文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，则集合 ，
又 ，解得 ，则集合 ，所以 ，
由图可知阴影部分表示集合 .
故选：A.
2．已知 为坐标原点，复数 ， ， 分别表示向量 ， ， ，
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得， ，所以
又 ，所以 ，所以
则 .
故选：C.的
3．为了研究某班学生 脚长 （单位厘米）和身高 （单位厘米）的关系，从该班随机抽取 名学生，
根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知
， ， ．该班某学生的脚长为 ，据此估计其身高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知 ,
，
故选:C.
4．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知： 为奇函数，且定义域为 ，
对于A, ,故 为偶函数，不符合要求，舍去，
对于C， ,故 为偶函数，不符合要求，舍去，
对于B， ，故 不是奇函数，不符合要求，舍去，
故选：D
5．将甲桶中的 升水缓慢注入空桶乙中， 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 .假设过
后甲桶和乙桶的水量相等，若再等 min甲桶中的水只有 升，则 的值为（ ）A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
， ， ；
， ， ， ，解得 .
故选：D.
6．已知数列 满足 ， ,则 的前 项积的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】由 可知， ， ，亦可得： ，两式相除得：
， 即 ， 所 以 数 列 是 以 为 周 期 的 周 期 数 列 ， 由 得 ：
.
记数列 的前 项积为 ，结合数列的周期性，当 ，则 ，记
，为了让 越大，显然需考虑 为偶数，令 ，结合指数函数的单调性，则
，即 ；类似的 ，
.综上所述， 的前 项积的最大值为 .
故选：C.7．设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，
综上， .
故选：A.
8．已知双曲线 ，其一条渐近线方程为 ，右顶点为A，左，右焦
点分别为 ， ，点P在其右支上，点 ，三角形 的面积为 ，则当 取得最
大值时点P的坐标为（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】设 ，则由三角形 的面积为 可得 ，即
， 又 双 曲 线 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 故 ， 即 ， 故
，故 ，解得 ，故 ，双曲线 .
又由双曲线的定义可得 ，当且仅当 共线且 在
中间时取得等号.
此时直线 的方程为 ，即 ，联立 可得 ，解得
，由题意可得 在 中间可得 ，代入 可得 ，故
.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为17
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若随机变量 ，则方差
D. 若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数 ，则平均数和方差都会发生变化【答案】ABC
【解析】对于A选项，该组数据共 个数，且 ，
因此，该组数据 第 百分位数为 ，A对；
的
对于B选项，若随机变量 ，且 ，
则 ，B对；
对于C选项，若随机变量 ，则 ，C对；
对于D选项，在随机变量 的每个样本数据上都加个正数 ，
则得到的新数据对应的随机变量为 ，
由期望和方差的性质可得 ， ，
因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数 ，则平均数会改变，但方差不变，D错.
故选：ABC.
10．已知函数 满足 ，其图象向右平移
个单位后得到函数 的图象，且 在 上单调递减，则（ ）
A.
B. 函数 的图象关于 对称
.
C 可以等于4
D. 的最小值为2
【答案】BD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，则 是 的一个
周期，
因为 ，所以 是 的最小正周期，
故 ，则 ，又 ，故 ，故A错误；对于B，由选项A得 ，
所以 ，故 是 一个对称中心，故B正确；
的
对于C， 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则
，
因为 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，则 ，又 ，故 ，
当 时， ，可知 ，故D正确.
故选：BD.
的
11．已知 为坐标原点，点 为抛物线 ： 焦点，点 ，直线 ： 交抛物线
于 ， 两点（不与 点重合），则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 存在实数 ，使得
C. 若 ，则
D. 若直线 与 的倾斜角互补，则
【答案】ACD【解析】由已知，抛物线 ： ，∴ ， ，焦点 ，
不妨设为 ， ，设 ， 到准线的距离分别为 ， ，
对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右， ，
∴由抛物线的定义 ，故选项A正确；
对于B， 消去 ，化简得 （ ），
则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴不存在实数 ，使得 ，选项B错误；
对于C， ， ，
∵ ，∴ ，∴
又∵由选项B判断过程知 ， ，
∴解得 ， ， 或 ， ， ，
∴若 ，则 ，选项C正确；
对于D，由题意， ， ， ， ，
直线 与 的倾斜角互补时，斜率均存在，且 ，
∴ ，代入 ， ，化简得 ，由选项B的判断知， ，
∴ ，∴ ，故选项D正确.
故选：ACD.
12．已知函数 的定义域为 为 的导函数且
，若 为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于D， 为偶函数，则 ，
两边求导可得 ，则 为奇函数，
则 ，令 ，则 ， ，D对；
对于C，令 ，可得 ，则 ，C错；
对于B， ，可得 ，
可得 ，
两式相加可得 ，
令 ，即可得 ，B对；
又 ，
则 ，
，可得 ，
所以 是以 为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出 ，A不一定成立.
故选：BD
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中 的系数为______．
【答案】10
【解析】因为 的二项展开式的各项系数和为32，
.
令 得： ，解得 ，所以
通项公式为： ，
令 ，得： ，
所以 的系数为： .
故答案为：10
14．在平面直角坐标系 中，已知点 ，将线段 绕原点顺时针旋转 得到线段 ，则点B
的横坐标为____________.
【答案】
【解析】易知 在单位圆上，记终边在射线 上的角为 ，如下图所示：
根据三角函数定义可知， ；
绕原点顺时针旋转 得到线段 ，则终边在射线 上的角为 ，所以点B的横坐标为 .
故答案 ：
为
15．在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，圆 ： ，动点 在直线
上，过 点分别作圆 ， 的切线，切点分别为 ， ，若满足 的点 有且
只有 个，则实数 的值是______．
【答案】 或
【解析】由题意圆 ： ，则圆心 ， ，
圆 ： ，则圆心 ， ，设 ，
若 ， ， ，
则 ，
， ，
即 ，圆心坐标为 ，半径为 ，
动点 在直线 上，有且只有 个点 满足 ，
直线与圆 相切，
圆心到直线的距离 ， 或 ，
即实数 的值为 或
故答案为： 或
16．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值为
__________
【答案】
【解析】
该三棱锥的外接球O为 的中点，下证：
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ，即三棱锥的外接球球心为 的中点，球半径
.
的
点M在该三棱锥 外接球O的球面上运动，且满足 ，在△ 中，由正弦定理可得△
的外接圆的半径为 ，
球心 到平面 的距离为 ，
因为O为 的中点，所以 到平面 的距离为 ，
，
要使三棱锥 的体积最大，只需△ 的面积最大即可.
在△ 中由余弦定理可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
，
所以 .当且仅当 时, 三棱锥 的体积取到最大值 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知等差数列 的公差 ，且满足 ， ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 求数列 的前2n项的和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，
解得 或 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）得
所以 ，
所以，
，
所以数列 的前2n项的和 ．
18．（12分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评
价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，
70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评
获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有
的概率提升为A等级：原获C等级的学生有 的概率提升为B等级：原获D等级的学生有 的概率提
升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求
ξ的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．
【答案】（1）分布列见解析， （2）
【解析】（1） 的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
∴ 的分布列如下：
0 1 2 3P
．
（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，
．
19．（12分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求A；
（2）若点D在边BC上， ， ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理边化角可得， ，
整理可得， .
因为 ， ，
所以有 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）
设 ，则 ，
在 中，有 .
在 中，有 .又 ，所以 ，
所以有 .
又 ，所以 .
在 中，由余弦定理可得 .
又 ， ， ，
所以有 .
联立 ，解得 ，所以 ，
所以， .
20．（12分） 如图，在多面体 中， ， 平面 ， 是边长为
2的正三角形， ，点M是BC的中点， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）取 的中点D，连接MD， ．在 中，M，D分别是 ， 的中点，所以 ，且 ．
又 ，故 ，所以点 四点共面．
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 ，
在正 ABC中，M是BC的中点，
故AM△⊥BC，故 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
（2）法一：因为 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
以A为坐标原点， 所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．
则 ， ， ， ．
所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，则 ， ，
故平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，则 ， ，
故平面 的一个法向量为 ．
所以 ，
设二面角C －AB－C的大小为θ，
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由图可知， ，
所以二面角 的余弦值为 ．
法二：连接 ，在平面 内，过点C作 ，垂足为H，连接DH．
在 中， ，D是 的中点，所以 ．
由（1）可知， ⊥平面 ， 平面 ，故 ．
又 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ⊥ ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
所以 是二面角 的平面角．
在 中， ， ，所以 ，
据 ，得 ．
在Rt 中， ，
，
所以二面角C －AB－C的余弦值为 ．
1 1
21．（12分）已知椭圆 ，椭圆 ．点 为椭圆 上的动点，直
线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）以点 为切点作椭圆 的切线 ， 与椭圆 交于 ， 两点，问：四边形 的面积是否为定
值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．【答案】（1） （2）四边形 的面积为定值
【解析】（1）设 ， ， ，因为 ，所以 ，
因为点 为椭圆 上的动点，所以 ，从而
即 ，故椭圆 的标准方程 ；
（2）
法一：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 的方程为
， 即
，
， 即
代入得直线 的方程为
联立 ，消去 得
注意到 化简得又 ，
所以点 到直线 的距离为
所以点 到直线 的距离为
故
当直线 的斜率不存在时，即 ，若 ，则： ，
则 ， ， ， ，
所以
同理可得，若 ，
综上，四边形 的面积为定值 ．
法二：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，注意到 化简得 ，
原点 到直线 的高为 ，
又因为 ，点 是 的中点，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
由对称性可知， ，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的三倍，故
．
当斜率不存在时，同法一．
22．（12分）已知函数 ．
（1）若 ， ，求证： 有且仅有一个零点；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：由题意得，当 时， ，
故 ．
（i）当 时， ，记 ，
则 ， 单调递增， ，
所以 ，即当 时， 无零点．
（ii）当 时， ， ，即当 时， 无零点．
（iii）当 时， ．
因为 ，所以 ，即 单调递增．
又因为 ， ，
所以当 时， 存在唯一零点．
综上，当 时， 有且仅有一个零点．
（2）易知 ，因此 恒成立，则在 0的左侧邻域内， 是减函数，有 ，则
．
因为 ，
所以 ，得 是 对任意 成立的必要条件．
下面证明充分性．
当 时， ，等价于 ．
令 ， ，即证 ．
（i）当 时， ， ，
即 成立．
（ii）当 时，记 ，则 ．
由 ，得 ，所以 ，即 单调递增，，即 ，
，则 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
因此 是 的最小值，即 ，所以 恒成立，
所以 ．
综上， ．
