黄金卷04-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）（参考答案）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用） 黄金卷04·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D D C A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9 10 11 12 ABC BD ACD BD 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．10 14． 15． 或 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（10分） 【解析】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ， 即 ， 解得 或 ． 因为 ，所以 ， 所以 ． （2）由（1）得所以 ， 所以 ， ， 所以数列 的前2n项的和 ． 18．（12分） 【解析】（1） 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， ∴ 的分布列如下： 0 1 2 3 P ． （2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，． 19．（12分） 【解析】（1）由正弦定理边化角可得， ， 整理可得， . 因为 ， ， 所以有 ， 所以 . 因为 ，所以 . （2） 设 ，则 ， 在 中，有 . 在 中，有 . 又 ，所以 ， 所以有 . 又 ，所以 .在 中，由余弦定理可得 . 又 ， ， ， 所以有 . 联立 ，解得 ，所以 ， 所以， . 20．（12分） 【解析】（1）取 的中点D，连接MD， ． 在 中，M，D分别是 ， 的中点，所以 ，且 ． 又 ，故 ，所以点 四点共面． 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，故 ， 在正△ABC中，M是BC的中点， 故AM⊥BC，故 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ． （2）法一：因为 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ， 以A为坐标原点， 所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz． 则 ， ， ， ． 所以 ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ， 取 ，则 ， ， 故平面 的一个法向量为 ． 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，则 ， ， 故平面 的一个法向量为 ．所以 ， 设二面角C1－A1B－C的大小为θ， 由图可知， ， 所以二面角 的余弦值为 ． 法二：连接 ，在平面 内，过点C作 ，垂足为H，连接DH． 在 中， ，D是 的中点，所以 ． 由（1）可知， ⊥平面 ， 平面 ，故 ． 又 ， 平面 ， 所以 ⊥平面 ． 因为 平面 ，所以 ⊥ ． 又 ⊥ ， ， 平面 ， 所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ． 所以 是二面角 的平面角． 在 中， ， ，所以 ， 据 ，得 ． 在Rt 中， ， ， 所以二面角C1－A1B－C的余弦值为 ． 21．（12分） 【解析】（1）设 ， ， ，因为 ，所以 ， 因为点 为椭圆 上的动点，所以 ，从而 即 ，故椭圆 的标准方程 ；（2） 法一：设 ， ， 当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 的方程为 ，即 ， ，即 ， 代入得直线 的方程为 联立 ，消去 得 注意到 化简得 又 ， 所以点 到直线 的距离为所以点 到直线 的距离为 故 当直线 的斜率不存在时，即 ，若 ，则： ， 则 ， ， ， ， 所以 同理可得，若 ， 综上，四边形 的面积为定值 ． 法二：设 ， ， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，注意到 化简得 ， 原点 到直线 的高为 ， 又因为 ，点 是 的中点，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离， 由对称性可知， ，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的三倍，故 ． 当斜率不存在时，同法一． 22．（12分） 【解析】（1）证明：由题意得，当 时， ， 故 ． （i）当 时， ，记 ， 则 ， 单调递增， ， 所以 ，即当 时， 无零点． （ii）当 时， ， ， 即当 时， 无零点．（iii）当 时， ． 因为 ，所以 ，即 单调递增． 又因为 ， ， 所以当 时， 存在唯一零点． 综上，当 时， 有且仅有一个零点． （2）易知 ，因此 恒成立，则在0的左侧邻域内， 是减函数，有 ，则 ． 因为 ， 所以 ，得 是 对任意 成立的必要条件． 下面证明充分性． 当 时， ，等价于 ． 令 ， ，即证 ． （i）当 时， ， ， 即 成立．（ii）当 时，记 ，则 ． 由 ，得 ，所以 ，即 单调递增， ，即 ， ，则 ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 因此 是 的最小值，即 ，所以 恒成立， 所以 ． 综上， ．