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第六章 几何图形初步知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、几何体的特征与分类
1、常见几何体的特征
常见几何体 名称 特征
圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面．棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形
棱柱 状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n
棱柱．
圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面．
由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为 n边形的
棱锥
棱锥叫n棱锥．
球体 由一个曲面围成．
2、几何体的分类
分类标准
柱体 圆柱、棱柱
按柱、锥、球分类 锥体 圆锥、棱锥
球体 球体
直面体 棱柱、棱锥
按面是否有曲面
曲面体 圆柱、圆锥、球体
是 棱柱、棱锥、圆锥
按是否有顶点
否 圆柱、球体
注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，
都要做到不重、不漏.
二、点、线、面、体之间的关系
（点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体）
三、直线相关概念
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1所示，可表示为直线AB(或
直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线 ．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
四、线段相关概念
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB或线
段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规
把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端
点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点 C是线段AB的中点，则 ，或AB＝2AC＝2BC．
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
五、射线相关概念
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的
任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8
所示，射线OA可记为射线l．
注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一
条射线．
六、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条
射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
注：（1） 联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
七、角的相关概念
1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫
做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．
角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．
如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．
如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；
如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.
2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度
角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．
3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：
(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；
A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．
(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点
的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶
点的角不止一个，容易混淆．
(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或
小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．
4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合
（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．
5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的 为1分，记作
“1′”，即l°＝ 60′.1′的 为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．
八、角的比较
1）角的比较方法
(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和
BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF
＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞
∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.
提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
2）角的和、差
由图 4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图 4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图 4-4-7(4)中，∠GEF＝
∠DEG-∠1．
3）角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．1
2
如图 4-4-9 所示，射线 OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC＝∠COA＝ ∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝
2∠COA.
4）方向的表示
方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°
的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向．
仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角
九、余角、补角
1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角
的余角。
用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α 与∠β 余角；反过来，如果∠α 与∠β 互余，那么
∠α+∠β=90°
2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角
的补角。
用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α 与∠β 互补；反过来如果∠α 与∠β 互补，那么
∠α+∠β=180°
03 题型归纳
题型一 常见的几何体
例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（ ）A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列实物图中，其形状类似圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 几何体中的点、棱、面
例题：（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱．
巩固训练
1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个七棱柱有 个面； 个顶点．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是 ，侧棱长都是
，回答下列问题：(1)它有________个侧面，________个底面．
(2)它的所有侧面的面积之和是多少？
3．（23-24六年级上·山东泰安·期中）推理猜测：
(1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面．
(2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面；
(3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？
4．（23-24七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面
数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，
回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面
20 12 30
体
四面体棱数是_；正八面体顶点数是_．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为 个，八边形的个数为 个，求 的值．
题型三 点、线、面、体四者之间的关系
例题：（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”
之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
巩固训练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了
美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短
2．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这
一现象为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线
3．（23-24七年级上·山东青岛·期中）下面现象能说明“面动成体”的是（ ）
A．流星从空中划过留下的痕迹
B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线
C．时钟秒针旋转时扫过的痕迹D．将一枚硬币竖立在桌面，击打一侧使其快速旋转，就会看到一个“球”
题型四 平面图形旋转后所得的立体图形
例题：（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体
是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）将如图所示的平面图形绕直线 旋转一周，得到的立体图形是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立
体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为 ，宽为 ，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体．
(1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)求得到的这个几何体的体积（结果保留 ）
题型五 直线、射线、线段的联系与区别
例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
巩固训练
1.下列说法错误的是（ ）
A．直线 与直线 是同一条直线 B．线段 与线段 是同一条线段
C．射线 与射线 是同一条射线 D．射线 与线段 都是直线 的一部分
2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（ ）
①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线 ；⑤延长线段
和延长线段 的含义是相同的；⑥点B在线段 上．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（ ）
A．射线 和射线 是同一条射线
B．图中以点A为端点的射线有两条
C．直线 和直线 不是同一条直线
D．延长线段 和延长线段 的含义是相同的
题型六 画直线、射线、线段
例题：（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知点 、 、 、 ，请按下列要求作图并解答．(1)连接 ；
(2)画射线 ；
(3)在射线 上取点 ，使得 （尺规作图，保留作图痕迹）；
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图．
(1)分别画出直线 ，线段 ，射线 ；
(2)过点A画 ，垂足为点D；
(3)尺规作图：在射线 上作出点E，使 （要求保留作图痕迹）．
2．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）如图，平面上有三个点 ， ， ，利用尺规按要求作图；
(1)作直线 ；
(2)作射线 ；
(3)在线段 上作线段 ，使 不写作法，保留作图痕迹 ．
3．（23-24七年级上·山东德州·期末）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．
如图，平面上有四个点A，B，C，D．请按下列语句画出图形：
①作直线 、射线 ，线段 ；
②延长 ，在 的延长线上截取线段 ，使 ．
题型七 两点确定一条直线、两点之间线段最短
例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．
巩固训练
1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这
样做的依据是： ．
2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速
度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），
理由是 ．
3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一
不文明现象的原因是： ，题型八 线段中点的有关计算
例题：（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，C是线段 上一点，且 ，D是 的
中点，E是 的中点， ．
(1)求线段 的长；
(2)求 ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图， 是线段 的中点，点 在线段 上， 是线段 的中
点．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段 ，点 为线段 上的一点，点 是线段
的中点，点 是线段 的中点，
(1)求DE的长；
(2)如果 ，求线段 的长．
3．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段 上一点，M是线段 的中点，N是线段 的
中点．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，求 的长；(3)若 ，求 的长；
(4)指出 与 之间的大小关系．
题型九 角的概念及表示方法
例题：下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大 D． 也可以表示为
巩固训练
1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A． 与 是同一个角 B． 也可以用 表示
C． D．图中有三个角
2.如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
3.根据给出的图回答下列问题：
(1) 表示成 ，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以 为顶点的角有几个？请表示出来．
(4) 与 是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
题型十 角的单位与角度制
例题：计算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
巩固训练
1.（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
2.计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
题型十一 求一个角的余角、补角
例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）一个角的补角是 ，则这个角的余角是 ．
巩固训练
1．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果一个角是 ，那么这个角的补角是 度．
2．（23-24七年级上·全国·期末）已知 的余角是 ， 的补角是 ，则 和 的大
小关系是 ．
3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）一个角的余角的 倍比这个角的补角小 ，则这个角的度数为
．
题型十二 三角板中角度计算问题
例题：将一副直角三角尺如图放置，若 ，则 等于 ．巩固训练
1.如图，直角三角板 的直角顶点O在直线 上，线段 ， 是三角板的两条直角边，射线 是
的平分线．
(1)当 时，求 的度数；
(2)当 时， _________（用含α的式子表示）．
2.如图所示，以直线 上的一点O为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ．将一块直角三
角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（ ）在直线 的上方．设
．
(1)当 时，求 的大小；
(2)若 时，求 的值．
题型十三 角平分线的有关计算
例题：（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上， ， 分别平分
和 ．(1)求 的度数；
(2)如果 ，求 的度数．
巩固训练
1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，点 在直线 上， 是 的平分线， 是 的
平分线．
(1)求 的度数；
(2)如果 ，求 的度数．
2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知 平分 ， 平分 ．
(1)若 是直角， ，求 的度数；
(2)若 ， ，列式表示 的大小．
3．（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）如图（1）所示， 已知： ， 平分
，ON平分 ．(1) ．
(2)如果 ，其它条件不变，那么 （用含α，β的式子表示）．
(3)如图（2），若将条件变成O 是直线 上一点， 为一条射线， 平分 ， 平分 ，
那么 ，并给出理由．
题型十四 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题
例题：（23·24上·全国·课时练习）如图， 平分 平分 ．
(1)求出 及其补角的度数；
(2)请求出 和 的度数，并判断 与 是否互补，并说明理由．
巩固训练
1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ，使 ．将
一直角三角尺的直角顶点放在O处．
(1)当三角尺一边 在 的内部（图①），且恰好平分 ，此时直线 是否平分 ？请说明理由；
(2)当三角尺一边 在 的内部（图②），求 的值．
2．如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互
补， ．
(1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°；
(2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，
请说明理由．
