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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ， ，所以 ．
故选：C．
2．若复数z满足 （其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为 ，则（ ）
A．z的实部是 B．z的虚部是
C．复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．
【答案】C
【解析】由题设 ，
， ,
A选项，z的实部是 ，故A错误；
B选项，z的虚部是 ，故B错误；
C选项，复数 对应的坐标为 ，在复平面内对应的点在第一象限，故C正确；
D选项， ，故D错误.
故选：C3．已知函数 的最小正周期为 ，若 在 上的最大值为 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于函数 的最小正周期为 ，则 ， .
不妨取 ，则 .
若函数 在区间 上单调，则
，
若函数 在区间 上先增后减，
则
；
若函数 在区间 上先减后增，同理可知 的最小值为 .
，综上可知， 的最小值为 .
故选：D.
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
故函数 为偶函数，排除D；
因为 ，排除C；
而 ，排除B.
所以A为正确选项，
故选：A.
5．如图，在 ABC中，点P在边BC上，且 ，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两
△
点M，N，若 ， ，则实数 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知： ，
又 ， ，即 ，
由 三点共线，可得 ，即 .
故选：B.
6．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的
等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操
作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形
的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的 ，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的 ，
由此可得，第 次操作之后所得图形的面积是 ，
即经过4次操作之后所得图形的面积是 .
故选：A
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7．已知定义在R上的函数 满足：（1） ；（2） ；（3）
时， .则 大小关系
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵函数 f （x）满足：
①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；
②f（x+4）＝f（x），故函数的周期为4；
③x，x∈[1，3]时，（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；
1 2 1 2 1 2
故f（2018）＝f（2），
f（2019）＝f（3），
f（2020）＝f（0）＝f（2），
故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），
故选C．
8．已知双曲线 右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为 为双曲线的右焦点，若
，设 ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，因为 ，则四边形 为矩形，
所以 ，
则 ， ．
．
．
即 ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
所以 ，
即双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9．关于直线 与圆 ，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则 为定值 B．若 ，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若 ，则直线l与圆C相离 D． 是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离 ，整理为 ，即
，故A正确；
B.弦长 ，当 时， ，故B正确；
C.联立方程， ，得 ，
，当 时，
整理为 恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D.直线 与 轴的交点是 ，当 时， 在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交
点，但反过来，直线与 轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与 轴的交点在圆外，也有直线与
圆相交，所以 是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．已知数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，则数据 ， ，…， 的平均数
和方差分别为 ，
D．若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是9
【答案】ACD
【解析】A． 即为 ，所以直线过定点 ，故正确；
B．当 时， ；当 时， 不一定成立，例如 时，所以“ ”是“ ”的充分
不必要条件，故错误；
C．根据平均数与方差的线性变化关系可知C正确；
D．因为圆的方程为 ，所以半径为 ，由题意可知直线过圆的圆心，
所以 ，所以 ，所以 ，
取等号时 ，故正确，
故选：ACD.
11．正方体 的棱长为2．点P在正方体的体对角线 上（包含端点），点Q在正方体的
棱 上（包含端点），则（ ）
A．直线 与 的距离为2
B．点P在 上运动，点Q在 上运动时， 的最小值为
C．当点P、Q分别为 、 的中点时， 到面 的距离为1
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．当点Q为棱 的中点，点P在 上运动时，存在点P，使得 面
【答案】BCD
【解析】如图：
当 分别为 的中点时，取 中点 ，连接 ，则 ，易知
，所以 ，则四边形 为平行四边形，所以
.易知 ，而 平面 ， 平面 ，则 ,又
，所以 平面 ，则 ，又 ，所以 .又因为 ，
所以 .于是PQ是 与 的垂线段，且 .故A错误，因为连接两条异面直线上两
点的线段中，垂线段的距离最大，故B正确；
而此时PQ到面ABCD的距离 ，故C正确；
由前面的证明可知，此时 平面 ， ，所以 平面 ，故D正确.
故选：BCD.
12．已知函数 ， 是定义域为 的奇函数， 的图像关于直线 对称，函数 的
图像关于点 对称，则下列结论正确的是（ ）A．函数 的一个周期为
B．函数 的图像关于点 对称
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
又 的图像关于直线 对称，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，即函数 的一个周期为 ，故A正确；
对于B：令 ，则 关于点 对称，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，即 的图像关于点 对称，故B正确；
对于C：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，又 的图像关于点 对称，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，故D错误；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）
【答案】
【解析】 ，
仅在第一部分中出现 项的系数．
再由 ，令 ，可得，
项的系数为 ．
故答案为45．
14．已知 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则当 取最大值时， 的值为 .
【答案】6
【解析】因为 ，
所以 ，又 ，
所以 0，所以 ，则 ，
故答案为：6.
15．已知 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，则
，所以 ，因为，所以 ， ，则
.故答案为：
16．已知函数 对任意 ，都有 成立，且当 时， .有以下结论：
① ；
② 是 上的偶函数，
③若 ，则 ；
④函数 在 上是减函数.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，令 ，则 ，当 时， ，所以 ，所
以 ，故①正确；
对于②，令 ，则 ，，
由当 时， ，所以 ，所以 ，得 ，
故②错误；
对于③，令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，得 ，
故③正确
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于④，设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
由已知得 ，
所以 ，故④正确.
故答案为：①③④
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1） .（2）见解析.
【解析】（1）当 时， ，当 时，
＝ － .
而当 时， ，∴ ( )．
（2） ，
∴
18．（12分）在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；(2)若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) (2) .
【解析】（1）由已知条件得 ，
由正弦定理得 . ，
即 .
因为在 中， ，
所以 .
又 是锐角，所以 .
（2）由正弦定理得 ，
则 ，
所以
.
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
所以 面积的取值范围为 .
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 为正三
角形，平面 平面 ， 为线段 的中点， 是线段 （不含端点）上的一个动点．
(1)记平面 交 于点 ，求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得二面角 的正弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，点 为线段 上靠近点 的三等分点，理由见解析
【解析】（1）证明：因为四边形 为菱形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
（2）解：连接 、 、 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为四边形 是边长为 的菱形，则 ，
又因为 ，则 为等边三角形，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 ，
设 ，其中 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
，
则 ，
取 ，则 ， ，所以， ，
由题意可得 ，
整理可得 ，即 ，因为 ，解得 ，
故当点 为线段 上靠近点 的三等分点时，二面角 的正弦值为 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20．（12分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了 位市民进行心理健康问卷调查，将所得评
分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在 中的市民有
200人．心理测评评价标准
调查评分
心理等级 A
(1)求 的值及频率分布直方图中 的值；
(2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则
需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组
的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数 调查评分 ）
(3)在抽取的心理等级为 的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心
理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在 的市民的心理等级转为 的概率为 ，调查
评分在 的市民的心理等级转为 的概率为 ，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽
取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 的概率．
【答案】(1) ，
(2)不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解(3)
【解析】（1）由已知条件可得 ，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以 ，解得 ；
（2）由频率分布直方图可得，.
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为 .
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
（3）由（1）知： ，则调查评分在 中的人数是调查评分在 中人数的 ，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在 中有1人，在 中有2人，
设事件 “在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以 .
故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为 .
21．（12分）已知椭圆C： ， 、 为椭圆的左、右焦点，焦距为2 ，P（ －
）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－ ）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在 轴上是否存在定点N，
使得 恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在，N（0，1）.
【解析】（1）由焦距为2 得 ，又因为P（ ，－ ）在椭圆上，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 ，所以椭圆C的方程为： ．
（2）假设在y轴上存在定点N，使得 恒成立，设N（0， ），A（ ， ），B（ ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！）.
①当直线l的斜率存在时，设l： ，由 整理得 ，
， ， ．
因为 ，所以 ，而点M为线段AB的中点，所以
，则点N在以AB为直径的圆上，即 ．
因为 ，
所以
，
∴ 解得 ，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足
.
综上，存在定点N（0，1），使得 恒成立.
22．（12分）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 上存在唯一零点 ，求证： .
【答案】(1)答案见解析(2)证明过程见解析
【解析】（1）对 求导得， ，分以下两大情形来讨论 的单调性：
情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ，
所以当 时，有 ，此时 单调递减，
当 时，有 ，此时 单调递增；
所以 在 单调递减，在 单调递增；
情形二：当 时，令 ，解得 ，
接下来又分三种小情形来讨论 的单调性：
情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递
增；
情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以由题意 ，
又因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，
不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，所以 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
即当 时，有不等式 成立，
综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
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