文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷03·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. （﹣∞，﹣ 7] ∪ [5 ， +∞ ） ．2. 7 3. ﹣2 4. ．5. 2 6.
7. ﹣ 1 8. ， 9. 5 ．10. ﹣ 120 11. ．12. 1
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
D A B C
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）（1）证明：如图，连接AC，交于BD于O点，连接EO，易知O为AC中点．
∵E为PA的中点，∴EO∥PC．∵EO 平面BED，PC 平面BED，
∴PC∥平面BED． ⊂ ⊄
（2）解：因为E是PA的中点，所以V ＝V ＝ V ＝ V ．
三棱锥P﹣BCE 三棱锥C﹣PEB 三棱锥C﹣PAB 三棱锥B﹣APC
∵∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，
又因为PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD，
∴ ，
又 ，即PO⊥AC，
故 ．
∵底面ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
又O为等边三角形PBD的边BD的中点，故BO⊥PO，
而PO∩AC＝O，PO，AC 平面APC，
∴BO⊥平面APC． ⊂
∴ ．
（3）解：如图，过点A作AM⊥PB，垂足为M，连接CM．
∵PO⊥AC，O为AC中点，∴PA＝PC．又AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．
∴AM＝CM，CM⊥PB，故∠AMC为二面角A﹣PB﹣C的平面角．
∵ ，
由 ，得 ．
∵ ，
在△AMC中， ，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ．
18．（14分）解：（1）f（x）＝ 为偶函数，
证明：f（x）＝ ，其定义域为{x|x≠±2}，
f（﹣x）＝ ＝f（x），故f（x）为偶函数；
（2）f（x）＝ 在（2，+∞）上的单调递增，
证明：设2＜x ＜x ，则f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝ ，
1 2 1 2
由于2＜x ＜x ，则有f（x ）﹣f（x ）＜0，
1 2 1 2
则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（3）函数f（x）的图象如图：
19．（14分）解：（1）掷2次骰子，掷出1次偶数的概率为 ，
掷4次骰子，掷出2次偶数的概率为 ，
所以n＝1更有利于顾客获得红包．
（2）（ⅰ）当n＝2时，记顾客获得的消费券为X元，X可取10，50，100．
当掷出2次偶数时，2次奇数时，X＝50，所以P（X＝50）＝ ；
当掷出4次偶数，或者3次偶数1次奇数时，X＝100，所以P（X＝100）＝（ ）4+
＝ ；
当掷出4次奇数，或者3次奇数1次偶数时，X＝10，所以P（X＝10）＝（ ）4+ ＝
，
所以随机变量X的数学期望是50× +100× +10× ＝ ．
（ⅱ）掷出偶数的次数等于奇数的概率为 ＝ ，又掷到奇数和偶数的概率各
为 ，所以掷出偶数的次数多于奇数的概率等于掷出偶数的次数少于奇数的概率，所以 P ＝ （1﹣ ）
n
＝ ﹣ ．
20．（18分）解：（1）由对称性可知：∠BFD＝90°，FS＝BS＝DS＝p，
设A（x ，y ），由焦半径可得： ，
A A
，
解得：p＝2，
圆F的方程为：x2+（y﹣1）2＝8．
（2）由题意得：直线PQ的斜率一定存在，其中 ，
设 关于直线PQ的对称点为T（m，n），
则 ，解得： ，
联立y＝kx+b与x2＝2py得：x2﹣2pkx﹣2pb＝0，
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
则x +x ＝2pk，x x ＝﹣2pb，
1 2 1 2
则 ，
则 ，
﹣2pb（1+k2）+2pk2b+b2＝﹣2pb+b2＝0，
解得：b＝0（此时O与P或Q重合，舍去）或b＝2p，
所以＝ ∈（p，4p]．
21．（18分）解：（1） ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以函数f （x）在点（1，f （1））处的切线方程为 ，即 ；
3 3
（2）证明：对每个n∈N*，当x＞0时，
由函数 ，
可得 ，
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f （1）＝0，当n≥2时， ，即f （1）＞0．
1 n
又 ＝ ，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 ，满足f （x ）＝0；
n n
（3）证明：对于任意p∈N*，由（1）中x 构成数列{x }，当x＞0时，
n n
∵ ，
∴f （x ）＞f （x ）＝f （x ）＝0．
n+1 n n n n+1 n+1
由f （x）在（0，+∞）上单调递增，
n+1
可得x ＜x ，即x ﹣x ＞0，
n+1 n n n+1
故数列{x }为减数列，
n即对任意的n、p∈N*，x ﹣x ＞0．
n n+p
由于 ①，
②，
用①减去②并移项，利用0＜x ≤1，可得
n+p
．
综上可得，对于任意p∈N*，由（1）中x 构成数列{x }满足 ．
n n
