黄金卷-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）（参考答案）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷_272

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C D B C C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9 10 11 12 ABD ABD AC BCD 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．充分不必要条件 14．63 15．(﹣∞，﹣2) 16. 4 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（10分） 【答案】 (1) a =24−n(n∈N∗)；b ＝n2﹣7n+14；(2)略. n n 【详解】 (1)∵ ，① a +2a +22a +⋯+2n−1a =8n(n∈N∗) 1 2 3 n ∴当n≥2时， ，② a +2a +22a +⋯+2n−2a =8(n−1)(n∈N∗) 1 2 3 n−1 ①﹣②，得2n﹣1a ＝8，则 ， （1分） n a =24−n n 在①中令n＝1，可得 ， a =8=24−1 1 ∴ ；（2分） a =24−n(n∈N∗) n 由已知可得b ＝8，b ＝4，b ＝2，则b ﹣b ＝﹣4，b ﹣b ＝﹣2，（3分） 1 2 3 2 1 3 2 ∴数列{b ﹣b }的公差为﹣2﹣(﹣4)＝2，则b ﹣b ＝﹣4+(n﹣1)×2＝2n﹣6， n+1 n n+1 n∴b ＝b +(b ﹣b )+(b ﹣b )+...+(b ﹣b ) n 1 2 1 3 2 n n﹣1 ＝8+(﹣4)+(﹣2)+...+(2n﹣8)＝n2﹣7n+14；（5分） 证明：(2) ， b −a =k2−7k+14−24−k k k 当k≥4时， f(k)= ( k− 7) 2 + 7 −24−k 单调递增，且f(4)＝1，（7分） 2 4 ∴k≥4时，f(k)＝k2﹣7k+14﹣24﹣k≥1， 又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0， ∴不存在k∈N*，使得b ﹣a ∈(0，1)．（10分） k k 18．（12分） √3 【答案】 (1) 略；(2) . 4 A−C B A−C B B B 【详解】(1)证明：由cos⁡ =2sin⁡ ，得cos⁡ cos⁡ =2sin⁡ cos⁡ ， 2 2 2 2 2 2 由于A+B+C＝π，则 B (π A+C) A+C，（2分） cos⁡ =cos⁡ − =sin⁡ 2 2 2 2 A−C A+C B B cos⁡ sin⁡ =2sin⁡ cos⁡ =sin⁡B， 2 2 2 2 1 所以 (sin⁡A+sin⁡C)=sin⁡B，sinA+sinC＝2sinB． 2 由正弦定理得a+c＝2b．（5分） a2+c2−b2 (a+c) 2−2ac−b2 3b2 3b2 1 (2)解：由(1)得a+c＝2b，则cos⁡B= = = −1⩾ −1= ， 2ac 2ac 2ac (a+c) 2 2 2 2 当且仅当a＝c＝b 时，等号成立 （8分） π √3 由于0＜B＜π，则0|= = |⃗n|⋅|⃗CP| 3 2 ∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为 ；（7分） 3 (3)设平面PDE的法向量为⃗m＝(x，y，z)， ， ⃗EB=(−1,1,0),⃗PB=(0,3,−2) 则{&⃗m⋅⃗EB=−x+ y=0 ，取x＝2，则y＝2，z＝3， &⃗m⋅⃗PB=3 y−2z=0 ∴平面PDE的法向量为⃗m＝(2，2，3)，（9分） 由(Ⅱ)得平面PDE的法向量⃗n＝(2，1，2)，∴ | ⃗n⋅⃗m | 4√17， |cos<⃗n,⃗π>|= = |⃗n|⋅|⃗m| 17 由图形得二面角D﹣PE﹣B的平面角是钝角， 4√17 ∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为− ．（12分） 17 20．（12分） 151 171 【答案】 (1) ；(2) . 100 572 【详解】 (1)易知X的所有取值为1，2，（1分） 此时 P(X=2)=C1 ⋅ (1) 2 ⋅ ((3) 2 + (2) 2 ) +C1 ⋅ (1) 2 × (2 × 1 + 1 × 1) = 13 + 1 = 51 ，（3分） 2 2 5 5 2 2 3 2 3 2 50 4 100 49 P(X=1)=1−P(X=2)= ， 100 49 51 151 则E(X)=1× +2× = ；（5分） 100 100 100 (2)设第n轮比赛中，甲乙对打的概率为a ，甲丙对打的概率为b ，甲丁对打的概率为c ， n n n 1 由(1)知b ＝0，b ＝ ，（6分） 1 2 2 当n≥2时， [1 1 ( 1) 2] [2 1 ( 2)( 1)]， b =a × + 1− +c × + 1− 1− n n−1 2 2 2 n−1 3 2 3 2 1 整理得b ＝ (a +c )，（8分） n n﹣1 n﹣1 2 又a +b +c ＝1， n n n1 所以b ＝ (1﹣b )， n n﹣1 2 即 1 1( 1)， b − =− b − n 3 2 n−1 3 所以{ 1}是以 1为首项， 1为公比的等比数列，（10分） b − − − n 3 3 2 此时 1 1( 1) n−1， b − =− − n 3 3 2 整理得 1 1 ( 1) n−1， b = − × − n 3 3 2 则 1 1 (1) 9 171， b = + × = 10 3 3 2 572 171 即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为 ．（12分） 572 21．（12分） 【答案】 (1) 相切；(2) 略；(3)略. 【详解】(1)直 线l与双曲线 C相切，理由如下： 联立方程组{&ax2−b y2=1 ， &ax x−b y y=1 0 0 ∴ (ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0 ①，（1分） 0 0 0 0 ∵N∈C，∴ ，即 ，代入①得， ax2−b y2=1 ax2−1=b y2 0 0 0 0 ， −ax2+2ax x−ax2=0 0 0 ∴ ， Δ=4a2x2−4a2x2=0 0 0 ∴直线l与双曲线C相切；（3分）(2)证明：由(1)知 (ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0 ， 0 0 0 0 { &ab y 2−a2x 2≠0 0 0 &Δ>0 ∵直线l与双曲线的一支有2个交点，则： ，（5分） −1−b y 2 & 0 >0 ab y 2−a2x 2 0 0 ∵ ， ∴=4a2x2−4a(b y2−a2x2)(−1−b y2)=4ab(1+b y2−ax2) 0 0 0 0 0 0 ∴ ， ax2−b y2<1 0 0 −1−b y2 1+b y2 ∵ 0 = 0 >0， ab y2−a2x2 a(ax2−b y2) 0 0 0 0 ∴ ， 0