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第十章 二元一次方程组全章题型总结【7 个知识点 14 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 二元一次方程的概念】
概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【题型1 二元一次方程组的概念】
1
【例1】方程2x− =0，3x+y＝0，x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（ ）
y
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：二元一次方程有：3x+y＝0，x+y﹣2x＝0，共2个，
故选：D．【例2】若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代
入a+b，计算即可得出结果．
【解答】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，
{ a+b=1 )
∴ ，
3a+2b−4=1
{ a=3 )
解得： ，
b=−2
当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1．
故选：D．
2 1
【变式1】下列方程：①x+y；②x+ =3；③3x+1=8 y+ ；④xy＝5；⑤x+ ＝5中，是二元一次
y 2
π
方程的是 （只填序号）．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此判断即
可．
【解答】解：①不是方程；
②不是整式方程；
③是二元一次方程；
④是二元二次方程；
⑤是一元一次方程；
所以是二元一次方程的是③，
故答案为：③．
【变式2】已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1
【分析】先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵方程（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，
∴|a|﹣1＝1且2﹣a≠0，
解得a＝﹣2．
故选：B．
【变式3】若方程（m+2n）x|m|+n＝3yn+2+4是二元一次方程，则mn的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣2【分析】利用二元一次方程的定义，可得出关于m，n的二元一次方程组及不等式，解之可得出m，n
的值，再将其代入mn中，即可求出结论．
【解答】解：∵方程（m+2n）x|m|+n＝3yn+2+4是二元一次方程，
{m+2n≠0
)
∴ |m|+n=1 ，
n+2=1
{m=−2)
解得： ，
n=−1
∴mn＝﹣2×（﹣1）＝2．
故选：A．
【知识点2 二元一次方程的解】
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程
{x＝a¿¿¿¿
的解通常表示为 的形式.
【题型1 二元一次方程的解】
{x=a)
【例1】如果 是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式5﹣2a+6b的值是（ ）
y=b
A．8 B．5 C．11 D．0
{x=a)
【分析】将 代入方程x﹣3y＝﹣3，可得a﹣3b＝﹣3，再代入求解即可．
y=b
【解答】解：由条件可知a﹣3b＝﹣3，
∴5﹣2a+6b＝5﹣2（a﹣3b）＝5﹣2×（﹣3）＝11，
故选：C．
【例2】关于x，y的方程2x+3y＝17的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将y看作已知数，用含y的代数式表示出x，令y＝1，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得
到方程的正整数解．
【解答】解：∵2x+3y＝17，17−3 y
∴x= ，
2
∴满足要求的y值为1，3，5，对应的x值为7，4，1；
∴关于x，y的方程2x+3y＝17的正整数解的个数是3，
故选：C．
【例3】已知关于x，y的二元一次方程2x﹣y+3+a（3x+y﹣8）＝0，不论a取何值时，方程总有一组固定
不变的解，这组解为 ．
【分析】该方程变形为（3a+2）x+（a﹣1）y+3﹣8a＝0，再分别令3a+2＝0和a﹣1＝0时求解方程即
可．
【解答】解：该方程变形为（3a+2）x+（a﹣1）y+3﹣8a＝0，
当3a+2＝0时，
2
解得a=− ，
3
2
将a=− 代入方程（3a+2）x+（a﹣1）y+3﹣8a＝0，
3
2 2
得(− −1)y+3−8×(− )=0，
3 3
解得y＝5；
当a﹣1＝0时，
解得a＝1，
将a＝1代入方程，（3a+2）x+（a﹣1）y+3﹣8a＝0，
得（3×1+2）x+3﹣8×1＝0，
解得x＝1，
{x=1)
∴不论a取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ，
y=5
{x=1)
故答案为： ．
y=5
{x=−2) 12 3
【变式1】若 是方程2nx+5y＝4的一个解，则代3m− n+ 的值是（ ）
y=m 5 5
7 6
A．3 B． C． D．﹣3
5 5
{x=−2)
【分析】把 代入方程 2nx+5y＝4 得关于 m，n 的等式，然后根据等式的基本性质求出
y=m12
3m− n的值，再代入所求代数式进行计算即可．
5
{x=−2)
【解答】解：把 代入方程2nx+5y＝4得：
y=m
﹣4n+5m＝4，
4 4
∴m− n= ，
5 5
4 4
3m−3× n= ×3，
5 5
12 12
3m− n= ，
5 5
12 3
∴3m− n+
5 5
12 3
= +
5 5
＝3，
故选：A．
【变式2】二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【分析】分情况讨论，即可求出二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解．
【解答】解：∵2x+5y＝40，
40−2x
∴y= ，
5
当x＝0时，y＝8；
当x＝5时，y＝6；
当x＝10时，y＝4；
当x＝15时，y＝2；
当x＝20时，y＝0；
∴二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有5组．
故选：C．
【变式3】关于x，y的二元一次方程（3+2m）x+（m﹣2）y+9﹣m＝0，不论m取何值，方程总有一组固定
不变的解，这组解为 ．
【分析】将（3+2m）x+（m﹣2）y+9﹣m＝0可化为（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，由“不论m取何{3x−2y+9=0)
值，方程总有一组固定不变的解”得 ，解这个方程组即可．
2x+ y−1=0
【解答】解：（3+2m）x+（m﹣2）y+9﹣m＝0可化为（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，
∵不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，
{3x−2y+9=0) {x=−1)
∴ ，解得 ．
2x+ y−1=0 y=3
{x=−1)
故答案为： ．
y=3
【变式4】关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1，对于任意一个满足
条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 ．
【分析】根据二元一次方程的解的概念解答即可．
【解答】解：∵ax+by＝c，b＝a+1，c＝b+1，
∴ax+ay+y＝a+2，
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，
∴令a＝0，则y＝2；把y＝2代入ax+ay+y＝a+2，
得：ax＝﹣a，
∴x＝﹣1，
{x=−1)
∴公共解为 ．
y=2
{x=−1)
故答案为： ．
y=2
【知识点3 二元一次方程组的概念】
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程
组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为 （其中 ， ， ， 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“ ”表示同时满足，相当于“且”的意思．【题型3 二元一次方程组的概念】
{ x+ y=5 ) { x+ y=2 ) { xy=1 )
{1
+
1
=1) {x=1)
【例1】在下列方程组：① ，② ，③ ，④ x y ，⑤
3 y−x=1 3 y−x=1 x+2y=3 y=1
x+ y=1
中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
【分析】分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次
数都应是一次；3、都是整式方程”．
{ x+ y=5 ) { x+ y=2 ) {x=1)
【解答】解：方程组 ， ， 中符合二元一次方程组的定义，符合题意．
3 y−x=1 3 y−x=1 y=1
{ xy=1 )
方程组 属于二元二次方程组，不符合题意．
x+2y=3
{1
+
1
=1)
方程组 x y 中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
x+ y=1
故选：C．
【变式1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
{x−3 y=5) {xy+1=0) { x+ y=6 ) { x=6 )
① ，② ，③ ，④ ．
2x= y−1 x= y y+1=z+4 2y+x=3
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
{x−3 y=5)
【解答】解：① 是二元一次方程组；
2x= y−1
{xy+1=0)
② 不是二元一次方程组；
x= y
{ x+ y=6 )
③ 不是二元一次方程组；
y+1=z+4
{ x=6 )
④ 是二元一次方程组；
2y+x=3
故选：D．
{x+ y=2)
【变式2】若方程组 是二元一次方程组，则“……”可以是（ ）
⋯⋯
1 1
A．x2﹣1＝0 B．±3 C． + =2 D．4x＝y
x y
【分析】利用二元一次方程组的定义，可得出“……”应该是一次方程，再对照四个选项，即可得出结论．
{x+ y=2)
【解答】解：∵方程组 是二元一次方程组，
⋯⋯
∴“……”应该是一次方程，
∴“……”可以是4x＝y．
故选：D．
{x|m|+1+ y=0)
【变式3】若方程 是二元一次方程组，那么m的值（ ）
2x−my=3
A．0 B．1
C．2 D．上述选项都不对
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可求出m的值．
{x|m|+1+ y=2)
【解答】解：∵方程 是二元一次方程组，
2x−my=3
∴|m|+1＝1，
解得：m＝0．
故选：A．
【知识点4 二元一次方程组的解】
概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方
程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
{2x+y=5¿¿¿¿
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解，而方程组
{x+y=−1¿¿¿¿
的解有无数个.
【题型4 由二元一次方程组的解求值】
{2ax+by=3) { x=1 )
【例 1】已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ，则代数式 2a﹣4b 的值是
ax−by=1 y=−1（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
{ x=1 )
【分析】把 代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
y=−1
{ x=1 ) {2ax+by=3)
【解答】解：把 代入方程组 ，
y=−1 ax−by=1
{2a−b=3)
得： ，
a+b=1
4
{ a= )
3
解得： ，
1
b=−
3
8 4
∴2a−4b= −(− )=4．
3 3
故选：C．
{ 3x−2y=3a )
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 的解x和y的值满足x＝﹣y，则a的值是（
−2x+3 y=a−8
）
A．﹣2 B．2 C．﹣0.5 D．0.5
【分析】先由二元一次方程组得 x+y＝4a﹣8，再根据二元一次方程组的解x和y的值满足x＝﹣y，得
4a﹣8＝0，求出a的值即可．
{ 3x−2y=3a )
【解答】解： ，
−2x+3 y=a−8
∴3x﹣2y+（﹣2x+3y）＝3a+a﹣8，即x+y＝4a﹣8，
∵关于x，y的二元一次方程组的解x和y的值满足x＝﹣y，
∴x+y＝0，
∴4a﹣8＝0，
解得a＝2，
故选：B．
{x=2) {2mx+ny=6)
【变式2】已知 是二元一次方程组 的解，则m+n的值是（ ）
y=1 mx−ny=4
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【分析】将已知解代入方程组并将两方程作差，再利用等式的性质即可求得答案．{x=2) {2mx+ny=6)
【解答】解：已知 是二元一次方程组 的解，
y=1 mx−ny=4
则4m+n＝6①，2m﹣n＝4②，
①﹣②得：2m+2n＝2，
则m+n＝1，
故选：A．
{ 3x−5 y−2m=0 )
【变式3】关于x，y的方程组 的解x、y互为相反数，则m的值为 ．
2x+10 y−m+18=0
【分析】两式相加得到5（x+y）＝3m﹣18，根据x，y互为相反数，得到x+y＝0，从而3m﹣18＝0，解
方程即可得出答案．
【解答】解：由条件可得5x+5y﹣3m+18＝0，
∴5（x+y）＝3m﹣18，
由条件可知x+y＝0，
∴3m﹣18＝0，
∴m＝6．
故答案为：6．
【题型5 二元一次方程组的整数解】
{ x+2y−6=0 )
【例1】已知关于x，y的方程组 ，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的
x−2y+mx+5=0
值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
1
【分析】利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x= ，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从
2+m
而得到满足条件的m的值．
{ x+2y−6=0 ①)
【解答】解： ，
x−2y+mx+5=0 ②
①+②得（2+m）x＝1，
1
解得x= ，
2+m
∵x为整数，m为整数，
∴2+m＝±1，
∴m的值为﹣1或﹣3．
故选：D．{kx+ y=7)
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（
3x−y=0
）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15
{kx+ y=7)
【分析】先利用加减法求出x，y，再根据关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，其中k
3x−y=0
为整数，列出关于k的方程，解方程求出k，再代入k2﹣1进行
计算即可．
{kx+ y=7①)
【解答】解： ，
3x−y=0②
7
①+②得：x= ，
k+3
7 21
把x= 代入②得：y= ，
k+3 k+3
{kx+ y=7)
∵关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，其中k为整数，
3x−y=0
∴k+3＝1或7，
解得：k＝﹣2或4，
当k＝﹣2时，k2﹣1＝（﹣2）2﹣1＝4﹣1＝3；
当k＝4时，k2﹣1＝42﹣1＝15，
∴k2﹣1的值为3或15，
故选：D．
{ x+2y−6=0 )
【变式2】已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）若方程组的解满足x+y＝0，则m＝ ．
（2）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，m＝ ．
{ x+2y−6=0 )
【分析】（1）根据x+y＝0可得x＝﹣y，代入 求解即可；
x−2y+mx+5=0
1
（2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x= ，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从而得
2+m
到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝0，
{ x+2y−6=0 )
∴x＝﹣y，代入 ，
x−2y+mx+5=0{ −y+2y−6=0 )
得 ，
−y−2y+m⋅(−y)+5=0
{
y=6
)
解得 13 ，
m=−
6
13
故答案为：− ；
6
{ x+2y−6=0① )
（2） ，
x−2y+mx+5=0②
①+②得（2+m）x＝1，
1
解得：x= ，
2+m
∵x为整数，m也为整数，
∴2+m＝±1，
∴m＝﹣1或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣3．
{ x+2y=6 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
2x−2y+mx=8
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解答】解：（1）∵x+2y＝6，
∴x＝6﹣2y，
{x=4) {x=2)
∴方程x+2y＝6的正整数解有： ， ；
y=1 y=2
{ x+2y=6① )
（2） ，
2x−2y+mx=8②
①+②得，3x+mx＝14，
14
∴x= ，
3+m
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣10，﹣17，4，11．
1
当m＝﹣1时，x＝7，y=− ，不符合题意；
2
当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；
当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；
13
当m＝﹣5时，x＝﹣7，y= ，不符合题意，
2
当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，
7
当m＝﹣17时，x＝﹣1，y= ，不符合题意；
2
当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，
5
当m＝11时，x＝1，y= ，不符合题意，
2
综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．
【题型6 根据二元一次方程组的解的情况求值】
{ x+ y=1 )
【例1】如果关于x，y的方程组 无解，则k值为（ ）
(2k−1)x−y=3
1
A．﹣1 B．0 C． D．2
2
4
【分析】先根据加减消元法将两个方程相加，得出x= ，然后根据方程组无解，得出2k＝0，即可得
2k
出答案．
{ x+ y=1① )
【解答】解： ，
(2k−1)x−y=3②
①+②，得2kx＝4，
4
∴x= ，
2k
{ x+ y=1 )
∵关于x，y的方程组 无解，
(2k−1)x−y=3
∴2k＝0，
∴k＝0．
故选：B．
{ x+ay−1=0 )
【例2】关于x，y的方程组 有无数组解，则（ ）
bx−2y−1=0A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1
【分析】由题意可①﹣②得（1﹣b）x+（a+2）y＝0，然后问题可求解．
{ x+ay−1=0①)
【解答】解： ，
bx−2y−1=0②
①﹣②得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0，
∵方程组有无数组解，
∴1﹣b＝0，a+2＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1．
故选：B．
{y=2x−1)
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 无解，则a的值是 ．
y=ax+2
【分析】方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到 2﹣a＝0，即可求出a
的值．
{y=2x−1①)
【解答】解： ，
y=ax+2②
①﹣②，得（2﹣a）x﹣3＝0，
∴（2﹣a）x＝3，
{y=2x−1)
∵关于x，y的二元一次方程组 无解，
y=ax+2
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
{ 4x+my=12 )
【变式2】若关于x，y的方程组 有无数组解，其中m、n不为0，则mn＝ ．
(m+n)x−2y=6
【分析】②×2，得2（m+n）x﹣4y＝12，根据题意得出2（m+n）＝4，m＝﹣4，求出m、n的值即可计
算mn的值．
{ 4x+my=12① )
【解答】解： ，
(m+n)x−2y=6②
②×2，得2（m+n）x﹣4y＝12，
{ 4x+my=12 )
∵关于x，y的方程组 有无数组解，m、n不为0，
(m+n)x−2y=6
∴2（m+n）＝4，m＝﹣4，
∴n＝6，∴mn＝﹣4×6＝﹣24，
故答案为：﹣24．
{ 1 x+ y=a )
【变式3】关于x，y的方程组 2 只有唯一的一组解，那么a的取值为 ．
|x|−y=1
【分析】由方程组只有唯一的一组解，得到x＝0，即可求出a的值．
{ 1 x+ y=a )
【解答】解：∵关于x，y的方程组 2 只有唯一的一组解，
|x|−y=1
∴|x|＝0，即x＝0，
{ y=a )
把x＝0代入方程组得： ，
−y=1
解得：a＝y＝﹣1，
故答案为：﹣1
【知识点5 三元一次方程组的概念与解】
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未
知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程
组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
【题型7 三元一次方程组的概念与解】
【例1】下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
{
x−y=1
)
A． 3−xy−z=6
2x−y+z=0
{x2−3z=1)
B． y−z=5
2x+z=0
{x−z=0
)
C． y−z=2
x+ y=5{2x+ y=0
)
D． a+4b=2
x+b=5
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：A选项方程组中的方程3﹣xy﹣z＝6含有未知数﹣xy的项的次数为2，它不是三元一 次方
程组；
B选项方程组 中的方程 x2﹣3z＝1含有未知数x的项的次数为2，它不是三元一次方程 组；
C选项方程组中的每个方程都是整式方程，共含有三个未知 数，且含有未知数的项的次数都是1，它是
三元一次方程组；
D选项方程组中的未知数共有4个，它不是三元一次方程组．
故选：C．
{ 4x+3 y+z=7 )
【例2】已知x，y，z满足 ，则2x+y﹣z的值为（ ）
2x−3 y−13z=−1
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出 x＝1+2z，y＝1﹣3z，然后代入式子中进行计算即可解
答．
{ 4x+3 y+z=7① )
【解答】解： ，
2x−3 y−13z=−1②
①+②得：
6x﹣12z＝6，
x﹣2z＝1，
x＝1+2z，
把x＝1+2z代入①中得：
4（1+2z）+3y+z＝7，
4+8z+3y+z＝7，
9z+3y＝3，
y＝1﹣3z，
把x＝1+2z，y＝1﹣3z代入2x+y﹣z中得：
2（1+2z）+1﹣3z﹣z
＝2+4z+1﹣3z﹣z
＝3，
故选：B．【变式1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
{
x=5
)
A． x+ y=7
x+ y+z=6
{x+ y=3
)
B． y+z=4
z+x=2
{
4x−9z=17
)
C． 3x+ y+15z=18
x+2y+3z=2
{x+ y−z=5
)
D． xyz=1
x−3 y=2
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
{x+ y−z=5
)
【解答】解：下列方程组不是三元一次方程组的是 zyx=1 ，
x−3 y=2
故选：D．
{ x+ y+z=7 )
【变式2】已知实数x，y，z满足 ，则代数式3（x﹣z）+1的值是（ ）
4x+ y−2z=2
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
{ x+ y+z=7 ①)
【分析】将方程组 ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x
4x+ y−2z=2 ②
﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1，即可得到答案．
{ x+ y+z=7 ①)
【解答】解：方程组 ，
4x+ y−2z=2 ②
②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，
整理得：3（x﹣z）＝﹣5，
把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1得：
﹣5+1＝﹣4，
即代数式3（x﹣z）+1的值是﹣4，
故选：B．
{ x−y+4z=1 )
【变式3】若实数x，y，z满足 ，则x+y+6z＝（ ）
x−2y+3z=3
A．﹣3 B．0C．3 D．不能确定值
【分析】把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
{ x−y=1−4z① )
【解答】解： ，
x−2y=3−3z②
①﹣②得：y＝﹣z﹣2，
把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z，
解得：x＝﹣1﹣5z，
把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3．
故选：A．
【知识点6 解二元（三元）一次方程组】
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变
y=ax+b x=ay+b
成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y（或x），得到一
个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有
一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两
个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
3.解三元一次方程组的一般过程：①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，
得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【题型8 解二元（三元）一次方程组】
【例1】解下列方程组：
{ y=x+3 )
（1） ；
7x+5 y=9
{x−1
−
y−1
=1)
（2） 3 6 ．
2x+ y=13
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{ y=x+3① )
【解答】解：（1） ，
7x+5 y=9②
把①代入②得：7x+5x+15＝9，
1 1
即x=− ，把x=− 代入①，
2 2
5
得：y= ，
2
1
{x=− )
2
则方程组的解为 ；
5
y=
2
{2x−y=7①)
（2）方程组化简为 ，
2x+ y=13②
①+②得：4x＝20，
解得x＝5，
把x＝5代入②，得：10+y＝13，
解得y＝3，{x=5)
则方程组的解为 ．
y=3
{
x+ y+2z=7
)
【例2】解方程组： 2x+ y+z=9 ．
x−2y−z=−2
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
{
x+ y+2z=7①
)
【解答】解： 2x+ y+z=9② ，
x−2y−z=−2③
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，
即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x＝3，y＝2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，
{x=3
)
∴原方程组的解为： y=2 ．
z=1
【变式1】解下列方程组：
{3x+2y=120)
（1） ；
y=3x+6
{ 3x+ y=22 )
（2） ．
4(x+ y)−5(x−y)=2
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
{3x+2y=120①)
【解答】解：（1） ，
y=3x+6②
将②代入①得：3x+2（3x+6）＝120，
解得：x＝12，
将x＝12代入②得：y＝36+6＝42，{x=12)
故原方程组的解为 ；
y=42
{3x+ y=22①)
（2）原方程组整理得 ，
−x+9 y=2②
①+②×3得：28y＝28，
解得：y＝1，
将y＝1代入②得：﹣x+9＝2，
解得：x＝7，
{x=7)
故原方程组的解为 ．
y=1
【变式2】解下列方程组：
{4x−3 y=5)
（1） ；
2x+ y=5
{ x+ y + x−y =6 )
（2） 2 3 ．
4(x−y)=3(x+ y)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
{5x+ y=36)
（2）先把原方程组整理为 ，然后再利用代入消元法解方程组即可．
x−7 y=0
{4x−3 y=5①)
【解答】解：（1） ，
2x+ y=5②
②×3，得6x﹣3y＝15③，
①+③，得10x＝20，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得2×2+y＝5，
解得：y＝1，
{x=2)
∴方程组的解为 ；
y=1
{ x+ y + x−y =6 )
（2） 2 3 ，
4(x−y)=3(x+ y)
{5x+ y=36①)
整理，得 ，
x−7 y=0②由②，得x＝7y③，
把③代入①，得5×7y+y＝36，
解得：y＝1，
∴x＝7×1＝7，
{x=7)
∴方程组的解为 ．
y=1
3 1
【变式3】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x= 与x= 时，y的值
2 3
相等．求a、b、c的值．
【分析】将x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值即可．
{a+b+c=−2①
)
【解答】解：根据题意得： a−b+c=20② ，
11a+6b=0③
①﹣②得：2b＝﹣22，即b＝﹣11，
将b＝﹣11代入③得：a＝6，
将a＝6，b＝﹣11代入①得：c＝3，
则a＝6，b＝﹣11，c＝3．
【题型9 换元法解方程组】
【例1】若方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=1)
，则方程组
{3a
1
x+2b
1
y=3c
1
)
的解是（ ）
a x+b y=c y=2 3a x+2b y=3c
2 2 2 2 2 2
1 2
{x= ) {x= )
2 3
A． B．
2 1
y= y=
3 2
{x=1) {x=3)
C． D．
y=3 y=1
2y
{a
1
×x+b
1
×
3
=c
1
)
{
x=1
)
【分析】将方程组变形为 ，进而可得到 2y ，求解即可．
2y =2
a ×x+b × =c 3
2 2 3 2
{3a x+2b y=3c
)
1 1 1
【解答】解：方程组 ，
3a x+2b y=3c
2 2 22y
{a ×x+b × =c )
1 1 3 1
变形为 ，
2y
a ×x+b × =c
2 2 3 2
{
x=1
)
∴由题意知， 2y ，
=2
3
{x=1)
解得： ．
y=3
故选：C．
【变式 1】已知关于 x，y 的方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=2.1)
，则关于 x，y 的方程组
a x+b y=c y=4.5
2 2 2
{a (x−2)+5b y=2c )
1 1 1
的解是（ ）
a (x−2)+5b y=2c
2 2 2
{x=4.1) {x=4.2)
A． B．
y=1.8 y=4.5
{x=6.2) {x=6.2)
C． D．
y=1.8 y=3
【分析】根据方程组的解的定义去构造方程组，解答即可．
{a (x−2)+5b y=2c )
1 1 1
【解答】解：∵ ，
a (x−2)+5b y=2c
2 2 2
x−2 5 y
{a ( )+b ( )=c )
1 2 1 2 1
∴ ，
x−2 5 y
a ( )+b ( )=c
2 2 2 2 2
x−2
{x = )
0 2 {a x+b y=c )
1 1 1
∴ 是方程组 的解，
5 y a x+b y=c
y = 2 2 2
0 2
{a
1
x+b
1
y=c
1
) {x=2.1)
∵ 的解是 ，
a x+b y=c y=4.5
2 2 2{x =2.1
)
0
∴ ，
y =4.5
0
{x=6.2)
∴ ，
y=1.8
{a
1
(x−2)+5b
1
y=2c
1
) {x=6.2)
故 的解为 ，
a (x−2)+5b y=2c y=1.8
2 2 2
故选：C．
{5x+3ay=16) {x=6)
【变式 2】若关于 x，y 的方程组 （其中 a，b 是常数）的解为 ，则方程组
−bx+4 y=15 y=7
{5(x+1)+3a(x−2y)=16)
的解为（ ）
−b(x+1)+4(x−2y)=15
{x=6) { x=5 )
A． B．
y=7 y=−1
{x=5) {x=5.5)
C． D．
y=1 y=−1
{ x+1=6① )
【分析】根据题意得到关于x，y的二元一次方程组 ，解方程组即可求解．
x−2y=7②
{ x+1=6① )
【解答】解：依题意有 ，
x−2y=7②
解①得x＝5，
把x＝5代入②得5﹣2y＝7，解得y＝﹣1．
{5(x+1)+3a(x−2y)=16) { x=5 )
故方程组 的解为 ．
−b(x+1)+4(x−2y)=15 y=−1
故选：B．
{ax+by=3) {x=−5)
【 变 式 3 】 已 知 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 为 ， 且
cx+dy=4 y=1
{a(3m+n)+b(m+3n)=3)
，则（m+n）2025的值为 ．
c(3m+n)+d(m+3n)=4
{3m+n=−5)
【分析】由题意得出 ，据此知m+n＝﹣1，再代入计算即可．
m+3n=1{3m+n=−5)
【解答】解：由题意知， ，
m+3n=1
则4m+4n＝﹣4，
∴m+n＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【题型10 解方程组中的同解与错解问题】
{2x+5 y=−26) {3x−5 y=36)
【例1】关于x、y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
ax−by=−4 bx+ay=−8
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2024的值．
【分析】（1）将两个不含参数的方程组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）将两个含参数的方程组成方程组，将（1）中的解代入，两个方程相减后，求出2a+b的值，进一
步求出代数式的值即可．
{2x+5 y=−26)
【解答】解：（1）联立 ，
3x−5 y=36
{ x=2 )
解得： ，
y=−6
{ x=2 )
∴这两个方程组的相同解为 ．
y=−6
{ax−by=−4) { x=2 )
（2）联立 ，将 代入，得：
bx+ay=−8 y=−6
{2a+6b=−4①)
，
2b−6a=−8②
①﹣②，得：8a+4b＝4，
∴2a+b＝1，
∴（2a+b）2024＝1．
{ax+5 y=15) {x=−3)
【例2】在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ．乙看错
4x−by=−2 y=−1
{x=5)
了方程组中的b，而得解为 ．
y=4
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么；
（2）求出原方程组的正确解．{x=−3) {x=5)
【分析】（1）将 代入方程组可求得错a和正确的b，将 代入方程组可求得错b和正确
y=−1 y=4
的a；
（2）然后将正确的a、b的值代入求解即可．
{x=−3) { −3a−5=15 ) { a =− 20 )
【解答】解：（1）将 代入原方程组得 解得 错 3 ．
y=−1 4×(−3)+b=−2
b=10
{x=5) {5a+20=15
)
{a=−1
)
将 代入原方程组得 ，解得 11 ，
y=4 20−4b=−2 b =
错 2
20 11
∴甲把a看成− ，乙把b看成了 ．
3 2
{ −x+5 y=15 )
{x=14
)
（2）由（1）可知原方程组中a＝﹣1，b＝10．故原方程组为 ，解得 29 ．
4x−10 y=−2 y=
5
{ax+5 y=15①) {x=−3)
【变式1】乐乐，果果两人同解方程组 时，乐乐看错了方程①中的a，解得 ，
4x=by−2② y=−1
果果看错了方程②中的b，解得
{x=5)
，求a2024+(−
b
)
2025
的值．
y=4 10
{x=−3) {x=5)
【分析】把 代入②得出﹣12＝﹣b﹣2可求出b，把 代入①得出5a+20＝15可求出a，
y=−1 y=4
然后再代入求代数式的值即可．
{x=−3)
【解答】解：根据题意可知，把 代入②，
y=−1
得﹣12＝﹣b﹣2，
解得：b＝10，
{x=5)
把 代入①，
y=4
得5a+20＝15，
解得：a＝﹣1，
10 2025
∴原式=(−1) 2024+(− )
10
＝1﹣1
＝0．{mx+2ny=4) { x−y=4 )
【变式2】已知关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=2 nx+(m−1)y=3
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值．
【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3，再化简，即可求出a的值．
{x+ y=2)
【解答】解：（1）由题意可得： ，
x−y=4
{ x=3 )
解得 ；
y=−1
{ x=3 ) { 3m−2n=4 )
（2）将 代入含有m，n的方程得 ，
y=−1 3n−(m−1)=3
16
{m= )
7
解得 ；
10
n=
7
{ x=3 )
（3）将 代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3，
y=−1
得（3﹣a）×3+（2a+1）×（﹣1）＝3，
解得：a＝1．
【知识点7 二元一次方程组解决实际问题】
①设:弄清题意和题目中的数量关系,设出未知数;
②找:找出题目中的两个等量关系:
③列:根据找出的两个等量关系列出方程组;
④解:解方程组;
⑤检:检验所得的解是不是方程组的解,检验是否符合题意;
⑥答:写出答案(包括单位).
【题型11 二元一次方程组的应用】
【例1】如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影
部分的面积是（ ）A．16 B．44 C．96 D．140
{x−2y+ y=6)
【分析】设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，根据图示可以列出方程组 ，然后解
x+3 y=14
这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，
{x−2y+ y=6)
依题意得 ，
x+3 y=14
{x=8)
解之得 ，
y=2
∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，
∴S阴影部分 ＝S四边形ABCD ﹣6×S小长方形 ＝14×10﹣6×2×8＝44cm2，
故选：B．
9 2
【例2】甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经 小时相遇．如果甲比乙先出发 小
5 3
3
时，那么在乙出发后经 小时两人相遇．则甲的速度为（ ）千米/小时．
2
A．2 B．4.5 C．5 D．5.5
9
【分析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据相向而行，经 小时相遇；如果甲比
5
2 3
乙先出发 小时，那么在乙出发后经 小时两人相遇；列出二元一次方程组，解方程组即可．
3 2
【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
9
{ (x+ y)=18 )
5
由题意得： ，
2 3
x+ (x+ y)=18
3 2{x=4.5)
解得： ，
y=5.5
即甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为5.5千米/小时，
故选：B．
【例3】《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，
大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个
馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
{
x+ y=100
)
A． 1
3x+ y=100
3
{
x+ y=100
)
B． 1
x+3 y=100
3
{ x+ y=100 )
C．
3x+ y=100
{
x+ y=100
)
D． 1
x+ y=100
3
【分析】根据题意列方程组即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
{
x+ y=100
)
由题意得： 1 ，
3x+ y=100
3
故选：A．
【变式1】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看
见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一
个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽﹣一个长＝3，于是得方程组，解出即可．
【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
{ 3x=5 y )
得 ，
2y−x=3
{x=15)
解得： ．
y=9
9×15＝135（mm2）．
故选：B．
【变式2】某工厂有m名工人，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件，其中某产品每套由4
个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的
零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则m的值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】设安排x名工人加工A型零件，则安排（m﹣x）名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正
好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论．
【解答】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排m﹣x名工人加工B型零件，
{ 3×6x=4×3(m−x) )
根据题意得： ，
50×[6x+3(m−x)]=1200×(3+4)
{5x=2m
)
整理得： ，
x+m=56
{x=16)
解得： ，
m=40
则工厂有40名工人，
故选：B．
【变式3】2025年亚足联U﹣20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一，比赛于2025年2月12
日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛
制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得一1分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5
场总共得14分，那么该队负了（ ）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
【分析】设该队负了x场，平了y场，根据星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，列出
二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该队负了x场，平了y场，{ x+ y+5=10 )
根据题意得： ，
3×5+ y−x=14
{x=3)
解得： ，
y=2
即该队负了3场．
故选：B．
【变式4】《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容
几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为
2斛．问大、小容器的容量各是多少斛？”（ ）
1 1 13 7
A．5、3 B．2、1 C． 、 D． 、
2 6 24 24
【分析】设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，
{5x+ y=3)
由题意得， ，
x+5 y=2
13
{x= )
24
解得 ．
7
y=
24
故选：D．
【变式5】已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为 20km/h，下
坡时速度为35km/h，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小
时，那么甲乙两地的公路长（ ）
A．300km B．210km C．200km D．150km
【分析】设从甲地到乙地的上坡路长x km，下坡路长y km，利用时间＝路程÷速度，结合汽车往返甲
x+ y x+ y
乙两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，将两方程相加后可得出 + =16.5，解
20 35
之即可得出（x+y）的值，此题得解．
【解答】解：设从甲地到乙地的上坡路长x km，下坡路长y km，x y
{ + =9①)
20 35
根据题意得： ，
x y
+ =7.5②
35 20
x+ y x+ y
①+②得： + =16.5，
20 35
∴（7+4）（x+y）＝16.5×140，
∴x+y＝210，
∴甲乙两地的公路长210km．
故选：B．
【题型12 二元一次方程组的应用（方案选择）】
【例1】【问题情景】
南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看
着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租
赁方案．
【调研发现】
市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型
采摘设备每小时采摘沃柑的数量的 2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑 28
亩．
【解决问题】
（1）设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩．
请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑 亩；
3台小型采摘设备每小时采摘沃柑 亩．
（2）大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？
（3）由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两
种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满 10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设
备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案．
【分析】（1）利用2台大型采摘设备每小时采摘沃柑的亩数＝1台大型采摘设备每小时采摘沃柑的亩数
×2，可用含x的代数式表示出2台大型采摘设备每小时采摘沃柑的亩数；利用 3台小型采摘设备每小时
采摘沃柑的亩数＝1台小型采摘设备每小时采摘沃柑的亩数×3，可用含y的代数式表示出3台小型采摘
设备每小时采摘沃柑的亩数；（2）根据“一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的 2
倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩”，可列出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
（3）根据租用的两种采摘设备10小时正好采摘320亩，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n
均为正整数，即可得出各租赁方案．
【解答】解：（1）∵一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y
亩，
∴2台大型采摘设备每小时采摘沃柑2x亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑3y亩．
故答案为：2x，3y；
{ x=2y )
（2）根据题意得： ，
2x+3 y=28
{x=8)
解得： ．
y=4
答：一台大型采摘设备每小时采摘沃柑8亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑4亩；
（3）根据题意得：8×10m+4×10n＝320，
∴n＝8﹣2m，
又∵m，n均为正整数，
{m=1) {m=2) {m=3)
∴ 或 或 ，
n=6 n=4 n=2
∴共有3种租赁方案，
方案1：租用大型采摘设备1台，小型采摘设备6台；
方案2：租用大型采摘设备2台，小型采摘设备4台；
方案3：租用大型采摘设备3台，小型采摘设备2台．
【变式1】项目化学习
项目主题：确定最省钱的租车方案
项目背景：为迎接“七•一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往武乡革命纪
念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．
数据收集：
①七八年级师生共485人，交通费支出预算为9000元．
②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55
个座位．
③下表是该公司租车记录单上的部分信息：租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用
3 2 3800
1 3 3600
问题解决：利用以上数据完成下列问题．
（1）根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．
（2）该学校本次研学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租
车方案．
（3）是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案，并说明理由；如果不存在，
请计算至少要追加多少预算金额．
【分析】（1）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，根据公司租车记
录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485 人，可列出关
于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）求出各租车方案所需总租金，将其与9000比较作差后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，
{3x+2y=3800)
根据题意得： ，
x+3 y=3600
{ x=600 )
解得： ，
y=1000
∴每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元；
（2）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车，
根据题意得：25m+55n＝485，
97−11n
∴m= ，
5
又∵m，n均为非负整数，
{m=15) {m=4)
∴ 或 ，
n=2 n=7
∴共有2种租车方案，
方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；
方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车；
（3）有，方案为：租用B型客车9辆，理由如下：
∵55×9＝495＞485，1000×9＝9000，∴符合预算．
【变式2】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上
涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．
购进的台数 购进所需要
的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
（1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
（2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为 2800元，第二次
购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得
的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【分析】（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由表中数据列出二元
一次方程组，解方程组即可；
（2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意：第一次购进的台灯全部售出
后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．列出二元一次方程
组，解方程组即可；
②设购进A型台灯a台，B型台灯B台，由题意：想使获得的利润为1000元，列出二元一次方程，求
出自然数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
{ 10x+20 y=3000 )
由题意得： ，
15(1+30%)x+10(1+20%)y=4500
{x=200)
解得： ，
y=50
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
（2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
{ 10(m−200)+20(n−50)=2800 )
由题意得： ，
15[m−200(1+30%)]+10[n−50(1+20%)=1800]
{m=340)
解得： ，
n=120答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：200（1+30%）＝260（元），B型台灯的价格为：50（1+20%）＝
60（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯B台，
由题意得：（340﹣260）a+（120﹣60）b＝1000，
整理得：4a+3b＝50，
∵a、b为自然数，
{a=2
)
{a=5
)
{a=8) {a=11)
∴ 或 或 或 ，
b=14 b=10 b=6 b=2
∴有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8
台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
【变式3】某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2
的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．
（1）根据题意可列出以下表格：
1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器
长方形铁片的数量 4张 a张
正方形铁片的数量 b张 2张
则a＝ ，b＝ ；
（2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片
刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
（3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店
老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选
择？
【分析】（1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖
容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论；（2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片
和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方
程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）∵制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖
容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片，
∴a＝3，b＝1．
故答案为：3，1；
（2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，
{4x+3 y=170)
根据题意得： ，
x+2y=80
{x=20)
解得： ．
y=30
答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器；
（3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，
根据题意得：50m+60n＝800，
6
∴m＝16− n，
5
又∵m，n均为正整数，
{m=10) {m=4)
∴ 或 ，
n=5 n=10
∴共有2种方案可供选择，
方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；
方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器．
【变式4】根据如表素材，探索解决任务．
新年礼盒生产方案的设计
素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．
素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；
乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．
问题解决
任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各
生产多少万套？
任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为 368万
元，请问该工厂有几种生产方案？
任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．
【分析】（任务1）设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套，根据该工厂计划筹集资金1540万元用于
生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务2）利用总利润＝每套的销售利润×销售数量（生产数量），可列出关于m，n的二元一次方程，
结合m，n均为正整数，可得出该工厂有2种生产方案；
（任务3）由（任务2）中m，n的值，可求出42+m及28+n的值，进而可得出各可行的生产方案．
【解答】解：（任务1）设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套，
{ x+ y=70 )
根据题意得： ，
20x+25 y=1540
{x=42)
解得： ．
y=28
答：甲礼盒生产42万套，乙礼盒生产28万套；
（任务2）根据题意得：（24﹣20）（42+m）+（30﹣25）（28+n）＝368，
5
∴m＝15− n，
4
又∵m，n均为正整数，
{m=10) {m=5)
∴ 或 ，
n=4 n=8
∴该工厂有2种生产方案；
（任务3）当m＝10，n＝4时，42+m＝42+10＝52（万套），28+n＝28+4＝32（万套），
当m＝5，n＝8时，42+m＝42+5＝47（万套），28+n＝28+8＝36（万套），
∴该工厂有2种生产方案，
方案1：甲礼盒生产52万套，乙礼盒生产32万套；
方案2：甲礼盒生产47万套，乙礼盒生产36万套．
【题型13 二元一次方程组中多结论问题】
{x−y=3−4a)
【例1】已知关于x、y的二元一次方程组 ，给出下列结论：
x+2y=5a
1
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a=− ；
2
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2+4a的解；
③无论a取什么实数，3x+y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝5﹣3x．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】①解含有字母参数a的二元一次方程组，求出x，y，然后根据方程组的解x，y互为相反数，
列出关于a的方程，求出a即可；
②把a＝1代入已知条件中的方程组，解方程组，求出x，y，再把x，y代入方程x+y＝2+4a的左右两
边，通过计算进行判断即可；
③解含有字母参数a的二元一次方程组，求出x，y，然后代入3x+y，通过计算进行判断即可；
④根据③中所求得3x+y的值，把y用x表示出来即可．
{x−y=3−4a①)
【解答】解： ，
x+2y=5a②
②﹣①得：3y＝9a﹣3，
y＝3a﹣1，
把y＝3a﹣1代入②得：x＝﹣a+2，
∵这个方程组的解x、y的值互为相反数时，x+y＝0，
∴﹣a+2+3a﹣1＝0，
2a+1＝0，
2a＝﹣1，
1
解得：a=− ，
2
∴①的结论正确；
{x−y=3−4a)
当a＝1时，把a＝1代入关于x、y的二元一次方程组 得：
x+2y=5a
{x−y=−1①)
，
x+2y=5②
②﹣①得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝1，
{x=1)
∴方程组的解为： ，
y=2
当a＝1时，方程x+y＝2+4a为x+y＝6，
{x=1)
把 代入x+y＝6，左边＝3，右边＝6，左边≠右边，
y=2
∴当a＝1时，方程组的解不是方程x+y＝2+4a的解，∴②的结论错误；
{x−y=3−4a①)
∵ ，
x+2y=5a②
②﹣①得：3y＝9a﹣3，
y＝3a﹣1，
把y＝3a﹣1代入②得：x＝﹣a+2，
∴3x+y
＝3（﹣a+2）+3a﹣1
＝﹣3a+6+3a﹣1
＝5，
∴无论a取什么实数，3x+y的值始终不变，
∴③的结论正确；
∵由③得：3x+y＝5，
∴y＝5﹣3x，
∴④的结论正确；
综上可知：结论正确的序号为①③④，
故选：C．
{x−2y=2k
)
【变式1】已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k＝2时，方程组的解也是方程3x+y
2x+ y=k+1
＝5的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，3x+4y的值始终不变；④若2x+3y＝3，
则k＝8．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【分析】解二元一次方程组，用含k的代数式表示出x，y的值．
①代入k＝2，可得出3x+y＝5；
②将x，y值相加，可得出当k＝﹣3时，x+y＝0；
③将x，y的值代入3x+4y，可得出3x+4y＝2；
④结合2x+3y＝3，可得出关于k的一元一次方程，解之可得出k＝﹣8．
{x−2y=2k①)
【解答】解： ，
2x+ y=k+1②
4k+2
（方程①+方程②×2）÷5得：x= ，
54k+2 4k+2
将x= 代入方程①得： −2y＝2k，
5 5
−3k+1
解得：y= ．
5
4k+2 4×2+2 −3k+1 −3×2+1
①当k＝2时，x= = =2，y= = =−1，
5 5 5 5
∴3x+y＝3×2﹣1＝5，
∴当k＝2时，方程组的解也是方程3x+y＝5的解，结论①正确；
4k+2 −3k+1 k+3
②∵x+y= + = ，
5 5 5
k+3
∴当k＝﹣3时， =0，即x+y＝0，
5
∴存在实数k，使得x+y＝0，结论②正确；
4k+2 −3k+1
③∵3x+4y＝3× +4× =2，
5 5
∴不论k取什么实数，3x+4y的值始终不变，结论③正确；
④∵2x+3y＝3，
4k+2 −3k+1
∴2× +3× =3，
5 5
解得：k＝﹣8，
∴若2x+3y＝3，则k＝﹣8，结论④错误．
∴正确的结论有①②③．
故选：A．
{x+2y=5−2m)
【变式2】已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
x−y=4m−1
①当m＝1时，方程组的解也是x+y＝2m+1的解；
②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y均为正整数的解只有1对；
④若2x+y＝8，则m＝2．
正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】①把m＝1代入方程组，求出方程组的解，即可得出x+y的值，然后把m＝1代入方程x+y＝
2m+1中得出x+y的值，比较即可；②解方程组得到x、y的值，然后求出x+y的值，如果x+y的值为0，则x，y互为相反数，否则不是；
③根据②中x+y＝3即可得出方程组的正整数解，从而判断即可；
④①+②得到2x+y＝4+2m，结合2x+y＝8即可求出m的值．
{x+2y=5−2m) {x+2y=3)
【解答】解：①当m＝1时，关于x，y的方程组 为 ，
x−y=4m−1 x−y=3
{x=3)
解得 ，
y=0
∴x+y＝3，
当m＝1时，x+y＝2m+1＝3，
∴当m＝1时，方程组的解也是x+y＝2m+1的解，正确；
{x+2y=5−2m①)
② ，
x−y=4m−1②
①﹣②得，3y＝6﹣6m，
解得y＝2﹣2m，
把y＝2﹣2m代入②得，x＝2m+1，
∴x+y＝2m+1+2﹣2m＝3，
∴无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数，正确；
③由②得x+y＝3，
{x=1) {x=2)
∴原方程组的正整数解是 ， ，共2对，错误；
y=2 y=1
④①+②得，2x+y＝4+2m，
∵2x+y＝8，
∴4+2m＝8，
解得m＝2，正确；
∴正确的有①②④，
故选：C．
{2x−y=3k−2)
【变式3】已知关于x和y的方程组 （k为常数），得到下列结论：
2x+ y=4−k
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
7
④若x和y互为相反数，则k= ，其中正确的个数为（ ）
3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
{2x−y=3k−2①)
【解答】解：方程组 ，
2x+ y=4−k②
①+②×3得8x+2y＝10，即4x+y＝5，故①正确；
{2x−y=1)
若k＝1，则 ，
2x+ y=3
{x=1)
解得 ，
y=1
∴（2x﹣1）y＝1，故②正确；
{2x−y=3k−2①) { x=
k+1
)
解方程组 ，得 2 ，
2x+ y=4−k②
y=−2k+3
{
k+1
≥0 )
方程组有非负整数解时，有 2 ，
−2k+3≥0
∴﹣1≤k≤1.5，
∴k＝﹣1或1，故③不正确；
若x和y互为相反数，则x+y＝0，
k+1
∴ −2k+3＝0，
2
7
∴k= ，故④正确．
3
故选：C．
【题型14 二元一次方程组中新定义问题】
【例1】定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a．
（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 ；
{x=−1)
（2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ；
y=2
（3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”
组成的方程组的解恰好是关于 x，y的二元一次方程 mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p
（n+p）+2025的值．
【分析】（1）利用“变更方程”定义得出结果即可；（2）联立已知方程及“变更方程”得出方程组，求出解即可；
（3）利用“变更方程”定义列出方程组，根据a+b+c＝0求出方程组的解，把方程组的解代入二元一次
方程得到m+n＝﹣p，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3；
故答案为：4x+2y＝3；
（2）方程2x+3y＝4的“变更方程”为4x+3y＝2，
{2x+3 y=4①)
联立得： ，
4x+3 y=2②
②﹣①得：2x＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4，
解得：y＝2，
{x=−1)
则方程组的解为 ；
y=2
{x=−1)
故答案为： ；
y=2
（3）方程ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a，
{ax+by=c)
联立得： ，
cx+by=a
{
x=−1
)
解得： a+c ，
y=
b
∵a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，即y＝﹣1，
{x=−1)
∴把 代入方程mx+ny＝p得：m+n＝﹣p，
y=−1
则原式＝﹣pm﹣p（n+p）+2025
＝﹣p（m+n）﹣p2+2025
＝p2﹣p2+2025
＝2025．
【变式1】定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之
一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a或ax+cy＝
b．（1）方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方
程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求m+p+n+2024的值；
（3）已知m，n，t都是整数，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）
x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求9m﹣n的值．
【分析】（1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可；
（2）先求出ax+by＝c与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程mx+ny＝p，得到﹣
m﹣n＝p，然后代入计算即可；
{10m−t=2m+2)
{10m−t=1+n
)
（3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分 和 m+t=2023 两种
1+n=m+t
2m+2=2023
情况求解即可．
【解答】解：（1）根据“交换系数方程”的定义可知方程“3x+2y＝4”的交换系数方程为4x+2y＝3或
3x+4y＝2．
故答案为：4x+2y＝3或3x+4y＝2．
（2）当ax+by＝c的“交换系数方程”为ax+cy＝b时，
{ax+by=c) { x=
b+c
)
联立 ，解得： a ，
ax+cy=b
y=−1
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
{x=−1)
∴ ，
y=−1
当ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a时，
{ax+by=c) {
x=−1
)
联立 ，解得： a+c ，
cx+by=a y=
b
由条件可知b+c＝﹣a，
{x=−1)
∴ ．
y=−1
{x=−1)
综上：ax+by＝c与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为 ．
y=−1
{x=−1)
把 代入方程mx+ny＝p得：﹣m﹣n＝p，即p+m+n＝0，
y=−1∴m+p+n+2024＝0+2024＝2024．
{10m−t=2m+2)
{10m−t=1+n
)
（3）由条件可知 或 m+t=2023 ，
1+n=m+t
2m+2=2023
t+2
{m= )
{10m−t=2m+2) { 8m=2+t ) 8
①当 时，整理得： ，解得： ；
1+n=m+t m−n=1−t 9t−6
n=
8
9t+18−9t+6
9m﹣n= =3；
8
2021
{10m−t=1+n
)
{m=
2
)
②当 m+t=2023 时，解得： ，
18183
2m+2=2023 n=
2
∵m，n为整数，
故不符合题意；
综上：9m﹣n＝3．
【变式2】对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣
1，2 1＝4． ⊗
（1）⊗求a，b的值；
（2）若x*y+x y＝10，求x的值；
⊗ {x∗y=8+m)
（3）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值；
x⊗y=5m
（4）若关于 x，y 的方程组
{a
1
x∗b
1
y=c
1
)
的解为
{x=12)
，直接写出关于 x，y 的方程组
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{4a (x+ y)∗5b (x−y)=3c )
1 1 1
的解．
4a (x+ y)⊗5b (x−y)=3c
2 2 2
【分析】（1）利用新定义列出关于a、b方程组，解方程组求出a、b的值．
（2）将a、b的值代入x*y+x y＝10转化为x的一元一次方程，解方程求出x的值．
{x∗⊗y=8+m)
（3））将a、b的值代入 ，得出关于x、y的方程组，消去m，再与x﹣y＝6组成新的方
x⊗y=5m程组，求出x、y的值，再求出m即可．
（4）将
{x=12)
代入
{a
1
x∗b
1
y=c
1
)
得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解．
y=5 a x⊗b y=c
2 2 2
⊗
【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2 1＝4，
{3a+2b=−1) ⊗
∴ ．
2a−b=4
{ a=1 )
∴ ．
b=−2
（2）由题意，∵x*y+x y＝10，
∴ax+by+ax﹣by＝10．⊗
∴2ax＝10．
又∵a＝1，
∴x＝5．
{x∗y=8+m) {x−2y=8+m)
（3）由题意，方程组 可化为 ，
x⊗y=5m x+2y=5m
{x=4+3m)
∴ ．
y=m−2
又∵x﹣y＝6，
∴4+3m﹣m+2＝6．
∴m＝0．
{a x∗b y=c
)
{a x−2b y=c
)
（ 4 ） 由 题 意 ， ∵ 方 程 组 1 1 1 可 化 为 1 1 1 ， 而 方 程 组
a x⊗b y=c a x+2b y=c
2 2 2 2 2 2
{4a (x+ y)∗5b (x−y)=3c ) {4a (x+ y)−10b (x−y)=3c )
1 1 1 1 1 1
可化为 ，
4a (x+ y)⊗5b (x−y)=3c 4a (x+ y)+10b (x−y)=3c
2 2 2 2 2 2
4 5
{a ⋅ (x+ y)−2b ⋅ (x−y)=c )
1 3 1 3 1
即 ，
4 5
a ⋅ (x+ y)+2b ⋅ (x−y)=c
2 3 2 3 2
{a
1
x∗b
1
y=c
1
) {x=12)
又方程组 的解为 ，
a x⊗b y=c y=5
2 2 24
{ (x+ y)=12)
3
∴ ．
5
(x−y)=5
3
{x=6)
∴ ．
y=3
{4a
1
(x+ y)∗5b
1
(x−y)=3c
1
) {x=6)
∴方程组 的解为 ．
4a (x+ y)⊗5b (x−y)=3c y=3
2 2 2
【变式3】规定：形如关于x、y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中
{x+ky=b)
k≠1；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组．
kx+ y=b
（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 ；
{ x+(1−a)y=b+2 )
（2）若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则a＝ ，b＝ ；
(2a−2)x+ y=4−b
（3）若方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
x ﹣1 0
y 0 2
{2023x+2024 y=8094)
（4）拓展：求共轭方程组 的解．
2024x+2023 y=8094
【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义解答；
（2）由题意得1﹣a＝2a﹣2，b+2＝4﹣b，解方程即可得到答案；
（3）将x与y的对应值代入x+ky＝b中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
b
{x= )
{mx+ny=b①) m+n
（4）用加减消元法解方程组 得到 ，据此可得答案．
nx+my=b② b
y=
m+n
【解答】解：（1）由题意得，方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是x+3y＝5，
故答案为：x+3y＝5；
{ x+(1−a)y=b+2 )
（2）∵关于x、y的方程组 为共轭方程组，
(2a−2)x+ y=4−b∴1﹣a＝2a﹣2，b+2＝4﹣b，
∴a＝1，b＝1．
故答案为：1；1；
{b=−1)
（3）由题意得 ，
2k=b
{b=−1
)
∴ 1 ，
k=−
2
1
∴原方程为x− y=−1，
2
1 1
∴方程x− y=−1的共轭二元一次方程是− x+ y=−1．
2 2
1
故答案为：− x+ y=−1；
2
{mx+ny=b①)
（4） ，
nx+my=b②
b
①×n﹣②×m得：（n2﹣m2）y＝b（n﹣m），解得y= ，
m+n
b nb b
把y= 代入①得：mx+ =b，解得x= ，
m+n m+n m+n
b
{x= )
m+n
∴方程组的解为 ，
b
y=
m+n
8094
{x= =2)
{2023x+2024 y=8094) 2023+2024
∴共轭方程组 的解是 ．
2024x+2023 y=8094 8094
y= =2
2023+2024
故答案为：．
