文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，集合 ，则 ．
【答案】
【分析】根据并集的定义运算即可.
【解析】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：
2．在复平面内，点 对应的复数z，则
【答案】
【分析】由点的坐标写出复数，再计算。
【解析】由题意 ，∴ 。
故答案为： 。
3．函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】解不等式 即可得出函数 的定义域.
【解析】对于函数 ，有 ，解得 .
因此，函数 的定义域为 .故答案为： .
4．已知抛物线的准线方程为 ，则其标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据准线方程可得焦点，即可得标准方程.
【解析】由准线方程为 可知焦点坐标为 ，所以抛物线标准方程为 ，
故答案为：
5．参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、
86、88、90、72、94、78，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
【答案】90.5
【分析】计算 ，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此
可得答案.
【解析】因为 ，
将数据从小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98，
故这15人成绩的第80百分位数为 ，
故答案为：90.5.
6．已知一个半径为4的扇形圆心角为 ，面积为 ，若 ，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】由扇形面积公式先求 ，再根据两角和差的正切公式求得结果.
【解析】已知扇形半径为 ，圆心角为 ，
∵扇形面积 ，∴ ，
∴ ，解得： .
故答案为： .7． 展开式的常数项为 .（用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【解析】 展开式通项公式
，
令 ，解得 ，则 ，
所以 展开式的常数项是 .
故答案为：
8．等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列,若 ，则 .
【答案】15．
【解析】由题意得
9．记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个
值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【解析】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
10．若关于 的方程 在 上有实数解，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.
【解析】原方程
等价于
即函数 ， 在 上有交点，
∵ ，∴ ， ，故 ，
则 .
故答案为：
11．如图，已知 ， 是相互垂直的两条异面直线，直线 与 ， 均相互垂直，且 ，动点 ，
分别位于直线 ， 上，若直线 与 所成的角 ，三棱锥 的体积的最大值为 .
【答案】 /
【分析】根据直线 三条直线两两垂直，将图形还原为长方体 ，再根据 ，可得 即为直线 与 所成的角的平面角，由此可求得 ，从而可得 ，再根据棱锥的体
积公式结合基本不等式即可得解.
【解析】因为直线 三条直线两两垂直，
如图，将图形还原为长方体 ，
因为 ，所以 即为直线 与 所成的角的平面角，
则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中，由 ，得 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，取等号，
所以三棱锥 的体积的最大值为 .故答案为： .
12．定义函数 如下：对于实数 ，如果存在整数 ，使得 ，则 ，已知等比数列
的首项 ，且 ，则公比 的取值范围是 .
【答案】【分析】分析函数 与 的性质，求出方程 的解的取值范围，进而可求得公比 的取
值范围.
【解析】根据函数 的定义，可知 时， ，
当 时， ， ，此时 无解；
当 时， ， 的值为区间 内的整数，则
.
若 有解，则 ，解得 ，
又 ，则 ， ， ，
此时 ，由 ，可知 ，
所以 ，解得 ；
当 时， ， 的值为区间 内的整数，则
.
若 有解，则 ，解得 ，
又 ，则 ， ， ，此时 ，由 ，可知 ，
所以 ，解得 .
等比数列 中，设公比为 ，则 ， ， ， ，
由函数 的性质可知，当 时，
方程 有解.
综上所述，当 时，符合题意.
故答案为： .
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13． ， ， ， ，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解析】充分性：因为 且 ，由不等式的性质可得 ，充分性成立；
必要性：取 ， ， ， ，则 成立，且 ，但 ”不成立，必要性不成立.
因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
14．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4天的用电量与
当天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知 ，，由数据得线性回归方程： ，并预测当气温是5℃的时候用电量为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】B
【分析】根据题意可知样本中心为 ，又回归方程必过样本中心可知， ，再将 代入回归方
程，即可求出结果.
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，所以样本中心为 ，
由回归方程必过样本中心可知，所以 ，得 ，
所以 ，
当 时， .
故选：B.
15．已知点 为 的外心，且 ，则 为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，可得 ， ， ，分别
利用 ， ，
和余弦定理可得答案.
【解析】 三个角所对的三边分别为 ，
取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， ， ，则 ， ， ，所以 ，
，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，
即 为钝角三角形.
故选：C.
16．已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 对一切 成立．关于
数列 ， ，…， 有以下两个论断：①存在 ，使得数列 中恰有112项为1；②存
在 ，使得数列 中恰有448项为0．则（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】A
【分析】利用 和奇函数 的性质得到 的周期性，结合实例可判断①的正误，利用
反证法可判断②的正误.
【解析】由题知，， ，
又 是奇函数，
， ，
，
则 ，所以 ， ，故 的周期为18，
设 ，则 ，
， ，
故 满足题设要求，而 ，令 ，
则 ，令 ，故 ，故①是真命题.
若 为常数函数，则 在 上整零点的个数为0或2023，
故②为假命题；
若 不为常数函数，设 的最小正周期为 ，
则存在正整数 ，使得 ，故 ，则 ，
设 在 的整零点的个数为 ， 在 上整零点的个数为 ，
在 上的整零点的个数为 ，其中 ，
则 在 的整零点个数为 ，
其中 ，
若 ，则 ，当 ；当 ；当 ；
当 ，当 ，
若此时存在 ，使得 在 上整零点的个数恰为 ，
则 ，因 均为 的约数，且 ，
，故 ，但此时 ，
矛盾.
若 ，则 ，
若此时存在 ，使得 在 上整零点的个数恰为 ，
则 ，因 均为 的约数，且 ，
，故 ，但此时 ，
矛盾.
综上，不存在 ，使得 在 上整零点的个数恰为 ，
所以①是真命题，②是假命题.
故选：A
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）如图， 平面 ，四边形 为直角梯形，
.
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求二面角 的余弦值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；
（2）以点 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角 的余弦值.
【解析】（1）由 ，
则异面直线 与 所成角即为 ，
由题意知， 平面 ，又 平面 ，
故 ，所以 ，即 ，
即异面直线 与 所成角为 .
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系：
则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，得 ，取平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图形知， 为锐角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
18．（本题满分14分）已知函数 ， .
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数 ，写出函数 的单调递增区间并用定义证明.
【答案】(1)答案见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）分 、 两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；
（2）求得 ，可以确定 的单调递增区间为 ，之后利用函数单调性证明即可.
【解析】（1）当 时， ，
定义域为 ， 任选 ，都有 ，
所以 时函数 为偶函数；
当 ，
则 ；
时函数 既非奇函数又非偶函数；
（2）函数 的单调递增区间为 .
证明： ，
任取 且 ，，
由于 ，则 ；
由于 ，则 ；
所以 ，即 .
函数 的单调递增区间为 .
19．（本题满分14分）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6
点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价
后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）
每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，
）
25
每天下午6点前的销售量/千克 300 350 400 450
0
天数 10 10 5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设 为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2) 的分布列见解析，
【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量 的可能值为 ，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，
列出分布列，利用期望公式，即可求解．
【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为 ．
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率 ，随机变量 的可能值为 ，
可得： ，
，
，
所以随机变量 的分布为：
0 1 2
所以 的数学期望 ．
20．（本题满分16分）在平面直角坐标系 中，若椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，点
在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 .
（1）求 的周长；
（2）在 轴上任取一点 ，直线 与直线 相交于点 ，求 的最小值；
（3）设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别是 ， ，若 ，求点 的坐标.
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 .【分析】（1）由椭圆方程的性质可求 的周长；（2）设 ，求出直线 方程，解出 点坐标，
计算 ，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知： 到直线 距离 是 到直线 距离
的3倍，求出 的值，则点 的坐标为与直线 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可
解出点 .
【解析】解：（1）由椭圆方程可知： .
所以 的周长为 ；
（2）由椭圆方程得 ，设 ，则直线 方程为 ，
又 ，所以直线 与 的交点为 ，
，
当 时，
（3）若 ，设 到直线 距离 ， 到直线 距离 ，
则 ，即 ， ， ，
可得直线 方程为 ，
所以 ， .
由题意得， 点应为与直线 平行且距离为 的直线与椭圆的交点，
设平行于 的直线 为 ，与直线 的距离为 ，求得 或 ，
当 时，直线 为 ，联立方程： ，可得 ，解得 或，
当 时，直线 为 ，联立方程： 可得： ， 此时方
程无解.
综上所述， 点坐标为 或 .
21．（本题满分18分）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数
和函数 ，其中 对任意的 都有 ，使得 ，则称函数
具有性质 .
(1)设函数 ，其中 为实数.
（ⅰ）判断函数 是否具有性质 ，请说明理由；
（ⅱ）求函数 的单调区间.
(2)已知函数 具有性质 .给定 ， ，设 为实数， ，
，且 ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)（i）函数 具有性质 ，理由见解析；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）对 求导，可得 恒成立，即可证明函数 具有性质 ；（ii） ， 与 的符号相同，分 ， ， 和
，讨论 的正负，即可得出函数 的单调区间；
（2）对 求导， ，分析可知其 在 恒成立，分
， 和 三种情况讨论求解m的取值范围．
【解析】（1）（i）函数 具有性质 ，理由如下，
，
因为 ， 恒成立，所以函数 具有性质 ；
（ii）设 ， 与 的符号相同.
当 即 时， ， ，
故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 的图象开口向上，对称轴 ，而 ，
对于 ，总有 ， ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 的图象开口向上，对称轴 ，方程 的两根为：
，且 ， ，当 时， ， ，此时 在区间 上递减；
同理得： 在区间 上递增.
综上所述：当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在区间 上递减，在 上递增；
（2）由题意，得： ，
又 对任意的 都有 ，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增，
又 ，
当 时， ，且 ，
所以 ，所以 或 ，
若 ，则 ，
所以 不合题意，
所以 ，即 ，解得： ， ，
当 时， ， ，符合题意.
当 时， ，且 ，
同理有 ，即 ，解得： ， ，综上所述，所求m的取值范围时 .
