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2015年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案．其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．（4分）2015的相反数是（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．2a2×a3＝2a6 C．3a﹣2a＝1 D．（a2）3＝a6
3．（4分）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，
其函数的关系式为y＝﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为
（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
4．（4分）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（4分）请你观察下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（4分）在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，
145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（ ）
A．145，136 B．140，136 C．136，148 D．136，145
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点
第1页（共25页）C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点
F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
10．（4分）如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与
1
反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC ＝1，tan∠BOC＝ ，
则k 的值是（ ）
2
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分分，共32分）
11．（4分）|﹣6.18|＝ ．
12．（4分）定义一种新运算：x*y＝ ，如2*1＝ ＝2，则（4*2）*（﹣1）＝ ．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是 ．
14．（4分）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝ ．
第2页（共25页）15．（4分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为
cm2．
16．（4分）小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数
为奇数的概率是 ．
17．（4分）如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝ CD，过点B
作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为 ．
18．（4分）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
二、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题20分，第20、21、22题每小题20分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（20分）（1）﹣ ÷|﹣2 ×sin45°|+（﹣ ）﹣1÷（﹣14× ）
（2）先化简（ + ）× ，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
第3页（共25页）20．（10分）为了增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加体育锻炼时间不少于1小
时，为了了解学生参加体育锻炼的情况，抽样调查了900名学生每天参加体育锻炼的时间，
并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请补充这次调查参加体育锻炼时间为1小时的频数分布直方图．
（2）求这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数．
（3）这次调查参加体育锻炼时间的中位数是多少？
21．（10分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延
长交BC的延长线于点E，EF＝FD．
求证：AD＝CE．
第4页（共25页）22．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向
正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周
围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（
≈1.732）
四、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民
政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多
装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车
辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车
辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？
第5页（共25页）五、解答题（共1小题，满分12分）
24．（12分）如图，已知三角形ABC的边AB是 O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆
相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交⊙AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求 O的半径．
⊙
六、解答题
25．（14分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴
交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点
D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B
时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
第6页（共25页）2015 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案．其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．（4分）2015的相反数是（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，
据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
2015的相反数是：﹣2015．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相
反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加
“﹣”．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．2a2×a3＝2a6 C．3a﹣2a＝1 D．（a2）3＝a6
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式．
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方的运算方法，利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a2+a2＝2a2，故本选项错误；
B、应为2a2×a3＝2a5，故本选项错误；
C、应为3a﹣2a＝a，故本选项错误；
D、（a2）3＝a6，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握
运算法则是解题的关键．
3．（4分）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，
第7页（共25页）其函数的关系式为y＝﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为
（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣ x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函
数解决实际问题．
4．（4分）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】AA：根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系是
第8页（共25页）解答此题的关键．
5．（4分）请你观察下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合．
6．（4分）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个
多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360
度是关键．
7．（4分）在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，
145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（ ）
A．145，136 B．140，136 C．136，148 D．136，145
【考点】W2：加权平均数；W5：众数．
【分析】众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；
再利用平均数的求法得出答案．
【解答】解：在这一组数据中136是出现次数最多的，故众数是136；
第9页（共25页）他们的成绩的平均数为：（129+136+145+136+148+136+150）÷7＝140．
故选：B．
【点评】此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认真减少不必
要的计算错误．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点
C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解
方程即可解决问题．
【解答】解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝9+（6﹣x）2，
解得：x＝3.75，
∴ED＝3.75．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换
的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推
第10页（共25页）理或解答．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点
F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE ：S△BFA ＝9：16．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积
之比等于相似比的平方．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与
1
反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC ＝1，tan∠BOC＝ ，
则k 的值是（ ）
2
第11页（共25页）A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切
函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y＝k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
1
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC ＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC＝ ，
∴ ＝ ，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点B，
∴k ＝1×3＝3．
2
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点
B的坐标，难度不大．
第12页（共25页）二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分分，共32分）
11．（4分）|﹣6.18|＝ 6.1 8 ．
【考点】15：绝对值．
【分析】一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．一个负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：﹣6.18的绝对值是6.18．
故答案为：6.18．
【点评】此题考查绝对值问题，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
12．（4分）定义一种新运算：x*y＝ ，如2*1＝ ＝2，则（4*2）*（﹣1）＝ 0 ．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】23：新定义．
【分析】先根据新定义计算出4*2＝2，然后再根据新定义计算2*（﹣1）即可．
【解答】解：4*2＝ ＝2，
2*（﹣1）＝ ＝0．
故（4*2）*（﹣1）＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左
到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是 3 ．
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数
即可．
【解答】解：不等式的解集是x＜4，
故不等式5x﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
解不等式应根据不等式的基本性质．
14．（4分）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝ ﹣ 6 ．
第13页（共25页）【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＝2，b＝﹣3，
进而可得答案．
【解答】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ab＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15．（4分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为 24
cm2．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝ ×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的
关键．
16．（4分）小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数
为奇数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比
值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，所以掷到上面为奇数的概
率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
第14页（共25页）事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
17．（4分）如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝ CD，过点B
作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为 8 ．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．
【分析】先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，
根据CE＝ CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，
∴DE是△ABF的中位线．
∵BF＝10，
∴DE＝ BF＝5．
∵CE＝ CD，
∴ CD＝5，解得CD＝4．
∵△ABC是直角三角形，
∴AB＝2CD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三
边的一半是解答此题的关键．
18．（4分）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
第15页（共25页）根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ a 6 + 6 a 5 b +1 5 a 4 b 2 +2 0 a 3 b 3 +1 5 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类；4C：完全平方公式．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按
升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解
决问题是应该具备的基本能力．
二、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题20分，第20、21、22题每小题20分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（20分）（1）﹣ ÷|﹣2 ×sin45°|+（﹣ ）﹣1÷（﹣14× ）
（2）先化简（ + ）× ，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算出
各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2÷|2 × |﹣2÷（﹣ ）
＝﹣2÷2﹣2×（﹣2）
＝﹣1+4
＝3；
第16页（共25页）（2）原式＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝1时，原式＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（10分）为了增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加体育锻炼时间不少于1小
时，为了了解学生参加体育锻炼的情况，抽样调查了900名学生每天参加体育锻炼的时间，
并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请补充这次调查参加体育锻炼时间为1小时的频数分布直方图．
（2）求这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数．
（3）这次调查参加体育锻炼时间的中位数是多少？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；W4：中位数．
【分析】（1）根据时间是2小时的有90人，占10%，据此即可求得总人数，利用总人数乘以百
分比即可求得时间是1小时的一组的人数，即可作出直方图；
（2）总数减去其它各组的人数即可求解；
（3）根据中位数的定义就是大小处于中间位置的数，据此即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是好：90÷10%＝900（人），
锻炼时间是1小时的人数是：900×40%＝360（人）．
；
（2）这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数是：900﹣270﹣360﹣90＝180（人）；
（3）锻炼的中位数是：1小时．
第17页（共25页）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（10分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延
长交BC的延长线于点E，EF＝FD．
求证：AD＝CE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．
【专题】14：证明题．
【分析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD＝CE，再证明△ADG是等
边三角形，得出AD＝GD，即可得出结论．
【解答】证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF＝∠ECF，
在△DFG和△EFC中， ，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝GD，
∴AD＝CE．
第18页（共25页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角
形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
22．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向
正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周
围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（
≈1.732）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数
即可用AD表示出CD与BD，根据CB＝BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170
海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．
【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险
理由如下：如图所示．
则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．
∴∠CAB＝∠ABD，
∴BC＝AC＝200海里．
在Rt△ACD中，设CD＝x海里，
则AC＝2x，AD＝ ＝ ＝ x，
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2 x，
BD＝ ＝ ＝3x，
又∵BD＝BC+CD，
第19页（共25页）∴3x＝200+x，
∴x＝100．
∴AD＝ x＝100 ≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【点评】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形
的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
四、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民
政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多
装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车
辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车
辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，根据等量关
系： 甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷； 甲种货车装运1000件帐篷所用车
辆与①乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等；列出方②程组求解即可；
（2）可设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，根据等量关系：这批帐篷有1490件，列出
方程求解即可．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，依题意有
，
解得 ，
第20页（共25页）经检验， 是原方程组的解．
故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；
（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有
100z+80（16﹣z﹣1）+50＝1490，
解得z＝12，
16﹣z＝16﹣12＝4．
故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．
【点评】考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用
题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解
题的关键．
五、解答题（共1小题，满分12分）
24．（12分）如图，已知三角形ABC的边AB是 O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆
相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交⊙AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求 O的半径．
⊙
【考点】MC：切线的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是 0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的
OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角⊙形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到
结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式 ，列方程可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是 0的切线，
∴OB⊥A⊙B，
∵CE丄AB，
第21页（共25页）∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵CD是 O的直径，
∴∠DBC⊙＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴ ，
∴BC2＝CD•CE，
∴CD＝ ＝ ，
∴OC＝ ＝ ，
∴ O的半径＝ ．
⊙
第22页（共25页）【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的
判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
六、解答题
25．（14分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴
交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点
D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B
时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨
论： CP＝CB； BP＝BC； PB＝PC；
① ② ③
（3）设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝ ×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，运用二
次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或
点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
第23页（共25页）解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
当CP＝CB时，PC＝3 ，∴OP＝OC+PC＝3+3 或OP＝PC﹣OC＝3 ﹣3
①∴P
1
（0，3+3 ），P
2
（0，3﹣3 ）；
当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
②∴P
3
（0，﹣3）；
当PB＝PC时，
③∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，
∴P （0，0）；
4
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝ ×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．
第24页（共25页）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的
性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
第25页（共25页）
