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第十一章 不等式与不等式组 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.不等式及不等式组定义
【题型解读】此种题主要是根据不等式与一元一次不等式定义解题
例1．下列数学表达式中，不等式有（ B ）．
①−3<0； ②a+b； ③x=3； ④x2+xy+ y2； ⑤x≠2； ⑥x+2>y+3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等
式．据此逐个判定即可．
【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个．
故选：B．
1
例2．下列式子①5>4；②3x≥2π+1；③x+ y>1；④x2+3>2x；⑤ >4中，是一元
x
一次不等式的有（D ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义求解即可，一元一
次不等式含有未知数，且未知数的最高次数为1次， 本题还要注意未知数的系数不能是0．
【详解】解：5>4不是一元一次不等式，故①不符合题意；
3x≥2π+1是一元一次不等式，故②符合题意；
x+ y>1不是一元一次不等式，故③不符合题意；
x2+3>2x不是一元一次不等式，故④不符合题意；
1
>4不是一元一次不等式，故⑤不符合题意；
x
故是一元一次不等式的有1个，
故选：D．
对应练习：
1.下列式子中，①2x=7；②3x+4 y；③−3<2；④2y−3≥0；⑤b≠1；⑥x−y>1．不
等式有（ B ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．
根据不等式的定义一一判定即可．
【详解】解：①2x=7是等式，不是不等式；
②3x+4 y是多项式，不是不等式；
③−3<2符合不等式的定义，是不等式；
④2y−3≥0符合不等式的定义，是不等式；
⑤b≠1符合不等式的定义，是不等式；
⑥x−y>1符合不等式的定义，是不等式．
综上，不等式有③④⑤⑥，一共4个．
故选：B．
2.下列式子中： 3>0； 5x−4<8； 2x+4 y； m=−1； t2+2t≥−1．其中不
等式有（ B ）个①． ② ③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．
根据不等式的概念判定即可．
【详解】解： 2x+4 y没有不等号，不是不等式， m=−1是等式，
则不等式有 ③3>0， 5x−4<8； t2+2t≥−1，④一共有3个，
① ② ⑤故选：B．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知(m−3)x|m|−2−2>6是关于x的一元一次不等式，
求m的值．
【答案】m=−3
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出
m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：依题意得|m|−2=1，且m−3≠0，
∴m=−3．
4.已知(k+3)|k|−2+5<−4是关于x的一元一次不等式，求k的值
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项
的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可．
【详解】解：∵(k+3)|k|−2+5<−4是关于x的一元一次不等式，
∴¿，
∴k=3，
【解法提炼】
根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值
二. 不等式的性质
【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质
例1．已知a−3b，错误，故本选项符合题意；
故选D．
例2.比较大小，用“>”或“<”填空：若x(a−b)y，则a < b．
【答案】<
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出a−b<0即可解答．
【详解】解：∵x(a−b)y，
∴a−b<0
∴ab，则下列不等式中，一定成立的是（ D ）
1 1
A．a−3− b C．a+1>b+2 D．1−2a<1−2b
2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或
整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的
基本性质分析判断即可．
【详解】解：A、若a>b，则有a−3>b−3，原变形不成立，故本选项不符合题意；
1 1
B、若a>b，则有− a<− b，原变形不成立，故本选项不符合题意；
2 2
C、若a>b，则有a+1>b+1，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D、若a>b，则有−2a<−2b，进而可知1−2a<1−2b成立，故本选项符合题意．
故选：D．
2.设a>b>0，有下列不等式：①a−b>0；②−4+a>−4+b；③−3a>−3b；④
1 1
− a−1<− b−1；⑤a2>ab．其中，成立的个数有（ D ）
2 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵a>b>0，
1 1
∴a−b>0，−4+a>−4+b，−3a<−3b，− a−1<− b−1，a2>ab，
2 2
∴式子①②④⑤成立，共4个．
故选：D
3.设x −2y； （4）x−n < y−n．
【答案】 < < > <
【分析】本题考查了不等式的基本性质．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的
两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可
求解．
【详解】解：∵x−2y，x−n，<．
4.若x＜y，且(a+5)x＞(a+5)y，则a的取值范围( )
A．a>−5 B．a≥−5 C．a<−5 D．a<5
【答案】C
【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】∵x(a+5)y，
∴a+5<0，即a<−5．
故选C．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，
不等号的方向改变是解答此题的关键．
5．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于x的不等式(a−2)x>5的解集是5
x< ，那么a的取值范围是 ．
a−2
【答案】a<2
【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．运用不等
式的基本性质求解即可．
5
【详解】解：∵关于x的不等式(a−2)x>5的解集是x< ，，
a−2
∴a−2<0，
∴a<2，
故答案为：a<2．
6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式(a−3)x>2(a−3)的解集为x<2，则a
的取值范围是 ．
【答案】a<3
【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的
关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不
等式(a−3)x>2(a−3)及其解集x<2，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本
性质，判断(a−3)的正负性，进而求出a的取值范围．
【详解】解：∵不等式(a−3)x>2(a−3)的解集为x<2，
∴a−3<0
解得：a<3，
∴ a的取值范围是a<3，
故答案为：a<3。
【解法提炼】
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.(易错点)
三. 解不等式及不等式组
【题型解读】此种题型主要考查利用不等式的性质求解集
例1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）解下列不等式
(1)4(x+1)3x−1的最大整数解．
【答案】−2
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，进而根据解集即
可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：去括号，得2x−2>3x−1，
移项，得2x−3x>−1+2，
合并同类项，得−x>1，
系数化为1，得x<−1，∴不等式的最大整数解为−2．
2．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）解不等式：2(x−1)+3>5x−1，并把解集在数
轴上表示出来．
2
【答案】x< ，见解析
3
【分析】本题考查了解一元一次不等式、把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，熟
练掌握不等式的解法是解题关键．按照去括号、移项、合并同类项、不等式的性质的步骤
解不等式，再把解集在数轴上表示出来即可得．
【详解】解：2(x−1)+3>5x−1，
去括号，得2x−2+3>5x−1，
移项，得2x−5x>−1+2−3，
合并同类项，得−3x>−2，
2
不等式的两边同除以−3，得x< ，
3
把解集在数轴上表示出来如下：
．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组¿，并写出它的非负整数解．
【答案】x<4，非负整数解有0，1，2，3
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是
解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再将解集联立起来．
【详解】解：¿，
解不等式①，得x<4，
解不等式②，得x≤8，
∴该不等式组的解集为x<4，
∴该不等式组的非负整数解有0，1，2，3．
4．求不等式组¿的解集
13
【答案】4≤x<
2
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可．
【详解】¿由①得，x≥4.
13
由②得，x< ，
2
13
所以，不等式组的解集是4≤x< ，
2
13
故答案为4≤x<
2
【点睛】考查解一元一次不等式组，，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键.
5．求不等式组¿的解集
【答案】3＜x≤5
【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出它们的解的公共部分，即可．
【详解】解：¿，
由①得：x＞3，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：3＜x≤5，
故答案是：3＜x≤5．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的
关键．
6．求不等式组¿的解集．
【答案】2＜x≤3
【详解】解：¿，
解不等式①，得x＞2．
解不等式②，得x≤3，
故不等式组的解集为2＜x≤3．
故答案为2＜x≤3．
【解法提炼】
①解题步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
②易错点去分母和系数化为1，注意不等号是否变号；
③求不等式组解集口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找。
四. 求含参不等式(组)中字母的取值
【题型解读】此种题型考查解集相同
例1.若关于x的不等式−3x+a≤2的解集是x≥1,求a的值．
【答案】5【分析】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≥1即可得到
关于a的方程，解方程即可得答案．
a−2
【详解】解：解不等式−3x+a≤2得：x≥ ，
3
∵不等式−3x+a≤2的解集是x≥1，
a−2
∴ =1，
3
∴a=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质．
例2.如果不等式组¿的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ．
【答案】1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之
求出a、b的值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式x＋2a≥4，得：x≥−2a＋4，
2x−b b+3
解不等式 <1，得：x＜ ，
3 2
∵不等式组的解集为0≤x＜1，
b+3
∴−2a＋4＝0， ＝1，
2
解得a＝2，b＝−1，
∴a＋b＝2−1＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式3x+2>5x+2(m+x)的解集与不
2x+5
等式 −1<2−x的解集相同，则m的值为________
3
3
【答案】−
5
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解．
2x+5 4
【详解】解：解不等式 −1<2−x，得x< ，
3 5
1−m
解不等式3x+2>5x+2(m+x)，得x< ．
2
∵两个不等式的解集相同，
1−m 4
∴ = ，
2 5
3
解得m=− ．
5
m n
2.已知不等式mx+n＞0的解集为x＜2，则 + 的值是 ．
n m
5
【答案】﹣
2
【分析】根据不等式的解集，确定出关于m与n的关系式，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：不等式mx+n＞0，
移项得：mx＞﹣n，
n n
由解集为x＜2，得到x＜﹣ ，即 ＝﹣2，
m m
m 1
∴ =−
n 2
5
则原式＝﹣ ．
2
5
故答案为：﹣ ．
2
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式2(x−a)<0的解集和不等式
2x−4<0的解集相同，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查一元一次不等式的求解以及根据解集相同求参数值，解题的关键是分别
求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解．
先分别求解不等式2(x−a)<0与2x−4<0，得到它们关于x的解集表达式，再根据两个解
集相同列出关于a的方程，进而求出a的值．
【详解】解不等式2x−4<0，解得x<2．解不等式2(x−a)<0，解得xb+1．
∵不等式组的解集是22−m，
解不等式②得：x3，得：x>1，
解不等式a−x>1，得：x−1【答案】A
【分析】先求出不等式2−3x≥5的解集，然后根据x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解进
行求解即可．
【详解】解：解不等式2−3x≥5得x≤−1，
∵不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，
∴m≤−1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2−3x≥5的解集是解题的关
键．
例3. 已知关于x的不等式组¿的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确
定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：¿，
解①得x− ．
2
3
则不等式组的解集是− 3，求
m的取值范围
【答案】m≤4
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据
不等式组¿的解集是x>3，即可得到m的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等
式的方法．【详解】解：¿，
解不等式①，得：x>3，
解不等式②，得：x>m−1
∵关于x的一元一次不等式组¿的解集是x>3，
∴m−1≤3，
解得m≤4，
对应练习：
1．（2023七年级下·全国·专题练习）若数a使关于x的不等式5x−2≥x+a的最小正整数解
是x=1，则a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a<2 C．−20的解集中存在负数解，但
不存在负整数解，则a的取值范围是（ ）.
A．a≥−2 B．a<0 C．−2≤a<0 D．−2 ，然后根据题意可得：−1≤ <0，，从而进行计算即可解答．
2 2
【详解】2x−a>0，
2x>a，
a
x> ，
2
∵不等式2x−a>0的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
a
∴−1≤ <0，
2
∴−2≤a<0，
故选：C．
4. 若不等式组¿无解，求m的取值范围
【答案】m>5
【分析】分别求得不等式1+3x≥2x−3与x+m≤1的x的取值范围，再根据题意得到关于
m的不等式，然后求解不等式即可．
【详解】解不等式1+3x≥2x−3，得x≥−4，
解不等式x+m≤1，得x≤1−m，
∵不等式组无解，
∴1−m<−4 ，
解得m>5 ，
故填：m>5．
5.若关于x的不等式组¿只有3个整数解，求m的取值范围
【答案】1≤m＜2．
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出3＜m≤4可得．【详解】解：¿
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x≤m﹣2，
∵不等式组有3个整数解，
∴﹣1≤m﹣2＜0，即1≤m＜2
故答案为1≤m＜2．
6.若关于x的不等式组¿的解集为x<2，求a的取值范围.
【答案】a≤−2
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，利用口诀求出这些解集的公共部分：同
大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），进而得到a的取值范围．
4+x x+2
【详解】解：由 > ，解得x<2
3 2
x+a
由 <0，解得x<−a
2
∵不等式组的解集为x<2
∴−a≥2
解得a≤−2
故答案为：a≤−2．
7.关于x的不等式组¿有解但是无整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】−7≤m<−5
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出关于m的不
m−1
等式组−4≤ <−3的解集是解答此题的关键．
2
【详解】解：¿ ．
m−1
∵解不等式①得：x> ．
2
又∵关于x的不等式组¿有解但是无整数解，
m−1
∴ −4≤ <−3，
2
解得：−7≤m<−5．
故答案为−7≤m<−5．
8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组¿的解均为正数，且
不等式组¿的解集为x<4，则a的取值范围是_______1
【答案】−10，解得a>−1；解不等
式组¿，由①得x≤3−2a，由②得x<4，由“不等式组的解集为x<4”可得3−2a≥4，
1
解得a≤− ；综合以上，于是得解．
2
【详解】解：¿，
①×2−②，得：3 y=3，
系数化为1，得：y=1，
将y=1代入①，得：x+1=a+2，
移项，得：x=a+2−1，
合并同类项，得：x=a+1，
∴二元一次方程组¿的解为¿，
∵关于x，y的二元一次方程组¿的解均为正数，
∴a+1>0，
解得：a>−1；
¿，
整理，得：
由①得：x≤3−2a，
由②得：x<4，
∵不等式组¿的解集为x<4，
∴3−2a≥4，
1
解得：a≤− ；
2
1
综上，a的取值范围是：−1y，且关于x的不等式组¿无解，那么所有
符合条件的整数a的个数为 ．
【答案】7
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解方程组¿得：¿
∵方程组的解满足x>y
∴2a+1>a-2，解得a>−3
解不等式组¿得：¿
∵关于x的不等式组¿无解
1 7
∴a− ≤ ，解得a≤4
2 2
∴−3a+b的解集是x>2，求不等式ax>b的解集
解：∵不等式(a−b)x>a+b的解集是x>2，
a+b
∴a−b>0，且 =2，
a−b
∴a>b，a+b=2(a−b)，
整理，得：a>b，a=3b，
把a=3b代入a>b，得3b>b，
解得：b>0，
∴a>0，
b
∴ax>b解集为：x> ，
a
1
把a=3b代入得：x> ，
3
1
∴不等式ax>b的解集x> ．
3
对应练习：
2
1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知ax−b>0的解集为x<− ，则不等式
5
bx+a>0的解集为（ ）
5 5 5 5
A．x> B．x< C．x>− D．x<−
2 2 2 2
【答案】A
b 2
【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求出 =− ，a>0，进而
a 5
a 5
得出b>0， =− ，然后求出x的取值范围．
b 2
2
【详解】解：∵ax−b>0的解集是x<− ，
5
∴¿a 5
∴b>0， =− ，
b 2
a 5
解bx+a>0得，x>− ，即x> ，
b 2
故选：A．
6
2．设关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x< ，求关于x的不等式ax>b的解集．
5
17
【答案】x<
31
【分析】对不等式(2a−b)x+a−5b>0移项，系数化1求出解集，结合已知解集确定出a
与b的关系，然后即可求出所求不等式的解集．
5b−a 5b−a
【详解】解：解关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0得x< 或x> ，
2a−b 2a−b
6
∵解集为x< ，
5
5b−a 6
∴2a−b<0，即2ab的解集为：x< ，
a
17
即x< ．
31
【点睛】此题考查了解不等式，熟练掌握不等式求解集的方法是解本题的关键．
1
3.（17-18七年级·湖南·期末）已知关于x的不等式（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜ ，则6ax
8
＞7b的解集是 ．
7
【答案】x＜
12
【分析】根据不等式的解集，先确定5a-2b与0、a与b的关系，代入不等式并求出不等式
的解集．1
【详解】解：∵（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜ ，
8
∴5a-2b＜0
3b−a
∴x＜
5a−2b
3b−a 1
∴ =
5a−2b 8
即24b-8a=5a-2b
∴a=2b
当a=2b时，∵5a-2b＜0
即8b＜0，
∴b＜0
当a=2b时，不等式6ax＞7b可变形为：12bx＞7b
7
∴x＜
12
7
故答案为x＜ ．
12
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式的解集．题目难度较大．根据解集确定5a-2b＜
0、a=2b、b＜0时解决本题的关键．
【解法提炼】
利用不等式的解集确定字母的取值范围以及两字母之间的数量关系
七. 含参二元一次方程组与不等式
【题型解读】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把参数作
已知数表示出x+ y的值，再得到关于参数的不等式．
例1.（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组¿的解满足
x+ y≤0，求a的取值范围
【答案】a≤−3
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把当a作已知
数表示出x+ y的值，再得到关于a的不等式．
首先由¿中①+②得出2x+2y=2a+6，再根据x+ y≤0，即可求出a的范围．
【详解】解：¿，
①+②得：2x+2y=2a+6，
∴x+ y=a+3，∵x+ y≤0，
∴a+3≤0，
解得：a≤−3，
故答案为：a≤−3．
对应练习：
1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于x,y的方程组¿．若方程组的解满足
x−y<5，则m的最小整数值为（ ）
A．−1 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出
x−y=3−m，进而可得3−m<5，解不等式，即可求解．
【详解】解：¿
①+②得，2x−2y=−2m+6
∴x−y=3−m
∵x−y<5
∴3−m<5
解得：m>−2
∴m的最小整数值为−1，
故选：A．
x+ y=3t+1
2.已知二元一次方程组{ ，xy≥2，则t的最小值是（ ）
x−y=3t−3
2 1
A．1 B． C．0 D．
3 6
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件xy≥2列出不等式，解不等式即可求得答案．
x+ y=3t+1①
【详解】{
x−y=3t−3②
①+②得：x=3t−1
①−②得：y=2
∵ xy≥2
∴2(3t−1)≥2
2
解得t≥
32
∴t的最小值为 ．
3
故选B．
3．已知x、y满足¿和x+ y≤0，求m的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出¿，再根据x+ y≤0知m+2+1−2m≤0，解之即可．
【详解】解方程组¿，得¿，
∵x+ y≤0，
∴m+2+1−2m≤0，即−m+3≤0，
解得：m≥3，
∴m的最小值为3．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组¿的解满足x≤0，y<0，若k
为整数，且关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，则k的值为_____
【答案】−1
【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，
求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据x≤0，y<0，列不等
式求出k的范围，再根据关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，可得3k+2<0，
进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值．
【详解】解：解方程组¿，得¿，
∵x≤0，y<0，
∴¿，
解得−21，
∴3k+2<0，
2
解得k<− ，
3
2
∴k的范围为−2200．
(1)根据题意，填写表格（单位：元）：
累计购物金额 500 700 … x
甲商场实际花费 400 …
乙商场实际花费 550 …
(2)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？
【答案】(1)560，0.8x，410，0.7x+60
(2)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足
600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同
【分析】本题考查代数式，一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出不等式，
进行求解．
（1）根据两种购买方案列式求解即可；
（2）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解
【详解】（1）解：700×80%=560，
在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.8x（元）；
200+(500−200)×70%=410（元），
在乙商场购买x元的金额时，实际花费是200+(x−200)×70%=0.7x+60．
累计购物金额 500 700 … x
甲商场实际花
400 560 … 0.8x
费
乙商场实际花
410 550 … 0.7x+60
费
（2）解：根据题意， 由0.8x=0.7x+60，得x=600，由0.8x<0.7x+60，得x<600．
由0.8x>0.7x+60，得x>600，
当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足
600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同．
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）光明中学某班级的同学们计划购买智能健康手环，
现从两家商场了解到同一款智能健康手环标价都是200元，并且都有一定的优惠．甲商场
提出的优惠活动：会员制，会员年费60元，之后购买每个智能健康手环打七五折；乙商场
提出的优惠活动：无会员费，购买每个智能健康手环打八折．该班选择哪家商场购买更优
惠？
【答案】当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数
小于6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收
费相同
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的
关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．设购买x个智能健康
手环，甲商场的收费为y 元，乙商场收费为y 元，根据题意，得
1 2
y =200×0.75x+60=150x+60，y =200×0.8x=160x，再分三种情况，求出x的取
1 2
值范围或x的值，此题得解．
【详解】解：设购买x个智能健康手环，甲商场的收费为y 元，乙商场收费为y 元，
1 2
根据题意，得y =200×0.75x+60=150x+60，y =200×0.8x=160x．
1 2
由y = y 得 150x+60=160x 解得x=6，
1 2
由y >y 得 150x+60>160x 解得x<6，
1 2
由y 6，
1 2
答：当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数小于
6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收费相
同．
3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）地铁开通后，小师同学上学有两种交通方案可选：
方案一：购买地铁月卡，乘坐地铁（卡费60元/月，购买后当月每次乘地铁仅需2元，不
限次数）
方案二：先乘公交车（单程1元），再换乘地铁（无优惠，单程3元）．
本月共有31天，小师每天上学需往返乘坐，若设小师本月上学x天，请回答下列问题：
(1)方案一的月花销为________元，方案二的月花销为________元；（用含x的代数式表示）
(2)根据x的不同情况，说明小师选择哪个方案更省钱．
【答案】(1)(4x+60)，8x
(2)当x<15时，方案二更省钱；当x=15时，方案一和方案二一样；当x>15时，方案一更
省钱；
【分析】本题主要考查列代数式，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列出等式即可；
（2）根据（1）中代数式，分三种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：方案一的月花销为(2×2×x+60)=4x+60，
方案二的月花销为(1×2+3×2)x=8x，
故答案为：(4x+60)，8x；
（2）解：①当4x+60>8x，
解得x<15，
∴当x<15时，方案二更省钱；
②当4x+60=8x，
解得x=15，
∴当x=15时，方案一和方案二一样；
③当4x+60<8x，
解得x>15，
∴当x>15时，方案一更省钱；
4.2024年清明节假期某风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外甲，乙两商店
以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，甲商店的优惠方案：
购物价格累计超过100元后，超出100元的部分打八折，乙商店的优惠方案：购物价格累计
超过80元后，超出80元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为x(x>80)元的商品．
(1)当x=250时，在甲商店购买的优惠价为 元，在乙商店购买的优惠价为 元．
(2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
【答案】(1)220，229.6
(2)当x>130时，顾客在甲商店购物花费少，当x=130时，顾客在甲，乙商店购物花费相等，
当80130；
②当顾客在乙商店购物花费少时，则0.8x+20>0.88x+9.6，
解得：x<130；
③当顾客在甲，乙商场购物花费相等时，则0.8x+20=0.88x+9.6，
解得：x=130；
∴当x>130时，顾客在甲商店购物花费少，
当x=130时，顾客在甲，乙商店购物花费相等，
当80
