A. 人 B. 才 C. 强 D. 国
【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个
正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答．
【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”，
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法
则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
4. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，E是 的中点，连接 ．若 ，则菱形的
边长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】【分析】根据菱形的性质可得 ，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得 ，
即可得解．
本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
，
∵E是 的中点，
，
∴ 。
故选：A．
5. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班 50名同学进行
了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计
图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多
C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为
【答案】D
【解析】
【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断
A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比
计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用 乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形
的圆心角的度数，即可判断D．
本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键．【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，
所以班主任采用的是全面调查，
故A选项错误；
喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，
故B选项错误；
喜爱戏曲节目的同学有 名，
故C选项错误；
“体育”对应扇形的圆心角为 ，
故D选项正确．
故选：D．
6. 如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于G，∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
7. 已知点 在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数 的图
象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函
数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，∴函数 的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴
∴ ，
故选：C．
8. 解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分
母．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
整理可得：
故选：A．
9. 如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于点E，F．若 ，
，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得 ， ．根据三角形
外角定理可得 ， ，由此可得 ，又由
，可得 ，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形 是 的内接四边形我
∴ ，
， ，
，
， ， ，
，
解得 ，
，
．
故选：C
10. 如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形
第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A. 90 B. 91 C. 92 D. 93【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察
图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有 个，第3个图形有 个，…由此得
到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有 个正方形，
第3个图形有 个正方形，
……
第6个图形有 （个）正方形，
故选：B.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 我国自主研发的 口径球面射电望远镜（ ）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为
．将数 用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 已知 ，则 的值是______．
【答案】2【解析】
【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得
到 ，代入进而即可求解
【详解】解： ，
，
故答案为：2
13. 如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ，请补充一个条件______，使四边
形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加条件： ，
证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为： （答案不唯一）
14. 将抛物线 向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取
值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平移的规律写出抛物线 向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再
根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得 ，由此列不等式即可求出k的取值范围．
此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与 x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规
律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将抛物线 向下平移k个单位长度得 ，
∵ 与x轴有公共点，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
15. 如图， 中， ， 是 的角平分线．（1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ．
（2）以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ．
（3）以点 为圆心， 长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点 ．
（4）画射线 ．
（5）以点 为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ．
（6）连接 ， ， 分别交 ， 于点 ， ．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是______．（只填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含 角的直角
三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是
解题的关键．
根据等腰三角形的性质即可判断出①；过 作 于点 ，证出四边形 为矩形，即可通
过边的比值关系求出 ，即可求出 判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进
行比较即可判断③；设 ，则 ，用含 的式子分别表达出 和 的长度后即可判断
④；判定出 即可判断⑤．
【详解】解：∵ ， ，
为
∴三角形 等腰直角三角形， ，
又∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；根据题意作图可得： ， ，
过 作 于点 ，则 ，如图所示：
∵ 是 的角平分线，由三线合一可得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
，即 ，
∴ ，故④错误；
∵ ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16. 先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】
【解析】
【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把
x与y的值代入计算即可求出结果．
此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：
，
当 ， 时，
原式 ．
17. 如图， 三个顶点的坐标分别是 ．（1）将 向下平移2个单位长度得 ，画出平移后的图形，并直接写出点 的坐标；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得 ．画出旋转后的图形，并求点 运动到点 所经过
的路径长．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线， 运动到点 所经过的路径长即为弧长即可可求解
【小问1详解】
解： 如下图所示：
由图可知： ；
【小问2详解】
解： 如上图所示：运动到点 所经过的路径为：
18. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5
分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学
生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，
95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，
90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分 8 8 9 9 10
数 0 5 0 5 0
人
3 3 a b 3
数
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量 平均 中位 众 方
班级 数 数 数 差
八年级（1）
95 41.5
班
八年级（3）
91 90 26.5
班
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图：
（2）填空： ______， ______；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所
抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【答案】（1）见详解 （2）91，92.5
（3）八年级（1）班成绩较好，理由见详解
（4）
【解析】
【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统
即可；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得 ， ，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；
（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y
表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计
算公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所
示：
【小问2详解】
解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得 ， ，
∴ ，的
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名 平均数，
．
【小问3详解】
的
解：八年级（1）班和八年级（3）班 平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）
班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．
【小问4详解】
解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y
表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：
(1)班 （3）班 A B C X Y
A AB AC AX AY
B BA BC BX BY
C CA CB CX CY
X XA XB XC XY
Y YA YB YC YX
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有 共8种，
∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： ．
【点睛】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率
的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19. 如 图 ， 内 接 于 ， D 是 上 一 点 ， ． E 是 外 一 点 ，
，连接 ．（1）若 ，求 的长；
（2）求证： 是 的切线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 可得 ，然后证明 ，根据全等
三角形的性质可得答案；
（2）连接 ，首先证明 ，再根据三角形内角和定理和圆周角
定理求出 ，然后计算出 即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，由（1）得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切
线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
20. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：
元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为
多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）这段时间内y与x之间的函数解析式为
（2）当销售单价为 元时，商场获得利润最大，最大利润是 元
【解析】
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，函数经过 ， ，可
以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售
单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为 ，写出 关于 的二次函数解析式，根据二次函数
的增减性和 的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【小问1详解】
解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数经过 ， ，
可得 ，解得 ，
这段时间内y与x之间的函数解析式为 ；
【
小问2详解】
解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
， ，
即 ，解得 ，
设获得利润为 ，即 ，
对称轴 ，，即二次函数开口向下， 的取值范围是 ，
在 范围内， 随着 的增大而增大，
即当销售单价 时，获得利润 有最大值，
最大利润 元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
21. 综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形 中， 且 足够长）进行探究活
动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在 上的点E处，折痕为 ，连接 ，把纸片展
平．
第二步，把四边形 折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为 ，再把纸片展平．
第三步，连接 ．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形 是正方形．乙同学的结论： ．
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在 上的点M处，折痕为 ，连接 ，把纸片展
平．
第五步，连接 交 于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论： ．
（2）请证明这个结论．
【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全
等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出
辅助线并熟练掌握相关的性质定理，
（1）先证明四边形 为矩形，再根据 即可证明四边形 为正方形，设 ，由折
叠性质可知： ， ，再根据等腰直角三角形的性质分别求出
， ，即可得出 ，进而可得出结论；
（2）作 交 于点R，利用 证明 ，得出 ，再证明四边形 为菱形，得出 ，进而证明 ，再根据 证明 ，
得出 ，进而证明 ，即可得出结论
【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下：
四边形 是矩形，
由第一步操作根据折叠性质可知：
四边形 为矩形，
又
四边形 为正方形，
故甲同学的结论正确；
作 于点M，
四边形 为正方形，
设 ，
由第二步操作根据折叠性质可知： ，
在 中，
在 中， ,故乙同学 的结论正确；
（2）作 交 于点R，如图所示：
为折痕,
四边形 为矩形，
在 和 中，又
由折叠性质可知：
四边形 为菱形，
即
在 和 中，22. 已知二次函数 的图像经过 ， 两点，其中a，b，c为常数，且 ．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是 ，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线 交于
点E，连接 ， ， ．是否存在点P，使 ？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）①该二次函数的解析式为： ； ，
②存在，P点横坐标为： 或 或
【解析】
【分析】（1）先求得 ，则可得 和 关于对称轴 对称，由此可得
，进而可求得 ；（2）①根据抛物线顶点坐标公式得 ，由此可求得 ，进而可得抛物线的表达
式为 ，进而可得 ， ；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即
可．
【小问1详解】
解：∵ 的图像经过 ，
∴ ，
∴ 和 关于对称轴 对称，
∴ ，
，
，
∴ ， ．
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∵解得 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴该二次函数的解析式为： ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ．
②设直线 的表达式为： ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
当点P在点A右侧时，作 于F，如图所示：
设 ，则 ， ，
则 ，
,
，
∵ ， ， ，∴
，
∵ ，
，
解得： ， ，
∴点P横坐标为 或 ；
当点P在点A左侧时，作 于F，如图所示：
设 ，则 ， ，
则 ，
,
，∵ ， ， ，
∴
，
∵ ，
，
解得： ， （舍去），
∴点P横坐标为 ，
综上所述，P点横坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次
函数的表达式．熟练掌握“三角形面积 水平宽 铅锤高”是解题的关键．
