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第十一章 不等式与不等式组 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.不等式及不等式组定义
【题型解读】此种题主要是根据不等式与一元一次不等式定义解题
例1．下列数学表达式中，不等式有（ B ）．
①−3<0； ②a+b； ③x=3； ④x2+xy+ y2； ⑤x≠2； ⑥x+2>y+3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等
式．据此逐个判定即可．
【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个．
故选：B．
1
例2．下列式子①5>4；②3x≥2π+1；③x+ y>1；④x2+3>2x；⑤ >4中，是一元
x
一次不等式的有（D ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义求解即可，一元一
次不等式含有未知数，且未知数的最高次数为1次， 本题还要注意未知数的系数不能是0．
【详解】解：5>4不是一元一次不等式，故①不符合题意；
3x≥2π+1是一元一次不等式，故②符合题意；
x+ y>1不是一元一次不等式，故③不符合题意；
x2+3>2x不是一元一次不等式，故④不符合题意；
1
>4不是一元一次不等式，故⑤不符合题意；
x
故是一元一次不等式的有1个，
故选：D．
对应练习：
1.下列式子中，①2x=7；②3x+4 y；③−3<2；④2y−3≥0；⑤b≠1；⑥x−y>1．不
等式有（ B ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．
根据不等式的定义一一判定即可．
【详解】解：①2x=7是等式，不是不等式；
②3x+4 y是多项式，不是不等式；
③−3<2符合不等式的定义，是不等式；
④2y−3≥0符合不等式的定义，是不等式；
⑤b≠1符合不等式的定义，是不等式；
⑥x−y>1符合不等式的定义，是不等式．
综上，不等式有③④⑤⑥，一共4个．
故选：B．
2.下列式子中： 3>0； 5x−4<8； 2x+4 y； m=−1； t2+2t≥−1．其中不
等式有（ B ）个①． ② ③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．
根据不等式的概念判定即可．
【详解】解： 2x+4 y没有不等号，不是不等式， m=−1是等式，
则不等式有 ③3>0， 5x−4<8； t2+2t≥−1，④一共有3个，
① ② ⑤故选：B．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知(m−3)x|m|−2−2>6是关于x的一元一次不等式，
求m的值．
【答案】m=−3
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出
m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：依题意得|m|−2=1，且m−3≠0，
∴m=−3．
4.已知(k+3)|k|−2+5<−4是关于x的一元一次不等式，求k的值
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项
的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可．
【详解】解：∵(k+3)|k|−2+5<−4是关于x的一元一次不等式，
∴¿，
∴k=3，
【解法提炼】
根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值
二. 不等式的性质
【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质
例1．已知a<b，则下列式子中不正确的是（ D ）
A．a−2<b−2 B．a+3<b+3
C．2a<2b D．−3a<−3b
【答案】D
【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个
数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：A、∵a<b，
∴a−2<b−2，正确，故本选项不符合题意；
B、∵a<b，∴a+3<b+3，正确，故本选项不符合题意；
C、∵a<b，
∴2a<2b，正确，故本选项不符合题意；
D、∵a<b，
∴ −3a>−3b，错误，故本选项符合题意；
故选D．
例2.比较大小，用“>”或“<”填空：若x<y，且(a−b)x>(a−b)y，则a < b．
【答案】<
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出a−b<0即可解答．
【详解】解：∵x<y，且(a−b)x>(a−b)y，
∴a−b<0
∴a<b
故答案为：<．
对应练习：
1.若a>b，则下列不等式中，一定成立的是（ D ）
1 1
A．a−3<b−3 B．− a>− b C．a+1>b+2 D．1−2a<1−2b
2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或
整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的
基本性质分析判断即可．
【详解】解：A、若a>b，则有a−3>b−3，原变形不成立，故本选项不符合题意；
1 1
B、若a>b，则有− a<− b，原变形不成立，故本选项不符合题意；
2 2
C、若a>b，则有a+1>b+1，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D、若a>b，则有−2a<−2b，进而可知1−2a<1−2b成立，故本选项符合题意．
故选：D．
2.设a>b>0，有下列不等式：①a−b>0；②−4+a>−4+b；③−3a>−3b；④
1 1
− a−1<− b−1；⑤a2>ab．其中，成立的个数有（ D ）
2 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵a>b>0，
1 1
∴a−b>0，−4+a>−4+b，−3a<−3b，− a−1<− b−1，a2>ab，
2 2
∴式子①②④⑤成立，共4个．
故选：D
3.设x<y，用“＜”或“＞”号填空
2 2
（1）x+3 < y+3； （2） x < y；
3 3
（3）−2x > −2y； （4）x−n < y−n．
【答案】 < < > <
【分析】本题考查了不等式的基本性质．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的
两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可
求解．
【详解】解：∵x<y，
2 2
∴x+3<y+3， x< y，−2x>−2y，x−n<y−n，
3 3
故答案为：<，<，>，<．
4.若x＜y，且(a+5)x＞(a+5)y，则a的取值范围( )
A．a>−5 B．a≥−5 C．a<−5 D．a<5
【答案】C
【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】∵x<y，且(a+5)x>(a+5)y，
∴a+5<0，即a<−5．
故选C．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，
不等号的方向改变是解答此题的关键．
5．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于x的不等式(a−2)x>5的解集是5
x< ，那么a的取值范围是 ．
a−2
【答案】a<2
【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．运用不等
式的基本性质求解即可．
5
【详解】解：∵关于x的不等式(a−2)x>5的解集是x< ，，
a−2
∴a−2<0，
∴a<2，
故答案为：a<2．
6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式(a−3)x>2(a−3)的解集为x<2，则a
的取值范围是 ．
【答案】a<3
【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的
关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不
等式(a−3)x>2(a−3)及其解集x<2，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本
性质，判断(a−3)的正负性，进而求出a的取值范围．
【详解】解：∵不等式(a−3)x>2(a−3)的解集为x<2，
∴a−3<0
解得：a<3，
∴ a的取值范围是a<3，
故答案为：a<3。
【解法提炼】
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.(易错点)
三. 解不等式及不等式组
【题型解读】此种题型主要考查利用不等式的性质求解集
例1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）解下列不等式
(1)4(x+1)<x−5
x−2 1+x
(2)1− ≥
2 3
【答案】(1)x<−3(2)x≤2
【分析】本题考查求一元一次不等式的解集，熟练掌握求解步骤及注意事项是解题的关键；
（1）去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案．
【详解】（1）解：去括号得，4x+4<x−5，
移项得，4x−x<−5−4，
合并同类项得，3x<−9，
系数化为1得，x<−3；
（2）解：去分母得，6−3(x−2)≥2(1+x)，
去括号得，6−3x+6≥2+2x，
移项得，−3x−2x≥2−12
合并同类项得，−5x≥−10，
系数化为1得，x≤2．
例2. 解不等组：¿
解： ¿
1
解不等式①得x<-
2
解不等式②得x≥3
如图，在同一数轴上表示不等式①、②的解集．可知这个不等组无解．
【点睛】此题主要考查不等式及不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
对应练习：
1.求不等式2(x−1)>3x−1的最大整数解．
【答案】−2
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，进而根据解集即
可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：去括号，得2x−2>3x−1，
移项，得2x−3x>−1+2，
合并同类项，得−x>1，
系数化为1，得x<−1，∴不等式的最大整数解为−2．
2．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）解不等式：2(x−1)+3>5x−1，并把解集在数
轴上表示出来．
2
【答案】x< ，见解析
3
【分析】本题考查了解一元一次不等式、把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，熟
练掌握不等式的解法是解题关键．按照去括号、移项、合并同类项、不等式的性质的步骤
解不等式，再把解集在数轴上表示出来即可得．
【详解】解：2(x−1)+3>5x−1，
去括号，得2x−2+3>5x−1，
移项，得2x−5x>−1+2−3，
合并同类项，得−3x>−2，
2
不等式的两边同除以−3，得x< ，
3
把解集在数轴上表示出来如下：
．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组¿，并写出它的非负整数解．
【答案】x<4，非负整数解有0，1，2，3
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是
解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再将解集联立起来．
【详解】解：¿，
解不等式①，得x<4，
解不等式②，得x≤8，
∴该不等式组的解集为x<4，
∴该不等式组的非负整数解有0，1，2，3．
4．求不等式组¿的解集
13
【答案】4≤x<
2
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可．
【详解】¿由①得，x≥4.
13
由②得，x< ，
2
13
所以，不等式组的解集是4≤x< ，
2
13
故答案为4≤x<
2
【点睛】考查解一元一次不等式组，，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键.
5．求不等式组¿的解集
【答案】3＜x≤5
【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出它们的解的公共部分，即可．
【详解】解：¿，
由①得：x＞3，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：3＜x≤5，
故答案是：3＜x≤5．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的
关键．
6．求不等式组¿的解集．
【答案】2＜x≤3
【详解】解：¿，
解不等式①，得x＞2．
解不等式②，得x≤3，
故不等式组的解集为2＜x≤3．
故答案为2＜x≤3．
【解法提炼】
①解题步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
②易错点去分母和系数化为1，注意不等号是否变号；
③求不等式组解集口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找。
四. 求含参不等式(组)中字母的取值
【题型解读】此种题型考查解集相同
例1.若关于x的不等式−3x+a≤2的解集是x≥1,求a的值．
【答案】5【分析】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≥1即可得到
关于a的方程，解方程即可得答案．
a−2
【详解】解：解不等式−3x+a≤2得：x≥ ，
3
∵不等式−3x+a≤2的解集是x≥1，
a−2
∴ =1，
3
∴a=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质．
例2.如果不等式组¿的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ．
【答案】1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之
求出a、b的值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式x＋2a≥4，得：x≥−2a＋4，
2x−b b+3
解不等式 <1，得：x＜ ，
3 2
∵不等式组的解集为0≤x＜1，
b+3
∴−2a＋4＝0， ＝1，
2
解得a＝2，b＝−1，
∴a＋b＝2−1＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式3x+2>5x+2(m+x)的解集与不
2x+5
等式 −1<2−x的解集相同，则m的值为________
3
3
【答案】−
5
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解．
2x+5 4
【详解】解：解不等式 −1<2−x，得x< ，
3 5
1−m
解不等式3x+2>5x+2(m+x)，得x< ．
2
∵两个不等式的解集相同，
1−m 4
∴ = ，
2 5
3
解得m=− ．
5
m n
2.已知不等式mx+n＞0的解集为x＜2，则 + 的值是 ．
n m
5
【答案】﹣
2
【分析】根据不等式的解集，确定出关于m与n的关系式，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：不等式mx+n＞0，
移项得：mx＞﹣n，
n n
由解集为x＜2，得到x＜﹣ ，即 ＝﹣2，
m m
m 1
∴ =−
n 2
5
则原式＝﹣ ．
2
5
故答案为：﹣ ．
2
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式2(x−a)<0的解集和不等式
2x−4<0的解集相同，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查一元一次不等式的求解以及根据解集相同求参数值，解题的关键是分别
求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解．
先分别求解不等式2(x−a)<0与2x−4<0，得到它们关于x的解集表达式，再根据两个解
集相同列出关于a的方程，进而求出a的值．
【详解】解不等式2x−4<0，解得x<2．解不等式2(x−a)<0，解得x<a．
∵两个不等式的解集相同，
∴ a=2，
故答案为：2．
4．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组¿的解集是2<x<3，则关于x的方程
ax+b=0的解为___________
1
【答案】x=− ．
2
【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤．
解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方
程即可．
【详解】解：¿，
解不等式①，得x<2a−1；
解不等式②，得x>b+1．
∵不等式组的解集是2<x<3，
∴b+1<x<2a−1．
∴b+1=2，2a−1=3．
∴b=1，a=2．
∴方程为2x+1=0．
1
解得x=− ．
2
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组¿的解集为1<x<2，则(m+n) 2025的值为
____________
【答案】−1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可
得2−m<x<n+4，从而可得2−m=1，n+4=2，然后求出m，n的值，再代入式子中，
进行计算即可解答．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x>2−m，
解不等式②得：x<n+4，
∴原不等式组的解集为：2−m<x<n+4，∵不等式组的解集为1<x<2，
∴2−m=1，n+4=2，
∴m=1，n=−2，
∴(m+n) 2025=[1+(−2)] 2025
=(−1) 2025
=−1．
6.关于x的不等式组¿的解集为1＜x＜4，则a的值为 ．
【答案】5
【详解】解不等式2x+1>3，得：x>1，
解不等式a−x>1，得：x<a−1，
∵不等式组的解集为1<x<4，
∴a−1=4，即a=5，
故答案为：5．
【解法提炼】
求解不等式再根据已知的解集建立方程求字母的取值
五. 求含参不等式(组)中字母的取值范围
【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质
例1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式2x−2a≤0的正整数解是1、
2、3，则a的取值范围是（ ）
7 7
A．3<a< B．3<a<4 C．3≤a< D．3≤a<4
2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的
不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情
况可以得到关于a的不等式即可解答．
【详解】解：解不等式2x−2a≤0，得：x≤a，
∵其正整数解是1、2、3，
∴3≤a<4．
故选D．
例2. 若不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤−1 B．m<−1 C．m≥−1 D．m>−1【答案】A
【分析】先求出不等式2−3x≥5的解集，然后根据x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解进
行求解即可．
【详解】解：解不等式2−3x≥5得x≤−1，
∵不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，
∴m≤−1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2−3x≥5的解集是解题的关
键．
例3. 已知关于x的不等式组¿的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确
定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：¿，
解①得x<a，
3
解②得x>− ．
2
3
则不等式组的解集是− <x<a．
2
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴a＞3．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
例4.（22-23九年级下·河南洛阳·期末）如果关于x的一元一次不等式组¿的解集是x>3，求
m的取值范围
【答案】m≤4
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据
不等式组¿的解集是x>3，即可得到m的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等
式的方法．【详解】解：¿，
解不等式①，得：x>3，
解不等式②，得：x>m−1
∵关于x的一元一次不等式组¿的解集是x>3，
∴m−1≤3，
解得m≤4，
对应练习：
1．（2023七年级下·全国·专题练习）若数a使关于x的不等式5x−2≥x+a的最小正整数解
是x=1，则a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a<2 C．−2<a<2 D．a≤2
【答案】D
【详解】由不等式的最小正整数解为x=1，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得
出a的取值范围．
【分析】解：∵数a使关于x的不等式5x−2≥x+a，
2+a
∴解得：x≥ ，
4
∵数a使关于x的不等式5x−2≥x+a的最小正整数解是x=1，
2+a
∴ ≤1，
4
∴a≤2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的正整数解的问题，熟练利用数轴理解一元一次不
等式的解集是解题的关键．
2．（22-23七年级下·吉林长春·期中）已知不等式x−a<0的正整数解有3个，那么a的取
值范围是（ ）
A．3<a<4 B．3<a≤4 C．3≤a≤4 D．3≤a<4
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的正整数解有3个，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵x−a<0，
∴x<a，
∵不等式x−a<0的正整数解有3个，即为：1,2,3，
∴3<a≤4；故选B．
【点睛】本题考查根据一元一次不等式的解集情况求参数的取值范围，正确的求出不等式
的解集，是解题的关键．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式2x−a>0的解集中存在负数解，但
不存在负整数解，则a的取值范围是（ ）.
A．a≥−2 B．a<0 C．−2≤a<0 D．−2<a≤0
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式
a a
可得：x> ，然后根据题意可得：−1≤ <0，，从而进行计算即可解答．
2 2
【详解】2x−a>0，
2x>a，
a
x> ，
2
∵不等式2x−a>0的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
a
∴−1≤ <0，
2
∴−2≤a<0，
故选：C．
4. 若不等式组¿无解，求m的取值范围
【答案】m>5
【分析】分别求得不等式1+3x≥2x−3与x+m≤1的x的取值范围，再根据题意得到关于
m的不等式，然后求解不等式即可．
【详解】解不等式1+3x≥2x−3，得x≥−4，
解不等式x+m≤1，得x≤1−m，
∵不等式组无解，
∴1−m<−4 ，
解得m>5 ，
故填：m>5．
5.若关于x的不等式组¿只有3个整数解，求m的取值范围
【答案】1≤m＜2．
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出3＜m≤4可得．【详解】解：¿
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x≤m﹣2，
∵不等式组有3个整数解，
∴﹣1≤m﹣2＜0，即1≤m＜2
故答案为1≤m＜2．
6.若关于x的不等式组¿的解集为x<2，求a的取值范围.
【答案】a≤−2
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，利用口诀求出这些解集的公共部分：同
大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），进而得到a的取值范围．
4+x x+2
【详解】解：由 > ，解得x<2
3 2
x+a
由 <0，解得x<−a
2
∵不等式组的解集为x<2
∴−a≥2
解得a≤−2
故答案为：a≤−2．
7.关于x的不等式组¿有解但是无整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】−7≤m<−5
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出关于m的不
m−1
等式组−4≤ <−3的解集是解答此题的关键．
2
【详解】解：¿ ．
m−1
∵解不等式①得：x> ．
2
又∵关于x的不等式组¿有解但是无整数解，
m−1
∴ −4≤ <−3，
2
解得：−7≤m<−5．
故答案为−7≤m<−5．
8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组¿的解均为正数，且
不等式组¿的解集为x<4，则a的取值范围是_______1
【答案】−1<a≤−
2
【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的
解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
解二元一次方程组¿，得¿，由“方程组的解均为正数”可得a+1>0，解得a>−1；解不等
式组¿，由①得x≤3−2a，由②得x<4，由“不等式组的解集为x<4”可得3−2a≥4，
1
解得a≤− ；综合以上，于是得解．
2
【详解】解：¿，
①×2−②，得：3 y=3，
系数化为1，得：y=1，
将y=1代入①，得：x+1=a+2，
移项，得：x=a+2−1，
合并同类项，得：x=a+1，
∴二元一次方程组¿的解为¿，
∵关于x，y的二元一次方程组¿的解均为正数，
∴a+1>0，
解得：a>−1；
¿，
整理，得：
由①得：x≤3−2a，
由②得：x<4，
∵不等式组¿的解集为x<4，
∴3−2a≥4，
1
解得：a≤− ；
2
1
综上，a的取值范围是：−1<a≤− ，
2
9.已知关于x、y的二元一次方程组¿的解满足x>y，且关于x的不等式组¿无解，那么所有
符合条件的整数a的个数为 ．
【答案】7
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解方程组¿得：¿
∵方程组的解满足x>y
∴2a+1>a-2，解得a>−3
解不等式组¿得：¿
∵关于x的不等式组¿无解
1 7
∴a− ≤ ，解得a≤4
2 2
∴−3<a≤4
∴所有符合条件的整数a为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个
故答案为7
10．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤4，
且关于y且的方程my−2y=4有整数解，则符合条件的所有整数m的和是 ．
【答案】14
【分析】此题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组；不等式组整理后，根据已知
解集确定出m的范围，根据一元一次方程有整数解确定出整数m的值，进而求出之和即可．
【详解】解：¿，
解①得：x≤2m+2，
解②得：x≤4，
∵一元一次不等式组¿的解集为x≤4，
∴2m+2≥4，
解得：m≥1
∵方程my−2y=4
4
解得：y=
m−2
4
∵ 为整数解，m≥1，
m−2
∴m=1，3，4，6
∴1+3+4+6=14．
故答案为：14．
【解法提炼】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求
出字母的取值范围是解此题的关键．求不等式组的解集的规律：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
六. 求含参不等式的解集
【题型解读】此种题型考查不等式的解集
例1.已知关于x的不等式(a−b)x>a+b的解集是x>2，求不等式ax>b的解集
解：∵不等式(a−b)x>a+b的解集是x>2，
a+b
∴a−b>0，且 =2，
a−b
∴a>b，a+b=2(a−b)，
整理，得：a>b，a=3b，
把a=3b代入a>b，得3b>b，
解得：b>0，
∴a>0，
b
∴ax>b解集为：x> ，
a
1
把a=3b代入得：x> ，
3
1
∴不等式ax>b的解集x> ．
3
对应练习：
2
1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知ax−b>0的解集为x<− ，则不等式
5
bx+a>0的解集为（ ）
5 5 5 5
A．x> B．x< C．x>− D．x<−
2 2 2 2
【答案】A
b 2
【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求出 =− ，a>0，进而
a 5
a 5
得出b>0， =− ，然后求出x的取值范围．
b 2
2
【详解】解：∵ax−b>0的解集是x<− ，
5
∴¿a 5
∴b>0， =− ，
b 2
a 5
解bx+a>0得，x>− ，即x> ，
b 2
故选：A．
6
2．设关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x< ，求关于x的不等式ax>b的解集．
5
17
【答案】x<
31
【分析】对不等式(2a−b)x+a−5b>0移项，系数化1求出解集，结合已知解集确定出a
与b的关系，然后即可求出所求不等式的解集．
5b−a 5b−a
【详解】解：解关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0得x< 或x> ，
2a−b 2a−b
6
∵解集为x< ，
5
5b−a 6
∴2a−b<0，即2a<b，且 = ，
2a−b 5
17
∴31b=17a， 即b= a，
31
∵2a<b，
17
∴2a< a，
31
∴a<0，
b
∴关于x的不等式ax>b的解集为：x< ，
a
17
即x< ．
31
【点睛】此题考查了解不等式，熟练掌握不等式求解集的方法是解本题的关键．
1
3.（17-18七年级·湖南·期末）已知关于x的不等式（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜ ，则6ax
8
＞7b的解集是 ．
7
【答案】x＜
12
【分析】根据不等式的解集，先确定5a-2b与0、a与b的关系，代入不等式并求出不等式
的解集．1
【详解】解：∵（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜ ，
8
∴5a-2b＜0
3b−a
∴x＜
5a−2b
3b−a 1
∴ =
5a−2b 8
即24b-8a=5a-2b
∴a=2b
当a=2b时，∵5a-2b＜0
即8b＜0，
∴b＜0
当a=2b时，不等式6ax＞7b可变形为：12bx＞7b
7
∴x＜
12
7
故答案为x＜ ．
12
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式的解集．题目难度较大．根据解集确定5a-2b＜
0、a=2b、b＜0时解决本题的关键．
【解法提炼】
利用不等式的解集确定字母的取值范围以及两字母之间的数量关系
七. 含参二元一次方程组与不等式
【题型解读】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把参数作
已知数表示出x+ y的值，再得到关于参数的不等式．
例1.（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组¿的解满足
x+ y≤0，求a的取值范围
【答案】a≤−3
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把当a作已知
数表示出x+ y的值，再得到关于a的不等式．
首先由¿中①+②得出2x+2y=2a+6，再根据x+ y≤0，即可求出a的范围．
【详解】解：¿，
①+②得：2x+2y=2a+6，
∴x+ y=a+3，∵x+ y≤0，
∴a+3≤0，
解得：a≤−3，
故答案为：a≤−3．
对应练习：
1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于x,y的方程组¿．若方程组的解满足
x−y<5，则m的最小整数值为（ ）
A．−1 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出
x−y=3−m，进而可得3−m<5，解不等式，即可求解．
【详解】解：¿
①+②得，2x−2y=−2m+6
∴x−y=3−m
∵x−y<5
∴3−m<5
解得：m>−2
∴m的最小整数值为−1，
故选：A．
x+ y=3t+1
2.已知二元一次方程组{ ，xy≥2，则t的最小值是（ ）
x−y=3t−3
2 1
A．1 B． C．0 D．
3 6
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件xy≥2列出不等式，解不等式即可求得答案．
x+ y=3t+1①
【详解】{
x−y=3t−3②
①+②得：x=3t−1
①−②得：y=2
∵ xy≥2
∴2(3t−1)≥2
2
解得t≥
32
∴t的最小值为 ．
3
故选B．
3．已知x、y满足¿和x+ y≤0，求m的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出¿，再根据x+ y≤0知m+2+1−2m≤0，解之即可．
【详解】解方程组¿，得¿，
∵x+ y≤0，
∴m+2+1−2m≤0，即−m+3≤0，
解得：m≥3，
∴m的最小值为3．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组¿的解满足x≤0，y<0，若k
为整数，且关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，则k的值为_____
【答案】−1
【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，
求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据x≤0，y<0，列不等
式求出k的范围，再根据关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，可得3k+2<0，
进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值．
【详解】解：解方程组¿，得¿，
∵x≤0，y<0，
∴¿，
解得−2<k≤3，
又∵关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为：t>1，
∴3k+2<0，
2
解得k<− ，
3
2
∴k的范围为−2<k<− ．
3
又∵k为整数，
∴k=−1．
5．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于x,y的方程组¿的解都为非负数，若
a+b=4,W =2a−3b，则W的最小值为__________【答案】−7
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到¿，再根据方程
组的解为非负数得到¿，则1≤a≤3，再由已知条件得到W =5a−12，据此求解即可．
【详解】解：¿
①×2+②得：5x=5a−5，解得x=a−1，
把x=a−1代入②得：a−1+2y=5−a，解得y=3−a，
∴方程组的解为¿，
∵关于x,y的方程组¿的解都为非负数，
∴¿，
∴1≤a≤3，
∵a+b=4，
∴b=4−a，
∴W =2a−3b=2a−3(4−a)=5a−12，
∴−7≤W≤3，
∴W的最小值为−7.
【解法提炼】
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
八. 不等式(组)与盈亏问题
【题型解读】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题
的关键．
例1. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空
也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有(4x+2)
人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不
等式组即可．
【详解】解：设有x间宿舍，则一共有(4x+2)人，
由题意得，¿，
故选：A．
对应练习：1．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，
则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九
（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键．
设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有(4x+77)本书；
由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组
即可．
【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有(4x+77)本书，
若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
则¿．
故选：C．
2．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8
棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学
人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． 8x+7≤8+9(x−1) B． 8x+7≥9(x−1)
C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为(8x+7)棵，根据“每人平均植树 9 棵，
则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．
【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则(x−1)位同学植树棵数为9(x−1)，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为(7x+9)棵，
∴可列不等式组为：¿．
故选：C．
3.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小
朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的
是（ ）
A．0≤5x+12−8(x−1)<8 B．0<5x+12−8(x−1)≤8
C．1≤5x+12−8(x−1)<8 D．1<5x+12−8(x−1)≤8【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x”，可得出
这箱苹果共(5x+12)个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到
8个”，即可列出关于x的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：∵每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x，
∴这箱苹果共(5x+12)个，
∵每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
∴1≤5x+12−8(x−1)<8，
故选：C．
【解法提炼】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不
等式组是解题关键
九. 不等式(组)与方案设计
【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用
例1.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为贯彻执行“德，智，体，美，劳”五育并举
的教育方针，某中学组织8名教师，247名学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动，现
有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
(1)学校计划此次劳动实践活动共租8辆车，为了保障安全，每位师生都要有座位，但租金
总费用不超过3100元，请问有几种租车方案？
(2)学校应该如何租车才能使费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)4
(2)方案：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车；2800元
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目条件列出不等式组
和费用的函数表达式．
（1）设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车(8−x)辆，根据师生人数确定座位数的不等式，
再结合租金费用列出不等式组，求解得出x的取值范围，进而确定租车方案．
（2）利用租车总费用=每辆甲型客车的租金×租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租金×
租用乙型客车的数量，可分别求出各方案所需租车总费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车(8−x)辆，
师生总人数为247+8=255人，
根据题意得：¿，
解得：3≤x≤6.75，
又∵x为正整数，
∴x可以为3，4，5，6，
∴共有4种租车方案，
方案1：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车，
方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车，
方案3：租用5辆甲型客车，3辆乙型客车，
方案4：租用6辆甲型客车，2辆乙型客车；
（2）解：方案1：租用3辆甲型客车，5辆乙型客车，
所需租车总费用为400×3+320×5=2800（元），
方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车，
所需租车总费用为400×4+320×4=2880（元），
方案3：租用5辆甲型客车，3辆乙型客车，
所需租车总费用为400×5+320×3=2960（元），
方案4：租用6辆甲型客车，2辆乙型客车；
所需租车总费用为400×6+320×2=3040（元），
∵2800<2880<2960<3040，
∴学校租车总费用最少是2800元．
例2.（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有11kg面粉，9.4kg鸡
蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工1盒一般糕点需0.3kg面粉
和0.1kg鸡蛋；加工1盒精制糕点需0.1kg面粉和0.3kg鸡蛋．
(1)有哪几种加工方案？
(2)如果销售1盒一般糕点和1盒精制糕点的利润分别为3元和4元，那么按哪一种方案加工小
红家可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)因此加工方案有三种：①加工一般糕点28盒，精制糕点22盒 ②加工一般糕点
29盒，精制糕点21盒 ③加工一般糕点30盒，精制糕点20盒
(2)172元
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键．
（1）根据“现有11kg面粉，9.4kg鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断
出符合条件的方案即可；
（2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，
因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可．
【详解】（1）解：设加工一般糕点x盒，则加工精制糕点(50−x)盒，
根据题意，得¿，
解得：28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x可取28，29，30，
因此加工方案有三种：①加工一般糕点28盒，精制糕点22盒；
②加工一般糕点29盒，精制糕点21盒 ；
③加工一般糕点30盒，精制糕点20盒；
（2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点28盒、精制糕点22
盒时，可获得最大利润，最大利润为28×3+22×4=172（元）．
对应练习：
1．（24-25八年级下·山西·阶段练习）某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，
了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和
5台B型健身器材共花8000元．
(1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？
(2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．
请通过计算说明共有几种购买方案？
【答案】(1)A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元
(2)共有2种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，
正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键．
（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，根据“购买1台B型健
身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花
8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型健身器材，则购买(10−m)台B型健身器材，根据“购买B型健身器
材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可求解．
【详解】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，
依题意得：¿，
解得：¿
答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元．
（2）设购买m台A型健身器材，则购买(10−m)台B型健身器材，
依题意得：¿
解得：5≤m≤6．
又∵m为整数，
∴m可以为5，6，
∴共有2种购买方案．
2.暑期临近，学生们也可轻松逛逛商场，选择自己心仪的衣服.安岳上府街一服装店老板打
算不错失这一良机，计划购进甲、乙两种T恤.已知购进甲T恤2件和乙T恤3件共需310
元；购进甲T恤1件和乙T恤2件共需190元
(1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用
1
不超过6540元，并且购买甲T恤的数量应小于购买甲乙两种T恤总数量的 ，请你通过计
4
算，确定服装店购买甲乙两种T恤的购买方案．
【答案】(1) 甲种T恤每件进价为50元，乙种T恤每件进价为70元;(2)见解析.
【分析】(1) 设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商
品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于
x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；
(2)设商场购进甲种T恤a件，则购进乙种T恤为(100-a)件.根据“购买两种T恤的总费用不
1
超过6540元，并且购买甲T恤的数量应小于购买甲乙两种T恤总数量的 ”列出不等式组
4
并解答．
【详解】(1)设甲种T恤每件进价为x元，乙种T恤每件进价为y元.由题意得¿
解得¿．
答：甲种T恤每件进价为50元，乙种T恤每件进价为70元．
(2)设商场购进甲种T恤a件，则购进乙种T恤为(100−a)件．根据题意得：¿
解得23≤a<25
∵a为整数，
∴a为23或24
∴当a=23时，100−a=77；
当a=24时，100−a=76
∴有两种购买方案，方案一：购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件，
方案二：购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是：(1)根据
数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（2）解决该题型题目时，根据数量关系列出
方程(方程组、不等式或函数关系式)是关键．
3．为保护环境，我县公交公司计划购买甲型和乙型两种环保节能公交车共10辆，若购买
甲型公交车1辆，乙型公交车3辆，共需380万元；若购买甲型公交车2辆，乙型公交车2辆，
共需360万元．
(1)求购买甲型和乙型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上甲型和乙型公交车每辆年均载客量分别为50万人次和60万人次，若该公
司购买甲型和乙型公交车的总费用不超过880万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均
载客总和不少于520万人次，则该公司有哪几种购车方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
【答案】(1)甲型公交车每辆80万元，乙型公交车每辆100万元
(2)方案一：购买甲型公交车6辆，乙型公交车4辆
方案二：购买甲型公交车7辆，乙型公交车3辆
方案三：购买甲型公交车8辆，乙型公交车2辆
(3)方案三总费用最少；最少总费用是840万元
【分析】（1）设购买甲型公交车每辆x万元，购买乙型公交车每辆y万元，根据题意列二
元一次方程组，解方程组即可．
（2）设购买甲型公交车a辆，则购买乙型公交车(10−a)辆，根据“两车的总费用”和
“年均载客总和”列不等式组，解不等式组，且解为正整数，即可得到方案．
（3）设购车总费用为w万元，根据题意列出购买两车的总费用，化简以后，根据一次函数
中“k<0”得到，当a最大时，费用最少．
【详解】（1）设购买甲型公交车每辆x万元，购买乙型公交车每辆y万元，¿，
解得¿．
答：购买甲型公交车每辆80万元，购买乙型公交车每辆100万元．
（2）设购买甲型公交车a辆，则购买乙型公交车(10−a)辆，
¿，
解得6≤a≤8．
∵a为正整数，
∴a=6，7，8，
方案一：购买甲型公交车6辆，乙型公交车4辆；
方案二：购买甲型公交车7辆，乙型公交车3辆；
方案三：购买甲型公交车8辆，乙型公交车2辆．
（3）设购车总费用为w万元，则：
w=80a+100(10−a)，
w=−20a+1000，
∴a=8时，
w=−20×8+1000=840．
答：方案三购买总费用最少，最少总费用是840万元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用注意理解题目，找准等量关
系，列出方程组和不等式组是关键．
4．在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察
得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机
需要5.5万元．
(1)求笔记本电脑和一体机的单价？
(2)根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于
28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．
【答案】(1)每台笔记本电脑0.5万元，一体机1.5万元
(2)有三种购买方案，购买笔记本电脑17台，购买一体机13台时费用最低
【分析】（1）设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，根据“购进3台笔记本电脑和2
台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进(30−m)台一体机，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过30万元且不低于28万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
m的取值范围，结合m为整数可得出各进货方案；再根据总价＝单价×数量列出函数解析
式，根据函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，
根据题意得：¿，
解得¿，
答：每台笔记本电脑0.5万元，一体机1.5万元；
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进(30−m)台一体机，总费用为w元，
依题意，得：w=0.5m+1.5(30−m)=−m+45，
∵¿，
解得：15≤m≤17，
∵m为整数，
∴m=15,16,17，
∴有三种购买方案：
第一种：购买笔记本电脑15台，购买一体机15台；
第二种：购买笔记本电脑16台，购买一体机14台；
第三种：购买笔记本电脑17台，购买一体机13台；
∴当m=17时，费用最低，
即购买笔记本电脑17台，购买一体机13台时费用最低．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一次函数和一元一次不等式组．
5．某街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和
垃圾箱已知购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，购买3个温馨提示牌和2个垃圾
箱共需450．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该街道至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用
不超过10000元，请你列举出所有购买方案．
【答案】（1）温馨提示牌50元，垃圾箱150元；（2）方案一：提示牌52个，垃圾箱48
个；方案二：提示牌51个，垃圾箱49个；方案三：提示牌50个，垃圾箱50个
【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结
论．
【详解】解：（1）设购买的温馨提示牌x元，垃圾箱y元，
则¿，解得¿．
温馨提示牌50元，垃圾箱150元．
（2）设购买垃圾箱m个，温馨提示牌(100−m)个，
则¿，解得¿．
方案一：提示牌52个，垃圾箱48个；
方案二：提示牌51个，垃圾箱49个；
方案三：提示牌50个，垃圾箱50个．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程的应用，正确找出相等关系并
准确根据不等式组的结果设计方案是解本题的关键．
6．（2024八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来
代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器
人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公
司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购
买才能使每小时的分拣量最大？
【答案】(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元
(2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲
型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共
需12万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6−m)台，根据“该公司计划最多用16
万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一
元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用
总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人的数量，即可得出w关于m的函数关系式，
再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得¿解得¿
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6−m)台．
依题意，得¿，
解得2≤m≤4．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则w=1400m+1200(6−m)=200m+7200．
∴当m=4时，w取得最大值，此时6−m=6−4=2，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
7．（24-25八年级上·重庆·期末）随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出
行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的
工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个A种
工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元．
(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，
7
再招聘的B工种工人不超过再招聘的A工种工人的 ，且最终车间所有A工种工人的数量与
3
车间所有B工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使
每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？
【答案】(1)0.6，0.72
(2)三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人
方案③，40.8万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应
用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键．
6
（1）设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，根据题意列方程
5
求解即可；
（2）设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，根据题意列不等式组求解即可．
6
【详解】（1）解：设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，
5
6
根据题意可列方程：300x+200× x=540，
5
解得：x=0.6，
6
则 x=0.72，
5
∴A、B两个工种工人的月工资分别为0.6万元、0.72万元；
（2）解：设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，
根据题意可列不等式组：
¿，
解得：18≤a≤20，
∵a为整数，
∴a的值为18、19、20，
∴该车间共有三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人；
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；
∵A工种工人的月工资比B工种工人的月工资低，
∴招聘A工种工人越多，每月付给这60个工人的工资总额越少，
∴招聘A工种工人20人，B工种工人40人时，每月付给这60个工人的工资总额最少，最少
为20×0.6+40×0.72=40.8万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；②招聘A工种
工人19人，B工种工人41人；③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；方案③可使每月
付给这60个工人的工资总额最少，最少为40.8万元．
【解法提炼】
通过题意列不等式组确定取值范围，从而确定最优方案
十. 不等式(组)与利润问题
【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的
应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间
的数量关系列出函数解析式是解题的关键；
例1某市场假期对儿童服装进行促销活动，某套童装套装的标价为375元，已知该套装的进价为240元，若要保证利润率不低于25%，则该套装最低可以打几折？
【答案】8折
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该套装打x折，根据题意列出不等式即可
求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该套装打x折，
x
由题意得，375× −240≥240×25%，
10
解得x≥8，
答：该套装最低可以打8折．
例2．（2023·辽宁营口·一模）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进
甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，
乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于
2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图
为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元
(2)当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元
【分析】（1）设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，根据题意列方程 即
可；
（2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图(200−m)盒，根据题意列出不等式，求得m的
取值范围，设总利润为w元，根据利润=（售价−进价）×数量，得到关于m的一次函数，
再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元；
（2）解：设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图(200−m)盒，
根据题意得：¿，
解得：20≤m≤40．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为w元，则w=(25−15)m+(18−10)(200−m)，
即w=2m+1600，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值w=2×40+1600=1680．
答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元．
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质，解题的
关键是理解题意，正确列出关系式．
对应练习：
1.（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；
李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价
均为7元/千克．
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少
是多少千克？
(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打
折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？
【答案】(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克
(2)每天卖出的苹果至少是36千克
(3)最低可以打8折
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设李老板购进香梨x千克，则李老板购进苹果为(3x+20)千克，根据“苹果的进价是
1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即
可；
（2）设苹果的日销售量是y千克，则香梨的日销售量是(50−y)千克，根据“每天利润不
少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（3）设苹果打m折销售，根据“销售苹果的总利润不低于1016元”，列出一元一次不等
式，解不等式即可得出答案；
【详解】（1）解：设李老板购进香梨x千克，则李老板购进苹果为(3x+20)千克，
根据题意得1.5(3x+20)+2x=420，
解方程得x=60，
∴购进香梨60千克，购进苹果3×60+20=200千克；
（2）解：设苹果的日销售量是y千克，则香梨的日销售量是(50−y)千克，根据题意，得(7−1.5)×y+(7−2)×(50−y)≥268
解不等式，得：y≥36
答：每天卖出的苹果至少是36千克；
（3）设苹果打m折销售，
苹果的总利润为：(7−1.5)×(200−60)+(7m−1.5)×60≥1016，
解不等式得：m≥0.8，
答：最低可以打8折．
2．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）某商场购进A,B两种商品，已知购进3件A商品
比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80
元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1700元，则购进A商品的件数
最少为多少？
【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为100元，60元
(2)17
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费
用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，根据利润不低于
1700元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为x元，y元，
由题意得，¿，
解得¿，
答：A，B两种商品每件进价分别为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，
由题意得，(150−100)m+(80−60)(60−m)≥1700，
50 2
解得m≥ =16 ，
3 3
∵m为商品件数，应为整数，
∴m的最小值为17，即：购进A商品的件数最少17件，
答：购进A商品的件数最少17件．
3．（2025·广东东莞·一模）在东莞市全力推进“百县千镇万村高质量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜果畅全国．某商贩看准商机，购进了一批桂味和糯米糍荔枝．已知
购进桂味3千克、糯米糍1千克共需90元，购进桂味1千克、糯米糍2千克共需60元．
(1)每千克桂味和糯米糍的进价分别是多少元？
(2)该商贩决定购进桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂味最多
可购进多少千克？将桂味的售价定为每千克40元，糯米糍的售价定为每千克30元，按照
桂味的最大购进量，请算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润．
【答案】(1)每千克桂味24元，每千克糯米糍18元
(2)桂味最多可以购进40千克，最大利润为1360元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是
明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组合不等式．
（1）设每千克桂味x元，每千克糯米糍y元，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程
即可；
（2）设购进桂味m千克，则购进糯米糍(100−m)千克，根据投入资金不超过2040元，可
以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设每千克桂味x元，每千克糯米糍y元．
¿，解得¿
答：每千克桂味24元，每千克糯米糍18元．
（2）解：设购进桂味m千克，则购进糯米糍(100−m)千克，由题意得：
24m+18(100−m)≤2040
解得m≤40，
∴桂味最多可以购进40千克，
∴最大利润为：(40−24)×40+(30−18)×(100−40)=1360（元）
答：桂味最多可以购进40千克，最大利润为1360元．
4． 2019年“双11期间”，某天猫网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的
售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和1筒乙种羽毛球，共
花费165元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且
3
甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽
5
毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出最大利润是多少？
【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案三，购进甲种羽毛球78筒，
乙种羽毛球为122筒；②当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元
【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据题意
列方程组解答即可；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意列不等式
组即可求出m的取值范围，进而得出进货方案；
②根据题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得¿，解得¿，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得¿，
解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案三，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得利润＝（60﹣50）m＋（45﹣40）（200﹣m）＝5m＋1000，
∴当m＝78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
注：通过计算三种方案的利润，比较得出最大值也对；
当m＝76时，w＝1380元；
当m＝77时，w＝1385元；
当m＝78时，w＝1390元．
5.小圆玩具工厂生产男孩玩具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生产男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元．
（1）男孩玩具和女孩玩具每件成本多少元？
（2）根据市场调查，销售一件男孩玩具可获利100元，销售1件女孩玩具可获利240元，
小圆玩具工厂计划投入不超过21万资金生产两种玩具，且男孩玩具产量是女孩玩具产量的
3倍，预计全部销售后利润不少于11万元，请通过计算说明有几种生产方案．
【答案】（1）男孩玩具每件成本为200元，女孩玩具每件成本为400元；（2）7种
【分析】（1）设男孩玩具每件成本为x元，女孩玩具每件成本为y元，根据“生产男孩玩
具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生产男孩玩具
12件，女孩玩具10件，需要成本6400元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设女孩玩具产量为a件，则男孩玩具产量为3a件，根据小圆玩具工厂计划投入不超
过21万资金生产两种玩具，且全部销售后利润不少于11万元，即可得出关于a的一元一
次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出生产方案的种数．
【详解】解：（1）设设男孩玩具每件成本为x元，女孩玩具每件成本为y元，
根据题意得：
¿，解得：¿．
答：男孩玩具每件成本为200元，女孩玩具每件成本为400元．
（2）设女孩玩具产量为a件，则男孩玩具产量为3a件，
5500
根据题意得：¿，解得： ≤a≤210，
27
又∵a为整数，
∴204≤a≤210．
∴共有7种生产方案．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据数量关系，正确列出一元一次
不等式组．
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本
和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？
【答案】(1)生产A种产品8件，B种产品2件．
(2)见解析
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．
（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品y件，根据“工厂计划生产A，B两种产品共10
件，工厂计划获利14万元”列出方程组即可得出结论；
（2）设生产A产品m件，则生产B产品(10−m)件，根据题意，列出一元一次不等式组，
求出m的取值范围，即可求出方案．
【详解】（1）解：设生产A种产品x件，则生产B种产品y件，
根据题意，得¿解得¿
答：应该生产A种产品8件，B种产品2件．
（2）解：设生产A产品m件，则生产B产品(10−m)件，
根据题意，得¿
解得5≤m<8．
∵m为正整数，
∴m的值为5，6或7，
∴该工厂有三种生产方案：
方案①：生产A种产品5件，B种产品5件；
方案②：生产A种产品6件，B种产品4件；
方案③：生产A种产品7件，B种产品3件．
【解法提炼】
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据数量关系，正确列出一元一次
不等式组
十一 . 不等式与方案选择
【题型解读】此种题型主要考查分类讨论思想
例1．某超市采用线下、线上两种方式销售A,B两种款式的公仔纪念品，且线下、线上商
品标价相同，在无促销活动时，购买2个A款和1个B款公仔纪念品共需50元，购买1个A
款和2个B款公仔纪念品共需55元．超市为促销提供以下方案：
①线下促销方案：顾客花费66元办理会员，凭会员卡购买超市内任何商品都可以打8折．②线上促销方案：顾客购买超市内任何商品，都可享受9折且包邮的优惠．
(1)该超市在无促销活动时，A款公仔纪念品和B款公仔纪念品的标价各是多少元？
(2)某班级计划在超市促销期间购买A,B两款公仔纪念品共40个，其中购买A款公仔纪念品
m(0<m<40)个，若在线下超市首次办理会员卡后购买，分别求出线下购买以及线上购买
共需多少元．（均用含m的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，当该班级购买A款公仔纪念品的数量在什么范围内时，线下购买更
划算？
【答案】(1)A款公仔纪念品的标价为15元，B款公仔纪念品的标价为20元
(2)线下购买共需(706−4m)元，线上购买共需(720−4.5m)元
(3)当该班级购买A款公仔纪念品的数量在0<m<28范围内时，线下购买更划算
【难度】0.65
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、列代数式表示实际问题、不等式解实际
问题等知识，读懂题意，根据题中关系准确列出方程组、代数式及不等式求解是解决问题
的关键．
（1）设A款公仔纪念品的标价为x元，B款公仔纪念品的标价为y元；根据题意建立二元一
次方程组求解，即可解题；
（2）根据题意得到A款公仔纪念品m个，B款公仔纪念品(40−m)个，结合（1）中价格，
分别表示出线下商店首次办理会员卡后购买的费用和线上商店购买的费用，即可解题；
（3）根据线下购买方式更合算，建立不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设A款公仔纪念品的标价为x元，B款公仔纪念品的标价为y元；
根据题意有¿，
解得¿，
答：A款公仔纪念品的标价为15元，B款公仔纪念品的标价为20元；
（2）解：∵计划在促销期间购买A、B两款公仔纪念品共40个，其中A款公仔纪念品
m(0<m<40)个，
∴B款公仔纪念品(40−m)个，
∴若在线下商店首次办理会员卡后购买，则需要费用为：
[15m+20(40−m)]×80%+66=706−4m（元），
在线上商店购买，共需要费用为：[15m+20(40−m)]×90%=720−4.5m（元），∴线下购买共需(706−4m)元，线上购买共需(720−4.5m)元．
（3）解：要线下购买方式更合算，即706−4m<720−4.5m，
解得m<28，
∴购买A款公仔纪念品的数量在0<m<28时，线下购买方式更合算．
对应练习：
1. 甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让
利酬宾．甲商场按累计购物金额的80%收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出
200元的部分按70%收费．设小红在一个商场累计购物金额为x元，其中x>200．
(1)根据题意，填写表格（单位：元）：
累计购物金额 500 700 … x
甲商场实际花费 400 …
乙商场实际花费 550 …
(2)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？
【答案】(1)560，0.8x，410，0.7x+60
(2)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足
600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同
【分析】本题考查代数式，一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出不等式，
进行求解．
（1）根据两种购买方案列式求解即可；
（2）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解
【详解】（1）解：700×80%=560，
在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.8x（元）；
200+(500−200)×70%=410（元），
在乙商场购买x元的金额时，实际花费是200+(x−200)×70%=0.7x+60．
累计购物金额 500 700 … x
甲商场实际花
400 560 … 0.8x
费
乙商场实际花
410 550 … 0.7x+60
费
（2）解：根据题意， 由0.8x=0.7x+60，得x=600，由0.8x<0.7x+60，得x<600．
由0.8x>0.7x+60，得x>600，
当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足
600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同．
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）光明中学某班级的同学们计划购买智能健康手环，
现从两家商场了解到同一款智能健康手环标价都是200元，并且都有一定的优惠．甲商场
提出的优惠活动：会员制，会员年费60元，之后购买每个智能健康手环打七五折；乙商场
提出的优惠活动：无会员费，购买每个智能健康手环打八折．该班选择哪家商场购买更优
惠？
【答案】当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数
小于6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收
费相同
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的
关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．设购买x个智能健康
手环，甲商场的收费为y 元，乙商场收费为y 元，根据题意，得
1 2
y =200×0.75x+60=150x+60，y =200×0.8x=160x，再分三种情况，求出x的取
1 2
值范围或x的值，此题得解．
【详解】解：设购买x个智能健康手环，甲商场的收费为y 元，乙商场收费为y 元，
1 2
根据题意，得y =200×0.75x+60=150x+60，y =200×0.8x=160x．
1 2
由y = y 得 150x+60=160x 解得x=6，
1 2
由y >y 得 150x+60>160x 解得x<6，
1 2
由y <y 得 150x+60<160x 解得x>6，
1 2
答：当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数小于
6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收费相
同．
3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）地铁开通后，小师同学上学有两种交通方案可选：
方案一：购买地铁月卡，乘坐地铁（卡费60元/月，购买后当月每次乘地铁仅需2元，不
限次数）
方案二：先乘公交车（单程1元），再换乘地铁（无优惠，单程3元）．
本月共有31天，小师每天上学需往返乘坐，若设小师本月上学x天，请回答下列问题：
(1)方案一的月花销为________元，方案二的月花销为________元；（用含x的代数式表示）
(2)根据x的不同情况，说明小师选择哪个方案更省钱．
【答案】(1)(4x+60)，8x
(2)当x<15时，方案二更省钱；当x=15时，方案一和方案二一样；当x>15时，方案一更
省钱；
【分析】本题主要考查列代数式，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列出等式即可；
（2）根据（1）中代数式，分三种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：方案一的月花销为(2×2×x+60)=4x+60，
方案二的月花销为(1×2+3×2)x=8x，
故答案为：(4x+60)，8x；
（2）解：①当4x+60>8x，
解得x<15，
∴当x<15时，方案二更省钱；
②当4x+60=8x，
解得x=15，
∴当x=15时，方案一和方案二一样；
③当4x+60<8x，
解得x>15，
∴当x>15时，方案一更省钱；
4.2024年清明节假期某风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外甲，乙两商店
以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，甲商店的优惠方案：
购物价格累计超过100元后，超出100元的部分打八折，乙商店的优惠方案：购物价格累计
超过80元后，超出80元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为x(x>80)元的商品．
(1)当x=250时，在甲商店购买的优惠价为 元，在乙商店购买的优惠价为 元．
(2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
【答案】(1)220，229.6
(2)当x>130时，顾客在甲商店购物花费少，当x=130时，顾客在甲，乙商店购物花费相等，
当80<x<130时，顾客在乙商店购物花费少．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读
懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
（1）根据甲，乙两商店的优惠方案进行解答即可；
（2）根据在甲，乙两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花
费更少．
【详解】（1）解：在甲商店购买的优惠价为：100+80%×(250−100)=220（元），
在乙商店购买的优惠价为：80+88%×(250−80)=229.6（元）
故答案为：220，229.6；
（2）解：在甲商店购买的优惠价为：100+80%(x−100)=(0.8x+20)（元），
在乙商店购买的优惠价为：80+88%(x−80)=(0.88x+9.6)（元），
当顾客在甲商店购物花费少时，0.8x+20<0.88x+9.6，
解得：x>130；
②当顾客在乙商店购物花费少时，则0.8x+20>0.88x+9.6，
解得：x<130；
③当顾客在甲，乙商场购物花费相等时，则0.8x+20=0.88x+9.6，
解得：x=130；
∴当x>130时，顾客在甲商店购物花费少，
当x=130时，顾客在甲，乙商店购物花费相等，
当80<x<130时，顾客在乙商店购物花费少．
【解法提炼】
主要通过利用题意分类讨论列不等式求解问题.
