黄金卷-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）（参考答案）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷_272

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A C D B C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABD ABD AC BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．充分不必要条件 14．63 15．(﹣∞，﹣2) 16. 4
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】 (1) a =24−n(n∈N∗)；b ＝n2﹣7n+14；(2)略.
n n
【详解】 (1)∵ ，①
a +2a +22a +⋯+2n−1a =8n(n∈N∗)
1 2 3 n
∴当n≥2时， ，②
a +2a +22a +⋯+2n−2a =8(n−1)(n∈N∗)
1 2 3 n−1
①﹣②，得2n﹣1a ＝8，则 ， （1分）
n a =24−n
n
在①中令n＝1，可得 ，
a =8=24−1
1
∴ ；（2分）
a =24−n(n∈N∗)
n
由已知可得b ＝8，b ＝4，b ＝2，则b ﹣b ＝﹣4，b ﹣b ＝﹣2，（3分）
1 2 3 2 1 3 2
∴数列{b ﹣b }的公差为﹣2﹣(﹣4)＝2，则b ﹣b ＝﹣4+(n﹣1)×2＝2n﹣6，
n+1 n n+1 n∴b ＝b +(b ﹣b )+(b ﹣b )+...+(b ﹣b )
n 1 2 1 3 2 n n﹣1
＝8+(﹣4)+(﹣2)+...+(2n﹣8)＝n2﹣7n+14；（5分）
证明：(2) ，
b −a =k2−7k+14−24−k
k k
当k≥4时， f(k)= ( k− 7) 2 + 7 −24−k 单调递增，且f(4)＝1，（7分）
2 4
∴k≥4时，f(k)＝k2﹣7k+14﹣24﹣k≥1，
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，
∴不存在k∈N*，使得b ﹣a ∈(0，1)．（10分）
k k
18．（12分）
√3
【答案】 (1) 略；(2) .
4
A−C B A−C B B B
【详解】(1)证明：由cos⁡ =2sin⁡ ，得cos⁡ cos⁡ =2sin⁡ cos⁡ ，
2 2 2 2 2 2
由于A+B+C＝π，则 B (π A+C) A+C，（2分）
cos⁡ =cos⁡ − =sin⁡
2 2 2 2
A−C A+C B B
cos⁡ sin⁡ =2sin⁡ cos⁡ =sin⁡B，
2 2 2 2
1
所以 (sin⁡A+sin⁡C)=sin⁡B，sinA+sinC＝2sinB．
2
由正弦定理得a+c＝2b．（5分）
a2+c2−b2 (a+c) 2−2ac−b2 3b2 3b2 1
(2)解：由(1)得a+c＝2b，则cos⁡B= = = −1⩾ −1= ，
2ac 2ac 2ac (a+c) 2 2
2
2
当且仅当a＝c＝b 时，等号成立 （8分）
π √3
由于0＜B＜π，则0<B⩽ ,sin⁡B⩽ ，（9分）
3 2
1 1(a+c) 2
所以 acinB sin⁡B ，
S 2 2 2 1 √3
= ⩽ = sin⁡B⩽
b2 b2 b2 2 4
S √3
所以 的最大值为 ．（12分）
b2 419．（12分）
2 4√17
【答案】 (1) 略；(2) ；(3)− .
3 17
【详解】(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，∠DCB＝90°，
∴PC⊥CD，PC⊥CB，DC⊥CB，
则建立以点C为坐标原点，直线CD、CB、CP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示：（1分）
则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，
P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，
∴ ，
⃗DE=(−1,2,0),⃗CA=(2,1,0),⃗CP=(0,0,2)
∴⃗DE⋅⃗CA=0,⃗DE⋅⃗CP=0，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又∵CP∩CA＝C，PC、AC 平面PAC，
∴DE⊥平面PAC；（3分）⊂
(2)设⃗n＝(x，y，z)是平面PDE的一个法向量，
，
⃗DE=(−1,2,0),⃗PE=(1,2,−2)
则{&⃗n⋅⃗DE=−1+2y=0 ，取x＝2，则y＝1，z＝2，
&⃗n⋅⃗PE=x+2y−2z=0
∴平面PDE的一个法向量为⃗n＝(2，1，2)，（4分）
设直线PC与平面PDE所成角为α，且⃗CP＝(0，0，2)，
|⃗n⋅⃗CP| 2，
sin⁡α=|cos<⃗CP,⃗n>|= =
|⃗n|⋅|⃗CP| 3
2
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为 ；（7分）
3
(3)设平面PDE的法向量为⃗m＝(x，y，z)，
，
⃗EB=(−1,1,0),⃗PB=(0,3,−2)
则{&⃗m⋅⃗EB=−x+ y=0 ，取x＝2，则y＝2，z＝3，
&⃗m⋅⃗PB=3 y−2z=0
∴平面PDE的法向量为⃗m＝(2，2，3)，（9分）
由(Ⅱ)得平面PDE的法向量⃗n＝(2，1，2)，∴ | ⃗n⋅⃗m | 4√17，
|cos<⃗n,⃗π>|= =
|⃗n|⋅|⃗m| 17
由图形得二面角D﹣PE﹣B的平面角是钝角，
4√17
∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为− ．（12分）
17
20．（12分）
151 171
【答案】 (1) ；(2) .
100 572
【详解】 (1)易知X的所有取值为1，2，（1分）
此时 P(X=2)=C1 ⋅ (1) 2 ⋅ ((3) 2 + (2) 2 ) +C1 ⋅ (1) 2 × (2 × 1 + 1 × 1) = 13 + 1 = 51 ，（3分）
2 2 5 5 2 2 3 2 3 2 50 4 100
49
P(X=1)=1−P(X=2)= ，
100
49 51 151
则E(X)=1× +2× = ；（5分）
100 100 100
(2)设第n轮比赛中，甲乙对打的概率为a ，甲丙对打的概率为b ，甲丁对打的概率为c ，
n n n
1
由(1)知b ＝0，b ＝ ，（6分）
1 2
2
当n≥2时， [1 1 ( 1) 2] [2 1 ( 2)( 1)]，
b =a × + 1− +c × + 1− 1−
n n−1 2 2 2 n−1 3 2 3 2
1
整理得b ＝ (a +c )，（8分）
n n﹣1 n﹣1
2
又a +b +c ＝1，
n n n1
所以b ＝ (1﹣b )，
n n﹣1
2
即 1 1( 1)，
b − =− b −
n 3 2 n−1 3
所以{ 1}是以 1为首项， 1为公比的等比数列，（10分）
b − − −
n 3 3 2
此时 1 1( 1) n−1，
b − =− −
n 3 3 2
整理得 1 1 ( 1) n−1，
b = − × −
n 3 3 2
则 1 1 (1) 9 171，
b = + × =
10 3 3 2 572
171
即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为 ．（12分）
572
21．（12分）
【答案】 (1) 相切；(2) 略；(3)略.
【详解】(1)直 线l与双曲线 C相切，理由如下：
联立方程组{&ax2−b y2=1
，
&ax x−b y y=1
0 0
∴
(ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0
①，（1分）
0 0 0 0
∵N∈C，∴ ，即 ，代入①得，
ax2−b y2=1 ax2−1=b y2
0 0 0 0
，
−ax2+2ax x−ax2=0
0 0
∴ ，
Δ=4a2x2−4a2x2=0
0 0
∴直线l与双曲线C相切；（3分）(2)证明：由(1)知
(ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0
，
0 0 0 0
{ &ab y 2−a2x 2≠0
0 0
&Δ>0
∵直线l与双曲线的一支有2个交点，则： ，（5分）
−1−b y 2
& 0 >0
ab y 2−a2x 2
0 0
∵ ，
∴=4a2x2−4a(b y2−a2x2)(−1−b y2)=4ab(1+b y2−ax2)
0 0 0 0 0 0
∴ ，
ax2−b y2<1
0 0
−1−b y2 1+b y2
∵ 0 = 0 >0，
ab y2−a2x2 a(ax2−b y2)
0 0 0 0
∴ ，
0<ax2−b y2<1
0 0
∴N∈Q；（7分）
(Ⅲ)证明：设 ，设 ，
M(x ,y ),A(x,y) 2⃗MA=λ⃗AN,⃗MB=μ⃗BN
1 1
∵ ,
N(x ,y )∉l
0 0
x +λx
{ &x= 1 0
∴
λ≠−1
，则
1+λ
，代入双曲线
C:ax2−b y2=1
，利用M在l上，
y +λ y
& y= 1 0
1+λ
即
ax x −b y y =1
，整理得，
(ax2−b y2−1)λ2+ax2−b y2−1=0
，（9分）
0 1 0 1 0 0 1 1
同理得关于μ的方程，
(ax2−b y2−1)μ2+ax2−b y2−1=0
，
0 0 1 1即λ、μ是
(ax2−b y2−1)t2+ax2−b y2−1=0
的两根，
0 0 1 1
∴λ+μ=0，λ=-μ，
|MA| |MB|
∴ = ．（12分）
|AN| |BN|
22．（12分）
【答案】 (1) 增区间是(﹣∞，1)，减区间是(1，+∞)；(2) ①0；②略.
【详解】 (1) （1分）
f(x)=xea−x,f' (x)=(1−x)⋅ea−x (x∈R)
令f′(x)＞0，得 x∈(﹣∞，1)，令f′(x)＜0，得x∈(1，+∞)，
故函数f(x)的增区间是(﹣∞，1)，减区间是(1，+∞)．（3分）
(2)①e2f(x+2)﹣x+2＝0 e2(x+2)ea﹣x﹣2﹣x+2＝0
(x+2)ea﹣x﹣x+2＝0 ⇒ea(x+2)﹣ex(x﹣2)＝0，
⇒设方程ea(x+2)﹣ex(x﹣⇒2)＝0的两根分别是 x
0
和﹣x
0
，（4分）
故
ea (x +2)−ex 0(x −2)=0
(Ⅰ)，
0 0
ea (−x +2)−e−x 0(−x −2)=0
，即
eaex 0(−x +2)+(x +2)=0
(Ⅱ)，
0 0 0 0
(Ⅰ)﹣(Ⅱ)可得： (ea−1)[x +2+(x −2)ex 0 ]=0 (Ⅲ)，（5分）
0 0
令g(x)＝x+2+(x﹣2)ex，则g'(x)＝1+ex+(x﹣2)ex＝(x﹣1)ex+1，
易证g'(x)≥0，所以g(x)单调递增，又g(0)＝0，所以当且仅当x＝0时，g(x)＝0，
所以，若x ＝0时，由(Ⅰ)式可知：ea＝﹣1，不可能成立，
0
故x ≠0，即g(x )≠0，由(Ⅲ)式可知：ea﹣1＝0，可得a＝0．（7分）
0 0
x 1−x
②证明：因为 a＝0，可得f(x)= ，则f' (x)= ，
ex ex
1−m
设f(x)在x＝m(0＜m＜1)处的切线斜率为k，则k=f' (m)= ，
em
又 m，则f(x)在x＝m处的切线方程为 1−m m2，
f(m)= y= x+
em em em
设 p(x)= 1−m x+ m2 − x (0<x≤1) ，则 p' (x)= 1−m − 1−x，且p′(m)＝0，（8分）
em em ex em ex1−m 1−x 2−x
设q(x)= − ，则q' (x)= ，又0＜x≤1，则q(x)＞0，
em ex ex
所以q(x)在(0，1]上单调递增，且q(m)＝0，
则当0＜x＜m时，p′(x)＝q(x)＜0；当m＜x≤1时，p′(x)＝q(x)＞0，
则p(x)≥p(m)＝0，即1−m m2 x ，（10分）
x+ ⩾ (0<x≤1)
em em ex
n
若x＞0，且 ，
i ∑❑x =1(n≥2)
i
i=1
则 n x x x 1−m nm2 (1−m) nm2 ，
∑❑f (x )= 1 + 2 +⋯+ n ⩽ (x +x +⋯+x )+ = +
i=1
i ex
1
ex
2
en em 1 2 n em em em
n
令 1得： 1 ． （12分）
m= ∑❑f (x )⩽
n i √n e
i=1