文档内容
专题 26 几何压轴综合
考点 01 平移
1．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面
上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上， ，
， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在
移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线 上），且形状大小保持不变，但落在义卖
区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 移动到 落在 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
2．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点
称为一次甲方式：从点 移动到点 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动
1到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
(1)设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位长度得到的直线 的
解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，按甲方
式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接画出 的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若A，B，C三点始终
在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形
硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为 ， ， 的中点，G，H分别
为 ， 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的
四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．
考点 02 轴对称
1．（2025·山西·中考真题）综合与探究
2问题情境：如图，在 纸片中， ，点D在边 上， ．沿过点D的直线折叠该纸片，
使 的对应线段 与 平行，且折痕与边 交于点E，得到 ，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边 的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点 落在射线 上，且折痕与
边 交于点F，然后展平．连接 交边 于点G，连接 ．
①若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长
2．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落在
内，射线 交射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
3积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所
示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为
端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程中 存
在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活
动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
4操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 、 ，
延长 交 于点Q，连接 ．
(1)如图1，当点M在 上时， ___________度；
(2)改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断 与 的数量关系，并说明
理由．
5．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在 边
上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
6．（2023·重庆·中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ．
5(1)如图1，若 ， ，求线段 的长．
(2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点
． 若 ，求证： ．
(3)在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将
沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，
当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出
此时 的值．
考点 03 旋转
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图1，在 中， ， 沿 方向向左平移
得到 ，A、 对应点分别是 、 ．点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点A逆
时针旋转至线段 ，使得 ，连接 ．
(1)当点 与点 重合时，求 的长；
(2)如图2，连接 、 ．在点 的运动过程中：
① 和 是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当 的长为多少时， 能构成等腰三角形？
2．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 和 拼成“L”形图案，如图①．
试判断： 的形状为________．
6(2)深入探究
小红在保持矩形 不动的条件下，将矩形 绕点 旋转，若 ， ．
探究一：当点 恰好落在 的延长线上时，设 与 相交于点 ，如图②．求 的面积．
探究二：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图③．
求线段 长度的最大值和最小值．
3．（2023·江苏南通·中考真题）正方形 中，点 在边 ， 上运动（不与正方形顶点重合）．
作射线 ，将射线 绕点 逆时针旋转45°，交射线 于点 ．
(1)如图，点 在边 上， ，则图中与线段 相等的线段是___________；
(2)过点 作 ，垂足为 ，连接 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，当点 在边 延长线上且 时，求 的值．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 为线段 上一动点，点 为射线
上的一点（点 与点 不重合）．
7【问题解决】
（1）如图①，若点 与线段 的中点 重合，则 度，线段 与线段 的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 运动过程中，点 在线段 上，且 ，探究线段 与线段
的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 运动过程中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，射线 交射线 于点 ，若
，求 的长．
5．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，点
为边 上一动点，连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
(1)线段 的长为 ；
(2)当 时，求 的长；
(3)当点 在边 上时，求证： ；
(4)当点 到 的距离是点 到 距离的2倍时，直接写出 的长．
6．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展
开探究．
特例研究
在正方形 中， 相交于点O．
（1）如图1， 可以看成是 绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为
________，k的值为________；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 （点O，B的对应点分别为点
E，F），使得点E落在 上，点F落在 上，求 的值
8类比探究
（3）如图3，在菱形 中， ，O是 的垂直平分线与 的交点，将 绕点A逆时
针旋转，旋转角为α，并放缩得到 （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 上，点
F落在 上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中 ，其余条件不变，探究 之间的数量关系（用含β的式子表示）．
7．（2025·湖北·中考真题）在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点
落在边 上，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；
(3)如图3，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过点 作 的平行线交 于点G， 与
交于点 ．
①求证： ；
②当 时，直接写出 的值．
8．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了 的内接等腰三角形 ， ．并在 边上任取一点 （不与点 ， 重合），连
接 ，然后将 绕点 逆时针旋转得到 ．如图①
小明发现： 与 的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接 ，与 相交于点 ．如图②，小明又发现：当 确定时，线段 的长存在最大值．
请求出当 ． 时， 长的最大值；
【问题解决】
9在图②中，小明进一步发现：点 分线段 所成的比 与点 分线段 所成的比 始终相
等．请予以证明．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含 的三角尺 利一个正方形纸板
如图1摆放，若 ， ．将三角尺 绕点 逆时针方向旋转 角，观察图
形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点 交 于点 ．
问题1 和 的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ．求证 ．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角 从 变化到 时，点 经过路线的长度．
10．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在 中， 是 的中位线．连接 ，将 绕点D按逆时针方向旋转，得到
．当点E的对应点 与点A重合时，求证： ．
【数学理解】
（2）如图2，在 中 ， 是 的中位线．连接 ，将 绕点D按逆时针方向旋
转，得到 ，连接 ， ，作 的中线 ．求证： ．
【拓展探索】
10（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ．过点D作 ，垂足为E，
， ．在四边形 内是否存在点G，使得 ？若存在，请给出证明；若不
存在，请说明理由．
11．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ， ， ，
求 的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
由旋转的特征得 ， ， ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
∴___①___．
∴ ．
又∵ ，
∴在 中，___②___．
∵ ， ，
11∴ ___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形 的周长的
一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ．探究 的
数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．设 ，
，求y与x的函数关系式．
12考点 0 4 四边形
1．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图 ），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形 （数据如图 所示）．作一条直线 ，使 与 所夹的锐角为 ，且将矩
形 分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图4，淇淇的方法如下：
①在边 上截取 ，连接 ；
如图3，嘉嘉的思路如下： ②作线段 的垂直平分线 ，交 于
点 ；
①连接 ， 交于点 ；
③在边 上截取 ，作直线
②过点 作 ，分别交 ， 于
．
点 ，
……
(1)图 中，矩形 的周长为______；
(2)在图 的基础上，用尺规作图作出直线 （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图 中的直线 符合要求．
(4)如图 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，分别交边 ， 于点 ， ，过点 作
于点 ，连接 ．
当 时，求 的值；
当 最大时，直接写出 的长．
2．（2025·浙江·中考真题）在菱形 中， ．
13(1)如图1，求 的值．
(2)如图2，E是 延长线上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称， 交射线 于点
P，连接 ．
①当 时，求 的长．
②求 的最小值．
3．（2025·上海·中考真题）在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
(1)当 是边 中点时，
①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ， ．求 的长．
4．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点 为正方形 内一个动点，过点 作 ，
，矩形 的面积是矩形 面积的2倍，探索 的度数随点 运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线
段，由此可得此图形中 ______ ；
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中 ， ， ，求此图形
中 的度数；
【一般化探索】
14（3）利用图1，探索上述问题中 的度数随点 运动的变化情况，并说明理由．
5．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻
的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平
行四边形”．
(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ______； ______；
(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂
中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连
接 ，请直接写出 的值．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 为边 上的
▱
动点．连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 作 ， 交直线 于点 ．连接
、 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，交 于点 ．
(1)若点 与点 重合，则线段 的长度为______．
(2)随着点 的运动， 与 的长度是否发生变化？若不变，求出 与 的长度；若改变，请说明
理由．
7．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在 中，点D在边 上．若
，则 ，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在 中， ，点D为边 的中点， ，点E在 上，
连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，
延长 ， 相交于点G．若 ， ，求 的长．
158．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆
（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有
．（ ）
(2)如图1，已知四边形 内接于 ，四条边长满足： ．
①该四边形 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若 的平分线 交 于点E， 的平分线 交 于点F，连接 ．求证： 是 的
直径．
(3)已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 分别相切于点E，
F，G，H．
①如图2．连接 交于点P．求证： ．
16②如图3，连接 ，若 ， ， ，求内切圆 的半径r及 的长．
9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ．点 是边 上的一点（点
不与点 、 重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使 ，以 为边作正方形 ，使
点 和点 在直线 同侧．
(1)当点 是边 的中点时，求 的长；
(2)当 时，点 到直线 的距离为________；
(3)连结 ，当 时，求正方形 的边长；
(4)若点 到直线 的距离是点 到直线 距离的3倍，则 的长为________．（写出一个即可）
10．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点 为矩形 的对称中心， ， ，点 为
边上一点 ，连接 并延长，交 于点 ，四边形 与 关于 所在直线成轴对称，
线段 交 边于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长；
(3)令 ， ．
①求证： ；
②如图2，连接 ， ，分别交 ， 于点 ， .记四边形 的面积为 ， 的面积为
.当 时，求 的值．
11．（2023·海南·中考真题）如图1，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 为线段 上的动点（不与点 ， 重合），连接 并延长交边 于点 ，交 的
17延长线于点 ．
(1)当点 恰好为 的中点时，求证： ；
(2)求线段 的长；
(3)当 为直角三角形时，求 的值；
(4)如图2，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，在点 的运动过程中，
的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
18
