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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷06·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 30 2. 1 3. 4.
5. 6. 2 7. ， 8.
9. 5 10. （Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．
11. 32 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
C A B C
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）解：（1）因为 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，可得 ；
（2）因为 ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得： ，整理得 ，
所以，
即 ．
18．（14分）解：（1）证明： 半圆所在的平面与矩形所在平面 垂直，
又 ，又半圆所在的平面与矩形所在平面 的交线为 ，
且 面 ，
垂直半圆所在的平面，又 在半圆所在的平面内，
，又 是半圆弧上一点（端点除外）， 是半圆的直径，
，且 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）建系如图，根据题意可得：
，0， ， ，1， ， ，1， ，设 ，0， ， ，
由（1）知平面 的法向量 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
若二面角 的正弦值为 ，则二面角 的余弦值的绝对值为 ，
，，
， ，
平方解得 ， ，
存在 为 ，0， 满足题意，
此时易得四棱锥 的体积为 ．
19．（16分）解：（1）由双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，
则 ①，
因为双曲线 过点 ，
所以 ②，
又 ③，
联立①②③式，解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为 ；
（2）由双曲线的对称性，知四边形 为平行四边形，
所以 ，由题意知直线 的斜率不为零，直线 过双曲线的右焦点 ，
设 的方程为 ，
联立 消去 ，化简整理可得， ，
△ ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理可得， ， ，
因为 ， 均在双曲线右支，
所以
所以 解得 ．
所以 ．
令 ，则 ，
所以 ．
令函数 ，易得 在区间 上单调递减，
所以当 时， ．
所以四边形 面积的最小值为24．20．（16分）解：（1）一等奖：要依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现的概率为 ，
一等奖的概率为 ，
二等奖：不按顺序出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，
二等奖的概率为 ，
三等奖：要出现“抗”“疫”“胜”三个字，有“抗，抗，疫，胜”，“抗，疫，疫，胜”，“抗，疫，
胜，胜”三种情况，
三等奖的概率为 ．
（2） 的所有可能取值为1，2，3，4，
， ， ， ，
的分布列为：
1 2 3 4
．
21．（18分）（1）解：当 时， ，因此 ，
而曲线 在 处的切线与直线 平行，
故 （2） ，即 ，解得 ．
所以 ， ，
故当 ， 时， ，即函数 在 ， 上单调递减，
当 ， 时， ，即函数 在 ， 上单调递增，
所以 （e）， ，而 （e） ， ，故 （e） ，即 （e），
所以函数 在 ， 上的最大值为 ．
（2）证明：当 时， ， ，由于 ，
故 要 证 明 （ b ） （ a ） 成 立 证 明 成 立 证 明
成立，
证明 成立，令 ，因为 ，则 ，
即只需证明 成立 证明 即可，下面证明该不等式成立．
设 ，求得 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，
因此函数 是 上的增函数，故 （1） ，
这就证明了当 时， 恒成立，故原命题成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求
解能力，属于难题．
