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第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
2．如图，点P是 平分线 上一点， ，垂足为点D，若 ，则点P到边 的距离
是（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质直接可得．
【详解】解：如图，过点P作 ，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、
大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第3块有完整的两角及夹边，符合 ，满足题目要求的条件，是符合题意的，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角
形全等的一般方法有： 、 、 、 、 ．
4．如图，点 在 内，且到三边的距离相等，连接 ．若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由点 在 内，且到三边的距离相等，可知 是角平分线的交点，则 ，
，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵点 在 内，且到三边的距离相等，
∴ 是角平分线的交点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
5．如图，已知 ．添加一个条件后，不能证明 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，故A不符合题意；
B、在 和 中，，
∴ ，故B不符合题意；
C、在 和 中，
，
∴ ，故C不符合题意；
D、在 和 中， ， ， ， 不能得出 ，故D
符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：
．
6．如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则 与 的和为（ ）
A．45° B．70° C．80° D．90°
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为 ．如图所示：故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关几何结论是解题关键．
7．如图，已知 （点 、 、 的对应点分别为点 、 、 ），若 ， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和求出 的度数，再利用全等三角形的性质得到 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题
的关键．
8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸
市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图， 平分 ， ， 于点E， ， ，则 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过C作 交 延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明
和 得到 ， ，进而可求解．
【详解】解：过C作 交 延长线与F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质
是解答的关键．
10．如图，已知 、 的角平分线 、 相交于点 ， ， ，垂足分别为 、
．现有四个结论：
① 平分 ；
② ；
③ ；
④ ．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】作 于点 ，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出 ，再证明
， ，得到 ， ，即可判断③结论；
根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．
【详解】解：①作 于点 ，
平分 ， ， ，
平分 ， ，
，
，
点 在 的角平分线上，
平分 ，①结论正确；
② 平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
，
，
，
，②结论正确；
③ ， ，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
同理可证， ，
， ，
，故③结论正确；
④ ，
， ，
，故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的
判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，四边形 四边形 ，若 ， ， ，则 °．
【答案】
【分析】根据全等图形的性质， ，再根据四边形的内角和为 得到 ，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形 四边形 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．
12．如图，要测量河两岸相对的两点 的距离，先在 的垂线 上取两点 ，使 ，再
确定出 的垂线 ，使得点 在同一条直线上，测得 米，因此， 的长是 米．
【答案】30
【分析】由 可得 ，利用 可以证出 ，再根据全
等三角形，对应边相等可得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 、 、 、
和 ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线 ，且与射线 交于点C，另一把直尺压住
射线 并且与第一把直尺交于点P，连接 ，已知 ，则 的度数是 ．【答案】 /80度
【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知 平分 ，又 ，进而可得 的度
数．再由长方形直尺可得 ，利用平行线的性质可求解．
【详解】解：由题意，得 平分 ，
∴ ，
由长方形直尺可知： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边
距离相等的点在这角的平分线上．
14．如图，在 中， 是 边上的高线， 的平分线交 于E，当 ， 的面积为
2时， 的长为 ．
【答案】1
【分析】过E作 于F，根据角平分线性质得到 ，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：过点E作 于点F，如图所示．∵ 平分 ，且 ，
∴ ．
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出 是解此题的关键，注意：在
角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．如图， 为 的中线，点 在 的延长线上，连接 ，且 ，过点 作 于点
，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，证明 ， ，得出
，再由 为 的中线及 ，根据 的面积列出关于 的方程，求解
即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点
为 的中线，，
又
，
在 和 中
，即
， ，
为 的中线，
又
解得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属
于中档题．
16．如图， ， ， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，
同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．当 与
全等时， 的值为 ．【答案】1或
【分析】由题意知当 与 全等，分 和 两种情况，根据全等的
性质列方程求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ， ，
与 全等， ，
∴分两种情况求解：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的值是1或 ，
故答案为：1或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在 中， ， 是 的平分线，过点D作 ，若 ，
．求 的长．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质定理，得 ，再由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：∵AD是 的平分线， ， ，
∴ ．
又 ，，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解答本题
的关键．
18．如图， 和 的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在 两侧，已知 ，
， ． 与 全等吗？说明理由．
【答案】 ．理由见解析
【分析】根据 ，得到 ，再根据 证明 ．
【详解】证明： ，
，
在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．如图，已知 ，点 在 边上， 与 相交于点 ．
(1)若 ， ，求线段 的长；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)5(2)
【分析】（1）由 ，得到 ， ，而 ，即可得到 ；
（2）由 ，得到 ， ，由三角形外角的性质得到
．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
；
（2）解： ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，
对应边相等．
20．如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
(2)在图2中过点C作一条直线 ，使点A，B到直线 的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，取格点E，作直线 ，作直线 ，交线段 于点D，则线段 即为所求做的
线段；
（2）如图2，取线段 中点O，做直线 ，则直线 即为所求做的直线l即为所求做的直线．
【详解】（1）解：如图1，取格点E，作直线 ，交线段 于点D，则线段 即为所求做的线段；证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点C到AB所在直线的距离最短；
（2）解：如图2，直线l即为所求做的直线；
证明：过点A作 ，过点B作 ，垂足分别为M，N,
∴ ，
由题意得，点O为线段 中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
即点A，B到直线 的距离相等．
【点睛】本题考查了“垂线段最短”，点的直线的距离，全等三角形的性质与判定等知识，熟知相关知识，
并结合格点三角形的知识灵活应用是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点， 于D， 于E，
连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，根据角平
分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等
三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据 、
的长度表示出 、 ，然后解方程即可．
【详解】（1）证明： 点 在 的垂直平分线上，
，
是 的平分线，
，在 和 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，
， ，
，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离
相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22．在 中， ， ，点D是AC边上一点， 交 于点F，
交直线 于点E．
(1)如图1，当D为 的中点时，证明： ．
(2)如图2，若 于点M，当点D运动到某一位置时恰有 ，则 与 有何数量关系，并说
明理由．
(3)连接 ，当 时，求 的值．
【答案】(1)见解析(2) ，理由见解析
(3)2
【分析】（1）由题意可知 ， ， ，利用 即可证明结论；
（2）先证明 ，再证明 ，即可得 ；
（3）过点 作 ，可证 ，易得 ，由 ，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ 为 的中点时， ，
∴ ，则 ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点 作 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
23．如图， 中，点 在边 延长线上， ， 的平分线交 于点E，过点E作
，垂足为H，且 ．(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ；
(3)求 的度数；
(4)若 ， ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由平角的定义可求解 的度数，再利用三角形的内角和定理可求解 ，进而
可求解；
（2）过 点分别作 于 ， 与 ，根据角平分线的性质可证得 ，进而可证明
结论；
（3）设 ，分别表示出 ， ，求出 ，再利用三角形内角和
定理计算；
（4）利用三角形的面积公式可求得 的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过 点分别作 于 ， 与 ，平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
平分 ；
（3）设 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4） ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
，
．【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判
定与性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（1）问题发现：如图1，射线 在 的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且
，若 ，求证： ；
（2）类比探究：如图 2， ，且 ． （1）中的结论是否仍然成立，请说明
理由；
（3）拓展延伸：如图3，在 中， ， ．点E在 边上， ，点D、F在线
段 上， ．若 的面积为 ， ，求 与 的面积之比．
【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）
【分析】（1）根据 即可得到 ， ，
从而得到 ，即可得到证明；
（2）根据 得到 ，即可得到 ，即可
得到证明；
（3）根据 的面积为 ， ，即可得到 ， ，结合 可得
， ，根据 ， 得到 ，即可得到 ，
即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，∵ ，
∴ ；
（2）解：成立，理由如下，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ 的面积为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得
到三角形全等的条件．25．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在 中， ， ，
求 边上的中线 的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
______．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线，且 ， ，下列四个选项
中：直接写出所有正确选项的序号是______．
① ② ③ ④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 、 ，E是 的中点，求证：
．
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点F， ， ，则 的面积是______．
【答案】（1） ；（2）②③；（3）见解析；（4）8
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，
可得 ， ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可
得 ，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得 ， ， ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）如图1中，延长 至点 ，使 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
是中线，
，
又 ， ，，
， ，
， ，
，
为中线，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长 至 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
与 互补，
，
，又 ， ，
，
，
；
（4）如图3， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
