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第三章 一元一次方程压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．方程 的解是x=( )
A． B．- C． D．-
【答案】D
【详解】方程两边同乘以24可得-8[ ]-2=-1，去括号，可得-8（
）-2=-1，即-4-4x+ -2=-1，4x=-5+ ，解得x=- .故选D.
2．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购
书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两
次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元．
A．288 B．306 C．288或316 D．288或306
【答案】C
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实
际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是
超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出
它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不
同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此
可以按照8折付款：360×0.8=288元或395×0.8=316元，故选：C．
【点睛】此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需
要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．3．课外小组女同学原来占全组人数的 ,加入4名女同学后,女同学就占全组的 ,则课外小
组原来的人数是( )
A．35 B．12 C．37 D．38
【答案】B
【详解】设课外小组原来的人数是x，因为男生人数总是不变的，所以据此列方程：
，解得x=12.
故选B.
点睛：注意问题中的不变的量是男生，课外活动小组原来男生占总人数的 ，增加4个
女生后，男生占总人数的 ，所以根据男生数量不变来列方程，此题容易纠结女生的数
量的变化而无从入手.
4．2015年11月11日某淘宝卖家卖出两件商品，它们的售价均为120元，其中一件盈利
20%，一件亏损20%，在这次买卖中这位卖家（ ）
A．不赔不赚 B．赔了10元 C．赚了10元 D．赔了50元
【答案】B
【详解】试题解析：设赚了20%的一件商品原价是x元，
则（1+20%）x=120，
解得x=100．
设赔了20%的一件商品原价是y元，
则（1-20%）y=120，
解得y=150，
∵100+150=250（元），
120×2=240（元），
250-240=10（元），
∴亏损10元．
故选B．
考点：一元一次方程的应用．
5．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九
折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
【答案】C
【分析】设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方
程，解之即可得出结论．【详解】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
6．方程 的解是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【详解】方程变形得：
即 ，
去分母得： ，
解得:x=
故选B.
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形.
评卷人 得分
二、填空题
7．当m的值为 (只需写出一个即可)，可以使关于x的方程 的
解为整数．
【答案】案不唯一，如6等
【详解】试题解析：由 ，得
x= ．
∵x、m都是整数，
∴m=-8或-1或6、或13等．
8．若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是
【答案】m<1
【详解】试题分析：去括号得2x+m-3m+3=1+x，移项合并同类项得x=2m-2，由解为负数可得2m-2＜0解得m＜1.
故答案为：m＜1.
9．某超市推出开业一周年，优惠大酬宾活动．规定：若一次性购物不超过200元的不优惠；
超过200元时，按全额9折优惠．李大妈第一次购物付款90元，第二次购物付款189元，
若这两次购物合起来一次性付款可节省 元．
【答案】 或9
【分析】第二次购物付款189元，可推测189元是优惠后付款，也可能是无优惠付款，故
分两种情况分析，即可求出答案．
【详解】若第二次购物超过200元，设此时所购物品价值为x元
则
∴
两次所购物价值为
因此两次购物合并成一次性付款可节省： 元
若第二次购物没有过200元
两次所购物价值为
这两次购物合并成一次性付款可以节省： 元
故答案为： 或9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，
并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．
10．已知 是一段只有 千米长的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在 段相遇，
必须倒车才能继续通过．如果小汽车在 段正常行驶需 分钟，大卡车在 段正常行
AB 3 AB
AB 10 AB
驶需 分钟，小汽车在 段倒车的速度是它正常行驶速度的 ，大卡车在 段倒车的
20 AB AB
速度是它正常行驶的 ，小汽车需倒车的路程是大卡车的 倍．问两车都通过 这段狭窄
路面的最短时间是 分钟． 4 AB
【答案】50
【详解】解：小汽车X通过AB段正常行驶需要10分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正
常行驶速度的 ，
由此得出倒车时间AB段X=10÷ =50分钟，
卡车Y通过AB段正常行驶需20分钟，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的 ，
由此得出倒车时间AB段Y=20÷ =160分钟，又因为：小汽车需要倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍，得到小车进入AB段 ，大
车进入AB段 ，
由此得出实际Y倒车时间=160× =32分钟，实际X倒车时间=50× =40分钟．
若Y倒X进则是32+20=52分钟两车都通过AB路段，
若X倒Y进则是40+10=50分钟两车都通过AB路段，
所以两车都通过AB路段的最短时间是50分钟．
故答案为：50．
【点睛】本题属于应用题，有一定难度，解题时注意分别讨论小汽车和大卡车分别倒车所
用的时间．
11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程
的解为 ．
【答案】1
【分析】将 化为 ，对比
，可知 ，由解为 ，可求得 .
【详解】解：由 得，
，
，
因为关于 的一元一次方程 的解为 ，
对比上下两式可得： ，
即 ，解得 .
本题的答案为：1.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，应用常规的方法计算量大增，这里灵活地采
用了一种对比法的解法， 与 是相同一元一次方程的解，则满足方程的解也可满足
使方程成立，即 .
12．一个两位数的十位数字与个位数字的和是9.如果把这个两位数加上63，那么恰好成为
原两位数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原两位数是 .【答案】18
【分析】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x，根据原数加63等于新数列方程解
答.
【详解】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x，
10x+9-x+63=10（9-x）+x，
x=1，
∴9-x=8，
∴原两位数是18.
故答案为：18.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解数间的关系是解题的关键.
13．如图，数轴上线段 ，点 在数轴上表示的数是－10，点 在数轴上表示
的数是16，若线段 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位
长度/秒的速度向左匀速运动．当 点运动到线段 上时， 是线段 上一点，且有关
系式 成立，则线段 的长为 ．
【答案】5或3.5
【分析】随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点
C重合时的情况．
【详解】解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，
AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜ 时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
③当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
④当 ＜t＜ 时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
综上，线段 的长为5或3.5，
故答案为：5或3.5
【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和
线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
评卷人 得分
三、解答题
14．（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一
个数为 ，则用含 的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在
横线上）
（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出
16个数．
①图中框出的这16个数的和是__________；
②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可
能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．【答案】（1） ， ， ；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于
2016，且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析
【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7；
（2）①可以把这16个数直接加起来即可，
②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是
4m+6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是
4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令
其结果等于2016或2168，看计算出的m的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就
说明不存在．
【详解】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7，
故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7；
（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，
第二行的四个数之和是：46+4×7=74，
第三行的四个数之和是：74+4×7=102，
第四行的四个数之和是：102+4×7=130．
于是16个数之和=46+74+102+130=352．
故图中框出的这16个数之和是352；
②设这16个数中最小的数为 ，则这16个数分别为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
它们的和为 （ 为正整数），
所以它们的和可以等于2016，
理由： ，解得 ，
所以 ，
因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138，
它们的和不可能等于2168，理由： ，解得 ，
而 应为整数，所以16个数的和不可能等于2168．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并
应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．15．如图，数轴上线段AB长2个单位长度，CD长4个单位长度，点A在数轴上表示的数
是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运
动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
(1)问：运动多少秒后，点B与点C互相重合？
(2)当运动到BC为6个单位长度时，则运动的时间是多少秒？
(3)P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，是否存在关系式 ？若存
在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 运动3秒后，点B与点C互相重合；(2) 运动 或 秒后，BC为6个单位长
度；(3) 存在关系式 ，此时PD= 或 ．
【分析】（1）设运动t秒后，点B与点C互相重合，列出关于t的方程，即可求解；
（2）分两种情况：①当点B在点C的左边时，②当点B在点C的右边时，分别列出关于t
的方程，即可求解．
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，分别表示出运动t秒后，C点表示的数，D
点表示的数，A点表示的数，B点表示的数，P点表示的数，从而表示出BD，AP，PC，
PD的长，结合 ，得18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，再分两种情况：①当C点在P
点右侧时，②当C点在P点左侧时，分别求解即可．
【详解】（1）由题意得：BC=16-(-10)-2=24，
设运动t秒后，点B与点C互相重合，则
6t+2t=24，解得：t=3．
答：运动3秒后，点B与点C互相重合；
（2）①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+6+2t=24
解得：t= ；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣6+2t=24，
解得：t= ．
答：运动 或 秒后，BC为6个单位长度；
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，运动t秒后，C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B
点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD=20﹣2t﹣(﹣8+6t)=28﹣8t，
AP=x+6t﹣(﹣10+6t)=10+x，
PC=|16﹣2t﹣(x+6t)|=|16﹣8t﹣x|，
PD=20﹣2t﹣(x+6t)=20﹣8t﹣x=20﹣(8t+x)，
∵ ，
∴BD﹣AP=4PC，
∴28﹣8t﹣(10+x)=4|16﹣8t﹣x|，
即：18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，
①当C点在P点右侧时，
18﹣8t﹣x=4(16﹣8t﹣x)=64﹣32t﹣4x，
∴x+8t= ，
∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣ = ；
②当C点在P点左侧时，
18﹣8t﹣x=﹣4(16﹣8t﹣x)=﹣64+32t+4x，
∴x+8t= ，
∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣ = ．
∴存在关系式 ，此时PD= 或 ．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离以及动点问题，掌握用代数式表
示数轴上的点以及两点间的距离，根据等量关系，列方程，是解题的关键．
16．已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在
甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒.设运动时间为t秒.
(1)若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间；
(2)当t=50时，甲、乙两人第1次相遇.
①求a的值；②若 时，甲、乙两人第1次相遇前，当两人相距120米时，求 的值.
【答案】（1）t=100（2）① a=1或7 ②t=5或20
【分析】（1）根据相遇时，甲和乙的路程差等于200米,列方程即可求解；
（2）①由第1次相遇时间为50秒，分两种情况：当 时,乙和甲的路程差等于100米；
当 时甲和乙的路程差等于200米列方程即可求出a值；
②当 时由①可知a=7，分两种情况讨论：一种是乙距甲120米，即在100米的基础上
甲又比乙多跑20米，此时两人在第一次相遇前相距120米，另一种是甲距乙120米，即在
200米的基础上甲又比乙多跑80米，此时两人在第一次相遇前相距120米，即可得出t值.
【详解】（1）由题可列方程 ，
解得： ，
答：若 =5,甲、乙两人第1次相遇的时间为100秒.
（2）①有两种情况：
当 时，则 ，解得 ，
当 时，则 ，解得 ，
所以a=1或7；
②当 时由①可知a=7，根据题意可列方程：
，或
解得，t=5或20.
【点睛】本题主要一元一次方程的实际应用--追及问题，根据追及时间=路程差 速度差，
分类列出关于t的一元一次方程，是解题的关键.
÷
17．某人去水果批发市场采购香蕉，他看中了 、 两家香蕉。这两家香蕉品质一样，零
售价都为6元/千克，批发价各不相同．
家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠；批发数量超过1000千
克且不超过2000千克，全部按零售价的85%优惠；批发数量超过2000千克的全部按零售
价的78%优惠．
家的规定如下表：
数量范围（千
0～500（包含500） 500以上～1500（包含1500） 1500以上
克）
价格（元） 零售价的95% 零售价的80% 零售价的75%
（1）如果他批发600千克香蕉，则他在 、 两家批发各需要多少钱；
（2）如果他批发 千克香蕉（ ），则他在 、 两家批发各需要多少钱
（用含有 的代数式表示）；
（3）若恰好在两家批发所需总价格相同，则他批发的香蕉数量可能为多少千克？
【答案】（1）A家：3240元，B家：3330元；（2）A家：5.1x，B家：（4.5x+900）；（3）750或1500或5000千克
【分析】（1）A家批发需要费用：质量×单价×90%；
B家批发需要费用：500×单价×95%+（600-500）×单价×80%；把相关数值代入求解即可；
（2）把x代入（1）得到的式子求值即可；
（3）分四种情况：0＜x≤1000；1000＜x≤1500；1500＜x≤2000；x＞2000；批发数量超过
2000千克；根据等量关系：两家批发所需总价格相同，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）A家：600×6×90%=3240元，
B家：500×6×95%+（600-500）×6×80%
=2850+480
=3330元；
（2）A家：6x×85%=5.1x（元），
B家：500×6×95%+1000×6×80%+（x-1500）×6×75%
=2850+4800+4.5x-6750
=（4.5x+900）元；
（3）当0＜x≤1000时，依题意有
6x×90%=500×6×95%+（x-500）×6×80%，
解得x=750；
当1000＜x≤1500时，依题意有
6x×85%=500×6×95%+（x-500）×6×80%，
解得x=1500；
当1500＜x≤2000时，依题意有
6x×85%=500×6×95%+（1500-500）×6×80%+（x-1500）×6×75%，
解得x=1500；
当x＞2000时，依题意有
6x×78%=500×6×95%+（1500-500）×6×80%+（x-1500）×6×75%，
解得x=5000．
故他批发的香蕉数量可能为750或1500或5000千克．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式及代数式求值问题，得到在A、B两家
批发需要费用的等量关系是解决本题的关键．
18．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数a，b，c，并且满足（a＋12）²＋|b－2|＝
0，b与c互为相反数，两只小蜗牛甲、乙分别从A，B两点同时沿数轴相向而行，甲的速
度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒．
（1）求a，b，c的值；
（2）运动多少秒时，甲、乙在数轴上相遇？设相遇点为点D，请求出点D所表示的数；
（3）设点P在数轴上表示的数为m，且点P满足|m＋12|＋|m＋5|＋|m－5|＝20，若甲运动到点P时（此时甲、乙还没有相遇）立即掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若
能，求出相遇点所表示的数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）a=-12，b=2，c=-2；（2）运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的
数为-6.4；（3）甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是-16．
【分析】（1）由非负数的性质即可得出a和b的值，再根据相反数的定义即可得出c的值；
（2）设运动x秒时，甲、乙相遇，相遇时路程之和等于AB，依此列方程求解即可；
（3）根据甲、乙还没有相遇和相向而行可得-12＜m＜-6.4，由此可化简绝对值求得m的值，
设甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点所表示的数是t．根据所用时间相等列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵（a+12）2+|b-2|=0，
∴a+12=0，b-2=0，
解得a=-12，b=2．
又∵b与c互为相反数，
∴c=-2；
（2）易知AB=2-（-12）=14，
设运动x秒时，甲、乙相遇．则依题意，得
则 ，解得 ，
此时D点所表示的数为： ，
答：运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的数为-6.4；
（3）由（2）可知运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的数为-6.4，
根据题意，运动到点P时，甲、乙还没有相遇，又因为相向而行，
∴-12＜m＜-6.4，
由|m+12|+|m+5|+|m-5|=20，得
m+12-m-5+5-m=20，
解得m=-8，
即点P在数轴上所表示的数是-8．
设甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点所表示的数是t．则依题意，得
解得t=-16．
即甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是-16．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．已知数轴上两点 ， 对应的数分别为 和 ，点 为数轴上一动点，若规定：点
到 的距离是点 到 的距离的 倍时，我们就称点 是关于 的“胜利点”．（1）若点 到点 的距离等于点 到点 的距离时，求点 表示的数是多少；
（2）若点 以每秒 个单位的速度从原点 开始向右运动，当点 是关于 的“胜利
点”时，求点 的运动时间；
（3）若点 在原点的左边（即点 对应的数为负数），且点 ， ， 中，其中有一个点
是关于其它任意两个点的“胜利点”，请直接写出所有符合条件的点 表示的数．
【答案】（1） ；（2）1秒或10秒；（3） ， ， ， ， ， ．
【分析】（1）根据点 到点 的距离等于点 到点 的距离即可得到结论；
（2）根据题意可得 ， ，再根据“胜利点”的定义即可求解；
（3）分五种情况进行讨论：当点 是关于 的“胜利点”时；当点 是关于 的
“胜利点”时；当点 是关于 的“胜利点”时；当点 是关于 的“胜利点”
时；当点 是关于 的“胜利点”时，分别代入计算即可．
【详解】解：（1） 数轴上两点 ， 对应的数分别为 和4，
，
点 到点 的距离等于点 到点 的距离，
点 是 的中点，
，
点 表示的数为 ；
（2）设点 运动时间为 秒，
根据题意可知， ， ，
，
解得： 或10，
点 运动的时间为1秒或10秒；
（3）设点 表示的数为 ，
根据题意可得， 或 ， ， ，
分五种情况进行讨论：
①当点 是关于 的“胜利点”时，
得 ，
即 ，解得 ；
②当点 是关于 的“胜利点”时，
得 ，
即 ，解得 ；
或 ，解得 ；③当点 是关于 的“胜利点”时，
得 ，
即 ，解得 （不符合题意，舍去）；
或 ，解得 （不符合题意，舍去）；
④当点 是关于 的“胜利点”时，
得 ，
即 ，解得 ；
或 ，解得 ；
⑤当点 是关于 的“胜利点”时，
得 ，
即 ，解得 ，
综上所述，所有符合条件的点 表示的数是： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查了数轴，胜利点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，若点 表示的数
，点 表示的数 ，则 是解决本题的关键．
20．当m为何值时，关于x的方程 的解比关于x的方程 的
解大2?
【答案】
【分析】将m看成常数（已知数）分别解这两个方程，再根据第一个方程比第二方程的解
大2，列出关于m的一元一次方程，解方程求得m的值,
【详解】解：
,
,
故答案是：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含
m的方程求解．
21．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若 是关于 的
一元一次方程 的解， 是关于 的方程的所有解的其中一个解，且 ，
满足 ，则称关于 的方程为关于 的一元一次方程的“小美方程”．例如：一
元一次方程 的解是 ，方程 的所有解是 或 ，当 ，，所以 为一元一次方程 的“小美方程”．
(1)已知关于 的方程： 是一元一次方程 的“小美方程”吗？
________（填“是”或“不是”）；
(2)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小美方程”，
请求出 的值；
(3)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小
美方程”，求出 的值．
【答案】(1)是；(2) ；(3)
【分析】（1）先化简绝对值得到 ，再解 求出 ，最后计算作
答即可；
（2）先分别解方程求出 ， ，再根据“小美方程”的定义计算即可；
（3）先根据题意得到 ，再由 得到 ，解得
，将 代入 整理得到 ，最后
计算即可．
【详解】（1）由 得， ；
解 得： ，
而 ，
所以 是一元一次方程 的“小美方程”，
故答案为：是；
（2）解：∵
解得： ；
对于 ，解得 ；
由题意，当 时， ，解得： ；
（3）解：由题意， ，即
由 得： ，
所以 ，
则 ，把上式代入 中，整理得： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键．
22．水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，重庆市政府
和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施．
（1）针对居民用水浪费现象，市政府将向每个家庭收取污水处理费，按每立方米1元收费．
此外，市政府还将向市民收取自来水费，收费标准为：规定每个家庭每月的用水量不超过
10立方米，则按每立方米2.5元收费；超过10立方米的部分，按每立方米3.2元收费．若
我市某家庭某月用水量为x立方米，产生的污水量也为x立方米，则这个家庭在该月应缴
纳的水费（包括污水处理费）W 为多少钱？（用含x的代数式表示）
1
（2）在近期由市物价局举行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：不再收
取污水处理费，每天6：00至22：00为用水高峰期，水价可定为每立方米4元；22：00至
次日6：00为用水低谷期，水价可定为每立方米3.2元，若某家庭高低峰时期都有用水，
且高峰期的用水量比低谷期多20%．设这个家庭这个月用水低谷期的用水量为y立方米，
请计算该家庭在这个月按照此方案应缴纳的水费W 为多少钱？（用含y的代数式表示）
2
（3）若某三口之家按照（1）问中的方案与（2）问中的方案所交水费都为392元，请计算
表示哪种方案下的用水量较少？
【答案】（1）用水量不超过10立方米，应缴纳的水费3.5x，用水量超过10立方米，应缴
纳的水费4.2x﹣7；（2）W＝3.2y+4×（1+20%）y＝8y；（3）问题（2）中的方案下的用水
2
量较少
【分析】（1）分两种情况列出代数式即可：用水量不超过10立方米和用水量超过10立方
米；
（2）用水低谷期的用水量为y立方米，则用水高峰期的用水量为（1+20%）y立方米，根
据不同的收费标准求得费用即可；
（3）利用水费392作为相等关系列方程可求得水低谷期的用水量，再求得总的用水量，比
较后得到答案．
【详解】解：（1）用水量不超过10立方米，应缴纳的水费W＝2.5x+x＝3．5x，
1
用水量超过10立方米，应缴纳的水费W＝2.5×10+3.2（x﹣10）+x＝4.2x﹣7；
1
（2）用水低谷期的用水量为y立方米，则用水高峰期的用水量为（1+20%）y＝1.2y（立方
米），
W＝3.2y+4×（1+20%）y＝8y；
2（3）∵392÷10＝3.92（元），
∴用水量超过10立方米，
4.2x﹣7＝392
解得x＝95；
8y＝392，
解得：y＝49，
∴1.2y＝58.6（立方米）
49+58.6＝107.6
∵107.6＞95
∴问题（2）中的方案下的用水量较少．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系．
