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第二章 整式的加减
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．代数式 ， 2x+y， a2b， ， ， 0.5 中整式的个数（ )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，单个的数或单个的字母也是单项式．
多项式是若干个单项式的和，再逐一判断可得答案．
【详解】解：整式有2x+y， a2b， ，0.5共有4个；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式．解题的关键是掌握整式的定义：单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有
字母的式子是分式不是整式．
2．已知单项式 与 可以合并同类项，则m，n分别为（ ）
A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0
【答案】A
【分析】根据同类项的定义得出关于m，n的式子，计算求出m，n即可．
【详解】解：∵单项式 与 可以合并同类项，
∴m＋1＝3，n－1＝1，
∴m＝2，n＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项及同类项的定义，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母
的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
3．已知 ，则 的值是（ ）
A．5 B．-5 C．1 D．-1
【答案】A
【详解】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【分析】解：原式＝a+c+b﹣d
＝a+b+c﹣d，当a+b＝3，c﹣d＝2时，
∴原式＝3+2＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查整式的加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．
在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
5．（2019·海南海口·七年级期末）下列计算的结果中正确的是（ ）
A．6a2﹣2a2＝4 B．a+2b＝3ab
C．2xy3﹣2y3x＝0D．3y2+2y2＝5y4
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【详解】A、6a2﹣2a2＝4a2，故此选项错误；
B、a+2b，无法计算，故此选项错误；
C、2xy3﹣2y3x＝0，故此选项正确；
D、3y2+2y2＝5y2，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算问题，掌握合并同类项法则是解题的关键．
6．当x＝2时， ，则当x＝－2时，求多项式 的值为（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【答案】B【分析】将x＝2代入 ，得 ，进而得 ，将x＝－2代入 ，得代
数式 ，利用整体思想代入即可求解．
【详解】解：将x＝2代入 ，得
∴
将x＝－2代入 ，得 =1-3=-2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式中的整体思想，根据已知条件找出含字母部分的倍分关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2021·广东广雅中学七年级阶段练习）如果多项式 中不含 的项，则k的值
为______
【答案】
【分析】先去括号，然后合并同类项，再根据“不含 的项”列出式子求解即可得．
【详解】解： ，
∵多项式不含 项，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
8．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，则第20个单项式是
_____．
【答案】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为： 奇数个单项式的系数为： 而单项式的指数是奇
数，从而可得答案．
【详解】解： ， ， ， ， ，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”
是解本题的关键．
9．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式 与单项式 是同类项，则 ___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子
m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【详解】解：∵单项式 与单项式 是同类项，
∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
10．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒
棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共 个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出 个黑子
放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到
甲盒，其中含有 个白子，此时乙盒中有y个黑子，则 的值为______．【答案】 4 1
【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子， 个黑子，再
根据要求算出y，即可
【详解】答题空1：
原甲：10 原乙：8
现甲：10-a 现乙：8+a
依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：
原甲：m 原乙：2m
现甲1：m-a 现乙1：2m+a
第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子， 个黑子
则：
故答案为：1
【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
11．若实数 ， 满足 ， ，则 ________．
【答案】−1或5
【分析】根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
当a＝2时，|4−b|＝1−2＝−1，此时b不存在；
当a＝−2时，|4−b|＝3，
∴4−b＝3或4−b＝−3，
即b＝1或b＝7，
当a＝−2，b＝1时，a＋b＝−1；
当a＝−2，b＝7时，a＋b＝5．
故答案为：−1或5．
【点睛】本题考查绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
12．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）图形是用等长的木棒搭成的，请观察填表：
三角形个数 1 2 3 4 … n
需木棒总数 3 5 …
当三角形的个数是n时，需木棒的总数是________．
【答案】2n+1【分析】根据已知的数据可得 ， ， ，即可得解；
【详解】∵ ， ， ，
∴当三角形的个数是n时，需木棒的总数是2n+1．
故答案是：2n+1．
【点睛】本题主要考查了图形规律题，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．化简：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查的整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解题的关键．
14．有这样一道题：“求（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2＋y3）＋（﹣x3＋3x2y﹣y3）的值，其中x＝
，y＝﹣1”．小明同学把“x＝ ”错抄成了“x＝﹣ ”，但他的计算结果竟然正确，请你
说明原因，并计算出正确结果．
【答案】见解析；2
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【详解】解：原式＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣2y3，
∴此题的结果与x的取值无关，
y＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）3＝2．【点睛】本题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（1）先化简，再求值： ，其中 ， ；
（2）设 ， ．当a，b互为倒数时，求 的值．
【答案】（1） ；1；（2） ，15
【分析】（1）先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可；
（2）先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得ab=1代入求解即可．
【详解】（1）解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
（2）解： ，
∵当a，b互为倒数时， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．
16．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下：
解：原式＝█
．
(1)求污损部分的整式；
(2)当x＝2，y＝﹣3时，求污损部分整式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求．
（2）把x与y的值代入（1）的结果中计算即可求出值．
（1）根据题意可得，污损不清的部分为：（-11x＋8y）-2（3y2-2x）＝-11x＋8y-6y2＋4x（2）（2）当x＝2，y＝-3时，原式
【点睛】此题考查了整式的加减一化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点
C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
(1)求AB、AC的长；
(2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以
每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？
若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
【答案】(1)
(2)变化，当 时取得最大值4
【分析】（1）根据点A，B，C表示的数，即可求出AB， AC的长；
（2）根据题意分别求得点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t，根据两点距离求
得 ，进而根据整式的加减进行计算即可．
(1)
解：AB=0-（-2）=2， AC= ．
(2)
当运动时间为t秒时，点A表示的数为-2-2t，点B表示的数为3t，点C表示的数为6+4t，
则 ，
当 时， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了列代数式、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三个点表示的数，求
出三条线段的长度；（2）利用含t的代数式表示出BC，AB的长．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2020·浙江·七年级期中）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下表所示 （单位：如 ）．
第一
第二次 第三次 第四次
次
x
（1）填空；这辆出租车第三次行驶的方向是______、第四次行驶方向是______；
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
【答案】（1）东，西；（2）向东（ ）km处
【分析】（1）以A为原点，根据数的符号即可判断车的行驶方向；
（2）将四次行驶路程（包括方向）相加，根据判断出租车的位置．
【详解】解：（1）∵ ，
∴x-4＞0，16-2x＜0，
∴第三次是向东，第四次是向西，
故答案为：东，西；
（2）x + + = ，
∵ ，
∴ ＞0，
∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（ ）km处．
【点睛】本题考查了整式的加减，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型
较好．
19．已知多项式 ， ，若 的结果中不含有 项以及 项，求
的值．
【答案】-5
【分析】先合并同类项，再根据 的结果中不含有 项以及 项求出m、n的值即可．
【详解】 ，= ，
∵结果中不含有 项以及 项，
∴ ， ，
解得， ，
把 代入，
．
【点睛】本题考查了整式的加减，当一个多项式中不含有哪一项时，应让那一项的系数为0．整式的加减
运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
20．（2021·辽宁丹东·七年级期中）某校为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上
订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、
B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和
跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）．
（1）若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元
（用含x的代数式表示）
（2）当x＝200时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？
（3）当x＝200时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【答案】（1）（30x+6600）；（27x+7560）；（2）在A网店购买较为合算．（3）有，先从A网店购买
60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买140条跳绳，购买更省钱．共计付款12180元．
【分析】（1）由A网店的优惠分式可得：付款等于60个足球的费用加上 条跳绳的费用可得第一空
的答案，由B网店付款等于60个足球的费用加上 条跳绳的费用之和的 可得第二空的答案；
（2）把 代入（1）中的代数式，再计算并进行比较即可得到答案；
（3）先从A店购买60个足球，送60条跳绳，再到B店购买140条跳绳即可得到最省钱的方案.
【详解】解：（1）若在A网店购买，需付款：60×140+30（x﹣60）＝（30x+6600）元；
若在B网店购买，需付款：（60×140+30x）×90%＝（27x+7560）元．
故答案为：（30x+6600）；（27x+7560）；
（2）当x＝200时，
30x+6600＝30×200+6600＝12600（元），
27x+7560＝27×200+7560＝12960（元），
∵12600＜12960，∴在A网店购买较为合算．
（3）当x＝200时，先从A网店购买60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买140条跳绳，共计付费：
60×140+140×30×90%＝8400+3780＝12180（元）．
而
∴当x＝200时，先从A网店购买60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买140条跳绳，这样购买更省钱．
共计付款12180元．
【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键.
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．已知： ， ．
(1)计算：A－3B；
(2)若 ，求A－3B的值；
(3)若A－3B的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)5xy＋3y-1
(2)-5
(3)
【分析】（1）把A和B代入计算即可；
（2）利用非负数的性质求出x，y的值，代入计算即可；
（3）A－3B变形后，其值与y的取值无关，确定出x的值即可．
（1）解：A－3B= -3（ ）= -3x2+3xy=5xy＋3y－1
（2）解：因为 ， ≥0， ≥0，所以x+1=0，y-2=0，解得x=-1，y=2，把x=-1，
y=2代入得，原式=5×（-1）×2+3×2-1=-5．
（3）解：A－3B=5xy＋3y－1=（5x+3）y-1，要使A－3B的值与y的取值无关，则5x+3=0，所以 ．
【点睛】本题考查整式的加减，整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 去掉个位与十位数
字后得到的两位数，则这个四位数 为“勾股和数”．
例如： ，∵ ，∴2543是“勾股和数”；又如： ，∵ ， ，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记 ，
．当 ， 均是整数时，求出所有满足条件的 ．
【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得 ，根据 ， 均是整数可得 ，
为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵ ， ，∴1022不是
“勾股和数”；∵ ，∴5055是“勾股和数”；
（2）∵ 为“勾股和数”，∴ ，∴ ，∵ 为整数，∴
，∵ 为整数，∴
为3的倍数，∴① ， 或 ， ，此时 或8190；② ， 或 ， ，
此时 或4563，综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新
定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类
代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为
例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；
步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有 的代数式表示上
述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出
结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【详解】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a=7+7+3=17，
b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．
故答案为：73，7；（2）依题意有：
a=m+1+2=m+3，
b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，
d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，
b=6+1+q=q+7，
c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，
则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，
∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
